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絕密★本科目考試啟用前
2019年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試
數(shù) 學(xué)（文）（北京卷）
本試卷共5頁(yè)，150分。考試時(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第一部分（選擇題 共40分）
一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。
1.已知集合A={x|–1
1}，則A∪B=
A. （–1，1） B. （1，2） C. （–1，+∞） D. （1，+∞）
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)并集的求法直接求出結(jié)果.
【詳解】∵ ，
∴ ，
故選C.
【點(diǎn)睛】考查并集求法，屬于基礎(chǔ)題.
2.已知復(fù)數(shù)z=2+i，則
A. B. C. 3 D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】
題先求得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則即得.
【詳解】∵ 故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，共軛復(fù)數(shù)的定義等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題..
3.下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增是
A. B. y= C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意結(jié)合函數(shù)的解析式考查函數(shù)的單調(diào)性即可..
【詳解】函數(shù)，
在區(qū)間 上單調(diào)遞減，
函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞增，故選A.
【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，注重對(duì)重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)的考查，蘊(yùn)含數(shù)形結(jié)合思想，屬于容易題.
4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的s值為
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)程序框圖中的條件逐次運(yùn)算即可.
【詳解】運(yùn)行第一次， ， ，
運(yùn)行第二次， ， ，
運(yùn)行第三次， ， ，
結(jié)束循環(huán)，輸出 ，故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，屬于容易題，注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算能力的考查.
5.已知雙曲線（a＞0）的離心率是 則a=
A. B. 4 C. 2 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本題根據(jù)根據(jù)雙曲線的離心率的定義，列關(guān)于a的方程求解.
【詳解】 ∵雙曲線的離心率 ， ，
∴ ，
解得 ，
故選D.
【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的定義，雙曲線中a,b,c的關(guān)系，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
6.設(shè)函數(shù)f（x）=cosx+bsinx（b為常數(shù)），則“b=0”是“f（x）為偶函數(shù)”的
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)定義域?yàn)镽的函數(shù)為偶函數(shù)等價(jià)于進(jìn)行判斷.
【詳解】 時(shí)，, 為偶函數(shù)；
為偶函數(shù)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，
，得對(duì)任意的恒成立，從而.從而“”是“為偶函數(shù)”的充分必要條件，故選C.
【點(diǎn)睛】本題較易，注重重要知識(shí)、基礎(chǔ)知識(shí)、邏輯推理能力的考查.
7.在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足，其中星等為m1的星的亮度為E2（k=1,2）.已知太陽(yáng)的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，則太陽(yáng)與天狼星的亮度的比值為
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10.1 D. 10–10.1
【答案】A
【解析】
【分析】
由題意得到關(guān)于的等式，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則可得亮度的比值.
【詳解】?jī)深w星的星等與亮度滿足,令,
.
故選：A
【點(diǎn)睛】本題以天文學(xué)問題為背景,考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對(duì)數(shù)運(yùn)算.
8.如圖，A，B是半徑為2的圓周上的定點(diǎn)，P為圓周上的動(dòng)點(diǎn)，是銳角，大小為β.圖中陰影區(qū)域的面積的最大值為
A. 4β+4cosβ B. 4β+4sinβ C. 2β+2cosβ D. 2β+2sinβ
【答案】B
【解析】
【分析】
由題意首先確定面積最大時(shí)點(diǎn)P的位置，然后結(jié)合扇形面積公式和三角形面積公式可得最大的面積值.
【詳解】觀察圖象可知，當(dāng)P為弧AB的中點(diǎn)時(shí)，陰影部分的面積S取最大值，
此時(shí)∠BOP=∠AOP=π-β, 面積S的最大值為S△POB+ S△POA=4β+
.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查閱讀理解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)式子變形和運(yùn)算求解能力，有一定的難度.關(guān)鍵觀察分析區(qū)域面積最大時(shí)的狀態(tài)，并將面積用邊角等表示.
第二部分（非選擇題 共110分）
二、填空題共6小題，每小題5分，共30分。
9.已知向量=（－4，3），=（6，m），且，則m=__________.
【答案】8.
【解析】
【分析】
利用轉(zhuǎn)化得到加以計(jì)算，得到.
【詳解】向量
則.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積、平面向量的垂直以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.屬于容易題.
10.若x，y滿足 則的最小值為__________，最大值為__________.
【答案】 (1). . (2). 1.
【解析】
【分析】
作出可行域，移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)表示的直線，利用圖解法求解.
【詳解】作出可行域如圖陰影部分所示.
設(shè)z=y-x,則y=x+z.當(dāng)直線l0：y=x+z經(jīng)過點(diǎn)A（2,-1）時(shí),z取最小值-3，經(jīng)過點(diǎn)B（2,3）時(shí),z取最大值1.
【點(diǎn)睛】本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題的基本題型，根據(jù)“畫、移、解”等步驟可得解.題目難度不大題，注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能的考查.
11.設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.則以F為圓心，且與l相切的圓的方程為__________．
【答案】(x-1)2+y2=4.
【解析】
【分析】
由拋物線方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，即圓心，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離即半徑，進(jìn)而求得結(jié)果.
【詳解】拋物線y2=4x中，2p=4，p=2，
焦點(diǎn)F（1,0），準(zhǔn)線l的方程為x=-1，
以F為圓心，
且與l相切的圓的方程為 (x-1)2+y2=22,即為(x-1)2+y2=4.
【點(diǎn)睛】本題可采用數(shù)形結(jié)合法，只要畫出圖形，即可很容易求出結(jié)果.
12.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，那么該幾何體的體積為__________．
【答案】40.
【解析】
【分析】
本題首先根據(jù)三視圖,還原得到幾何體,根據(jù)題目給定的數(shù)據(jù),計(jì)算幾何體的體積.屬于中等題.
【詳解】如圖所示,在棱長(zhǎng)為4的正方體中,三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體為正方體去掉棱柱之后余下的幾何體,
幾何體的體積.
【點(diǎn)睛】(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
13.已知l，m是平面外的兩條不同直線．給出下列三個(gè)論斷：
①l⊥m；②m∥；③l⊥．
以其中的兩個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出一個(gè)正確的命題：__________．
【答案】如果l⊥α，m∥α，則l⊥m.
【解析】
【分析】
將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論加以分析.
【詳解】將所給論斷，分別作為條件、結(jié)論，得到如下三個(gè)命題：
（1）如果l⊥α，m∥α，則l⊥m. 正確；
（2）如果l⊥α，l⊥m，則m∥α.不正確，有可能m在平面α內(nèi)；
（3）如果l⊥m，m∥α，則l⊥α.不正確，有可能l與α斜交、l∥α.
【點(diǎn)睛】本題主要考查空間線面的位置關(guān)系、命題、邏輯推理能力及空間想象能力.
14.李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營(yíng)一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對(duì)這四種水果進(jìn)行促銷：一次購(gòu)買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．
①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；
②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．
【答案】 (1). 130. (2). 15.
【解析】
【分析】
由題意可得顧客需要支付的費(fèi)用，然后分類討論，將原問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問題可得的最大值.
【詳解】(1),顧客一次購(gòu)買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.
(2)設(shè)顧客一次購(gòu)買水果的促銷前總價(jià)為元,
元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.
元時(shí),有恒成立,即,即元.
所以的最大值為.
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的概念與性質(zhì)?數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)?數(shù)學(xué)式子變形與運(yùn)算求解能力,以實(shí)際生活為背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，考查學(xué)生身邊的數(shù)學(xué)，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
三、解答題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。
15.在△ABC中，a=3，，cosB=．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求sin（B+C）值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由題意列出關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組即可確定b,c的值；
(Ⅱ)由題意結(jié)合余弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式可得的值.
【詳解】（Ⅰ）由余弦定理可得，
因?yàn)椋?；因?yàn)椋越獾?
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以；
因?yàn)闉榈膬?nèi)角，所以.
因?yàn)?
【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
16.設(shè){an}是等差數(shù)列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）記{an}的前n項(xiàng)和為Sn，求Sn的最小值．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由題意首先求得數(shù)列的公差，然后利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得的通項(xiàng)公式；
(Ⅱ)首先求得的表達(dá)式，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得其最小值.
【詳解】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
當(dāng)或者時(shí)，取到最小值.
【點(diǎn)睛】等差數(shù)列基本量的求解是等差數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等差數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運(yùn)用.
17.改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校所有的1000名學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：
支付金額
支付方式
不大于2000元
大于2000元
僅使用A
27人
3人
僅使用B
24人
1人
（Ⅰ）估計(jì)該校學(xué)生中上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的人數(shù)；
（Ⅱ）從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，求該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；
（Ⅲ）已知上個(gè)月樣本學(xué)生支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用B的學(xué)生中隨機(jī)抽查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元．結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．
【答案】（Ⅰ）400人；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）見解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由題意利用頻率近似概率可得滿足題意的人數(shù)；
(Ⅱ)利用古典概型計(jì)算公式可得上個(gè)月支付金額大于2000元的概率；
(Ⅲ)結(jié)合概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)定義給出結(jié)論即可.
【詳解】（Ⅰ）由圖表可知僅使用A的人數(shù)有30人，僅使用B的人數(shù)有25人，
由題意知A,B兩種支付方式都不使用的有5人，
所以樣本中兩種支付方式都使用的有，
所以全校學(xué)生中兩種支付方式都使用的有（人）.
（Ⅱ）因?yàn)闃颖局袃H使用B的學(xué)生共有25人，只有1人支付金額大于2000元，
所以該學(xué)生上個(gè)月支付金額大于2000元的概率為.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金額大于2000元的概率為，
因?yàn)閺膬H使用B的學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查1人，發(fā)現(xiàn)他本月的支付金額大于2000元，
依據(jù)小概率事件它在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的，所以可以認(rèn)為僅使用B的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化，且比上個(gè)月多.
【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式及其應(yīng)用，概率的定義與應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
18.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底部ABCD為菱形，E為CD的中點(diǎn).
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若∠ABC=60，求證：平面PAB⊥平面PAE；
（Ⅲ）棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得CF∥平面PAE？說明理由.
【答案】（Ⅰ）見解析；
（Ⅱ）見解析；
（Ⅲ）見解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由題意利用線面垂直的判定定理即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅱ)由幾何體的空間結(jié)構(gòu)特征首先證得線面垂直，然后利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直；
(Ⅲ)由題意，利用平行四邊形的性質(zhì)和線面平行的判定定理即可找到滿足題意的點(diǎn).
【詳解】（Ⅰ）證明：因?yàn)槠矫?所以；
因?yàn)榈酌媸橇庑?，所?
因?yàn)?平面,
所以平面.
（Ⅱ）證明：因?yàn)榈酌媸橇庑吻遥詾檎切?，所?
因?yàn)?所以；
因?yàn)槠矫?，平?
所以；
因?yàn)?
所以平面，
平面,所以平面平面.
（Ⅲ）存在點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，滿足平面；理由如下:
分別取的中點(diǎn)，連接,
在三角形中，且；
在菱形中，為中點(diǎn)，所以且，所以且，即四邊形為平行四邊形，所以;
又平面，平面，所以平面.
【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理，立體幾何中的探索問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
19.已知橢圓的右焦點(diǎn)為，且經(jīng)過點(diǎn).
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)O為原點(diǎn)，直線與橢圓C交于兩個(gè)不同點(diǎn)P，Q，直線AP與x軸交于點(diǎn)M，直線AQ與x軸交于點(diǎn)N，若|OM||ON|=2，求證：直線l經(jīng)過定點(diǎn).
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）見解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)由題意確定a,b的值即可確定橢圓方程；
(Ⅱ)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定OM,ON的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理確定t的值即可證明直線恒過定點(diǎn).
【詳解】（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的右焦點(diǎn)為，所以；
因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn),所以，所以，故橢圓的方程為.
（Ⅱ）設(shè)
聯(lián)立得，
，，.
直線，令得，即；
同理可得.
因?yàn)?所以；
，解之得，所以直線方程為，所以直線恒過定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：
(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；
(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長(zhǎng)、斜率、三角形的面積等問題．
20.已知函數(shù).
（Ⅰ）求曲線的斜率為1的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：；
（Ⅲ）設(shè)，記在區(qū)間上的最大值為M（a），當(dāng)M（a）最小時(shí)，求a的值．
【答案】（Ⅰ）和.
（Ⅱ）見解析；
（Ⅲ）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)首先求解導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此求得切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程；
(Ⅱ)由題意分別證得和即可證得題中的結(jié)論；
(Ⅲ)由題意結(jié)合(Ⅱ)中的結(jié)論分類討論即可求得a的值.
【詳解】（Ⅰ），令得或者.
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)切線方程為，即；
綜上可得所求切線方程為和.
（Ⅱ）設(shè)，，令得或者，所以當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)；
而，所以，即；
同理令，可求其最小值為，所以，即，綜上可得.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，
所以是中的較大者，
若，即時(shí)，；
若，即時(shí)，；
所以當(dāng)最小時(shí)，，此時(shí).
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的切線方程，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法，分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.
2019年高考試題真題1數(shù)學(xué)文（北京卷）解析版[高考復(fù)習(xí)]
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