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1、2022年高考數(shù)學(xué) 不等式 專(zhuān)題復(fù)習(xí)教案 蘇教版 一、知識(shí)回顧 不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要工具，在高考中屬主體內(nèi)容.以考查不等式的解法和最值方面的應(yīng)用為重點(diǎn)，多數(shù)情況是在函數(shù)、數(shù)列、幾何、實(shí)際應(yīng)用題等綜合型試題中考查，在考試說(shuō)明中考查要求也比較高 內(nèi) 容 要 求 A B C 不 等 式 基本不等式 √ 一元二次不等式 √ 線性規(guī)劃 √ 因此，在復(fù)習(xí)中應(yīng)注意： 1．解某些不等式要與函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性聯(lián)系起來(lái)，含參數(shù)的不等式可分類(lèi)討論． 2．利用基本不等式時(shí)要注意不等式運(yùn)用

2、的條件． 3．要強(qiáng)化不等式的應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)要注意到不等式與函數(shù)和方程的對(duì)比與聯(lián)系，充分利用函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合的思想處理問(wèn)題． 4．利用線性規(guī)劃解決問(wèn)題時(shí)應(yīng)力求畫(huà)圖準(zhǔn)確． 二、例題精講 例1．設(shè)若是與的等比中項(xiàng)，則的最小值為_(kāi)_________. 解析: 因?yàn)?，所以? ，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)“=”成立,故最小值為. 練習(xí)1.若直線經(jīng)過(guò)圓的圓心,則的最小值為_(kāi)_________________. 例2．已知關(guān)于的不等式的解集為,則的解集為_(kāi)_______________. 解析：由的解集為知,為方程的兩個(gè)根,由韋達(dá)定理得,解得, ∴即,其解集為. 練習(xí)2.已知不等式的解

3、集為,試用表示不等式的解集. 例3．已知且，則的取值范圍為_(kāi)________________. 解析：設(shè)， ∴,解得 ∴ ∴， 即. 錯(cuò)解：解此題常見(jiàn)錯(cuò)誤是：－1＜a+b＜3， ① 2＜a－b＜4. ② ①+②得1＜2a＜7. ③ 由②得－4＜b－a＜－2. ④ ①+④得－5＜2b＜1，∴－＜3b＜. ⑤ ③+⑤得－＜2a+3b＜. 另:本題也可用線性規(guī)劃來(lái)解. 練習(xí)3. 函數(shù)滿足：，求的取值范圍為 ____________________． 例4．某種飲

4、料分兩次提價(jià)，提價(jià)方案有三種，方案甲是：第一次提價(jià)，第二次提價(jià) ；方案乙是：第一次提價(jià)，第二次提價(jià)；方案丙是：每次提價(jià) .如果,那么提價(jià)最多的是方案 解析：設(shè)原價(jià)為1，兩次提價(jià)后的價(jià)格為 則： 易證：，方案丙提價(jià)最多. 練習(xí)4.（1）甲、乙兩人兩次在同一個(gè)糧店購(gòu)買(mǎi)糧食（設(shè)兩次單價(jià)不同），甲每次購(gòu)買(mǎi)糧食100kg, 乙每次用100元購(gòu)買(mǎi)糧食.若規(guī)定,誰(shuí)兩次購(gòu)糧的平均單價(jià)低,誰(shuí)的購(gòu)糧方式就合算,則兩人購(gòu)糧方式更合算的是__________________. （2）克鹽水中，有克鹽（），若再添加克鹽（）

5、則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式 ___________. 例5．（1）設(shè)為正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值是__________. （2）如果正數(shù)滿足，那么的取值范圍是____________. 解析：（1） ,即的最小值為. （2）由題設(shè)，. 又 ，. 或解:: 練習(xí)5.（1） 已知（為常數(shù)），，，若 的最小值為，求的值． （2）若, 且, , 則的最大值是_______. 例6．解關(guān)于的不等式： 解析： 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng) 練習(xí)6. 解關(guān)于的一元二次不等式. 例7．

6、已知函數(shù)， （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值； （2）若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解析：（1）當(dāng)時(shí)，. （2）由題意，時(shí)，恒成立，即恒成立， ，即恒成立， 若，若，則恒成立，故， 而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故， 所以， 練習(xí)7. 三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式在 上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路． 甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”． 乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”． 丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”． 參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即的取值范圍 是

7、 ． 例8．?dāng)?shù)列由下列條件確定：,當(dāng)時(shí)，求證：（1）；（2） 解析：（1）由，知，當(dāng)時(shí)， （2）， ，所以，當(dāng)時(shí)， 練習(xí)8.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：. 例9．已知函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，且，若設(shè)，求實(shí)數(shù)的取值范圍 解析：,又處取得極大值，在處取得極小值 故在有，在上有 方程即的兩根分布在內(nèi) 又，由線性規(guī)劃知識(shí)易知，當(dāng)過(guò)兩點(diǎn)時(shí)取得最大和最小值，的范圍為. 練習(xí)9. 已知關(guān)于的不等式的解集中的一個(gè)元素是，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并用表示該不等式的解集. 例10．已知二次函數(shù)滿

8、足， （1） 求二次函數(shù)的表達(dá)式； （2） 若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。 解析 (1)設(shè).由得,故. ∵ ∴ 即,所以,解得 ∴ (2)由(1)知在恒成立,即在恒成立. 令,則在上單調(diào)遞減.所以在上的最大值為.所以的取值范圍是. 練習(xí)10. 對(duì)于總有成立，求的值. 練習(xí)題及答案 練習(xí)1.若直線經(jīng)過(guò)圓的圓心,則的最小值為_(kāi)_________________. 解析: 由,得,圓心為 又直線過(guò)圓心,得 ,當(dāng)且僅當(dāng),即， 時(shí)“=”成立，故最小值為. 練習(xí)2.已知不等式的解集為,試用表示不等式的解集. 解析:由題設(shè),原不等式與同解,即與不等式

9、 同解,比較系數(shù)得,且,所以, ,代入,得,,即 又,所以不等式解集為 練習(xí)3. 函數(shù)滿足：，求的取值范圍為 ____________________． 解析：由得 則 由條件 可得,所以的取值范圍是 練習(xí)4.（1）甲、乙兩人兩次在同一個(gè)糧店購(gòu)買(mǎi)糧食（設(shè)兩次單價(jià)不同），甲每次購(gòu)買(mǎi)糧食100kg, 乙每次用100元購(gòu)買(mǎi)糧食.若規(guī)定,誰(shuí)兩次購(gòu)糧的平均單價(jià)低,誰(shuí)的購(gòu)糧方式就合算,則兩人購(gòu)糧方式更合算的是__________________. （2）克鹽水中，有克鹽（），若再添加克鹽（）則鹽水就變咸了，試根據(jù)這一事實(shí)提煉一個(gè)不等式

10、 ___________. 解析：（1）設(shè)兩次單價(jià)分別為元/kg, 則甲兩次購(gòu)糧200kg，共花費(fèi)元，兩次購(gòu)糧平均單價(jià)為， 乙兩次花費(fèi)200元，共購(gòu)糧kg，兩次購(gòu)糧平均單價(jià)為，、 ，，而， 所以，，即甲的購(gòu)糧方式更合算. （2）由鹽的濃度變大,得. 練習(xí)5. （1）已知（為常數(shù)），，，若 的最小值為，求的值． （2）若, 且, , 則的最大值是______. 解析：(1)為正數(shù)， 或． （2） ，，即的最大值為. 或解：設(shè) 則，最大值為。 本題也可用柯西不等式來(lái)求. 易見(jiàn)錯(cuò)誤:,相加,得,原因是等號(hào)取不到. 練

11、習(xí)6. 解關(guān)于的一元二次不等式 解析：∵，∴ （1）當(dāng)，不等式解集為； （2）當(dāng)時(shí)，不等式為，解集為； （3）當(dāng)，不等式解集為 練習(xí)7. 三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式在 上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路． 甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”． 乙說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”． 丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”． 參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即的取值范圍 是 ． 解析: 由，而 ，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；且，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立；所以，，等號(hào)當(dāng)

12、且僅當(dāng)時(shí)成立；故. 練習(xí)8.已知數(shù)列為等比數(shù)列，，設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：. 解析：:設(shè)等比數(shù)列的公比為,則 數(shù)列的通項(xiàng)公式為,得 , 即. 本題用分析法證明也很方便 練習(xí)9..已知關(guān)于的不等式的解集中的一個(gè)元素是，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并用表示該不等式的解集. 解析：原不等式即，由適合不等式， 得，所以，或. 當(dāng)時(shí)，，不等式解集為 當(dāng)時(shí)，，不等式解集為 練習(xí)10. 對(duì)于總有成立，求的值. 解析:要使恒成立，只要在上恒成立. 當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意，舍去。 當(dāng)時(shí)，即單調(diào)遞減，，舍去. 當(dāng)時(shí) ① 若時(shí)在和 上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減。 所以 ② 當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減， ，不符合題意，舍去.綜上可知.