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1、2022年高中數(shù)學(xué) 正余弦定理 教學(xué)案例分析 新人教A版必修2 教材：新課標(biāo)教材----必修5 課題：正余弦定理 [摘要]： 辯證唯物主義認(rèn)識論、現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀和建構(gòu)主義教學(xué)觀與學(xué)習(xí)觀指導(dǎo)下的“情境 .問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)實驗，旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識，養(yǎng)成從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題、形成獨立思考的習(xí)慣，提高學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力，增強學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是前提，提出問題是重點，解決問題是核心，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識是目的，因此所設(shè)情境要符合學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。“正余弦定理”具有一定廣泛的應(yīng)用價值，教學(xué)中我們從實際需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)情境。 [關(guān)鍵詞]： 正余弦定理；解三角形；數(shù)學(xué)

2、情境 一、教學(xué)設(shè)計 1、教學(xué)背景 在近幾年教學(xué)實踐中我們發(fā)現(xiàn)這樣的怪現(xiàn)象：絕大多數(shù)學(xué)生認(rèn)為數(shù)學(xué)很重要，但很難；學(xué)得很苦、太抽象、太枯燥，要不是升學(xué)，我們才不會去理會，況且將來用數(shù)學(xué)的機(jī)會很少；許多學(xué)生完全依賴于教師的講解，不會自學(xué)，不敢提問題，也不知如何提問題。這說明了學(xué)生一是不會學(xué)數(shù)學(xué)，二是對數(shù)學(xué)有恐懼感，沒有信心，這樣的心態(tài)怎能對數(shù)學(xué)有所創(chuàng)新呢？即使有所創(chuàng)新那與學(xué)生們所花代價也不成比例，其間扼殺了他們太多的快樂和個性特長。建構(gòu)主義提倡情境式教學(xué)，認(rèn)為多數(shù)學(xué)習(xí)應(yīng)與具體情境有關(guān)，只有在解決與現(xiàn)實世界相關(guān)聯(lián)的問題中，所建構(gòu)的知識才將更豐富、更有效和易于遷移。我們在 xx級進(jìn)行了“

3、創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境與提出數(shù)學(xué)問題”教學(xué)實驗，通過一段時間的教學(xué)實驗，多數(shù)同學(xué)已能適應(yīng)這種學(xué)習(xí)方式，平時能主動思考，敢于提出自己關(guān)心的問題和想法，從過去被動的接受知識逐步過渡到主動探究、索取知識，增強了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。 2、教材分析 “正余弦定理”是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)必修5的第一章第二節(jié)的主要內(nèi)容，是解決有關(guān)斜三角形問題的兩個重要定理之一，也是初中“勾股定理”內(nèi)容的直接延拓，它是三角函數(shù)一般知識和平面向量知識在三角形中的具體運用，是解可轉(zhuǎn)化為三角形計算問題的其它數(shù)學(xué)問題及生產(chǎn)、生活實際問題的重要工具，因此具有廣泛的應(yīng)用價值。本節(jié)課是“正弦定理、正余弦定理”教學(xué)的第二節(jié)課，其主要任務(wù)

4、是引入并證明正余弦定理，在課型上屬于“定理教學(xué)課”。布魯納指出，學(xué)生不是被動的、消極的知識的接受者，而是主動的、積極的知識的探究者。教師的作用是創(chuàng)設(shè)學(xué)生能夠獨立探究的情境，引導(dǎo)學(xué)生去思考，參與知識獲得的過程。因此，做好“正余弦定理”的教學(xué)，不僅能復(fù)習(xí)鞏固舊知識，使學(xué)生掌握新的有用的知識，體會聯(lián)系、發(fā)展等辯證觀點，而且能培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識和實踐操作能力，以及提出問題、解決問題等研究性學(xué)習(xí)的能力。 3、設(shè)計思路 建構(gòu)主義強調(diào)，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)教室的。在日常生活中，在以往的學(xué)習(xí)中，他們已經(jīng)形成了豐富的經(jīng)驗，小到身邊的衣食住行，大到宇宙、星體的運行，從自然現(xiàn)象到社會生活，他們幾乎都有一些自

5、己的看法。而且，有些問題即使他們還沒有接觸過，沒有現(xiàn)成的經(jīng)驗，但當(dāng)問題一旦呈現(xiàn)在面前時，他們往往也可以基于相關(guān)的經(jīng)驗，依靠他們的認(rèn)知能力，形成對問題的某種解釋。而且，這種解釋并不都是胡亂猜測，而是從他們的經(jīng)驗背景出發(fā)而推出的合乎邏輯的假設(shè)。所以，教學(xué)不能無視學(xué)生的這些經(jīng)驗，另起爐灶，從外部裝進(jìn)新知識，而是要把學(xué)生現(xiàn)有的知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗。 為此我們根據(jù)“情境 --問題”教學(xué)模式，沿著“設(shè)置情境--提出問題--解決問題--反思應(yīng)用”這條主線，把從情境中探索和提出數(shù)學(xué)問題作為教學(xué)的出發(fā)點，以“問題”為紅線組織教學(xué)，形成以提出問題

6、與解決問題相互引發(fā)攜手并進(jìn)的“情境--問題”學(xué)習(xí)鏈，使學(xué)生真正成為提出問題和解決問題的主體，成為知識的“發(fā)現(xiàn)者”和“創(chuàng)造者”，使教學(xué)過程成為學(xué)生主動獲取知識、發(fā)展能力、體驗數(shù)學(xué)的過程。根據(jù)上述精神，做出了如下設(shè)計：①創(chuàng)設(shè)一個現(xiàn)實問題情境作為提出問題的背景；②啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生提出自己關(guān)心的現(xiàn)實問題，逐步將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化、抽象成過渡性數(shù)學(xué)問題，解決問題時需要使用正余弦定理，借此引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，揭示解斜三角形的必要性，并使學(xué)生產(chǎn)生進(jìn)一步探索解決問題的動機(jī)。然后引導(dǎo)學(xué)生抓住問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，引伸成一般的數(shù)學(xué)問題：已知三角形的兩條邊和他們的夾角，求第三邊。③為了解決提出的問題，引導(dǎo)學(xué)生從原有的知識經(jīng)驗中“

7、生長”出新的知識經(jīng)驗，通過作邊BC的垂線得到兩個直角三角形，然后利用勾股定理和銳角三角函數(shù)得出正余弦定理的表達(dá)式，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行嚴(yán)格的邏輯證明。證明時，關(guān)鍵在于啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生明確以下兩點： 一是證明的起點 ； 二是如何將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化成數(shù)量關(guān)系。④由學(xué)生獨立使用已證明的結(jié)論去解決中所提出的問題。 二、教學(xué)過程 類型一：解三角形和與之相關(guān)的問題 1.⑴在中，如果，，，那么 ，的面積為 ． 變式：若已知，可否求出其他三個元素？ 例1.已知中，求及。 變式：（小題訓(xùn)練4）在中，已知則邊長 。 例2. （原例4.）中三個內(nèi)角的對邊分別

8、是，已知，且，求角的大小。 變式：（小題訓(xùn)練3）若三角形三邊之比為，那么這個三角形的最大角等于 。 類型二：判斷三角形形狀的問題 2.在中，若,則是 （形狀）。 例3.在，若，試判斷的形狀。 學(xué)生練習(xí)： 1. 已知中，若，則 。 2. 在中，若，則的形狀是 （形狀）。 3. 在中,已知，則 。 4.在中，已知，解三角形。 三、教學(xué)反思 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)情境是“情境 .問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)的基礎(chǔ)環(huán)節(jié)，教師必須對學(xué)生的身心特點

9、、知識水平、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)等因素進(jìn)行綜合考慮，對可用的情境進(jìn)行比較，選擇具有較好的教育功能的情境。 從應(yīng)用需要出發(fā)，創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突型數(shù)學(xué)情境，是創(chuàng)設(shè)情境的常用方法之一?！罢嘞叶ɡ怼本哂袕V泛的應(yīng)用價值，故本課中從應(yīng)用需要出發(fā)創(chuàng)設(shè)了教學(xué)中所使用的數(shù)學(xué)情境。該情境源于教材第一章 1.3正弦、正余弦定理應(yīng)用的例1。實踐說明，這種將教材中的例題、習(xí)題作為素材改造加工成情境，是創(chuàng)設(shè)情境的一條有效途徑。只要教師能對教材進(jìn)行深入、細(xì)致、全面的研究，便不難發(fā)現(xiàn)教材中有不少可用的素材。 “情境 .問題.反思.應(yīng)用”教學(xué)模式主張以問題為“紅線”組織教學(xué)活動，以學(xué)生作為提出問題的主體，如何引導(dǎo)學(xué)生提出問題

10、是教學(xué)成敗的關(guān)鍵，教學(xué)實驗表明，學(xué)生能否提出數(shù)學(xué)問題，不僅受其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、生活經(jīng)歷、學(xué)習(xí)方式等自身因素的影響，還受其所處的環(huán)境、教師對提問的態(tài)度等外在因素的制約。因此，教師不僅要注重創(chuàng)設(shè)適宜的數(shù)學(xué)情境（不僅具有豐富的內(nèi)涵，而且還具有“問題”的誘導(dǎo)性、啟發(fā)性和探索性），而且要真正轉(zhuǎn)變對學(xué)生提問的態(tài)度，提高引導(dǎo)水平，一方面要鼓勵學(xué)生大膽地提出問題，另一方面要妥善處理學(xué)生提出的問題。關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的結(jié)果，更關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的過程；關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的水平，更關(guān)注學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中所表現(xiàn)出來的情感與態(tài)度；關(guān)注是否給學(xué)生創(chuàng)設(shè)了一種情境，使學(xué)生親身經(jīng)歷了數(shù)學(xué)活動過程．把“質(zhì)疑提問”，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)問題意識，提高學(xué)生提出數(shù)學(xué)問題的能力作為教與學(xué)活動的起點與歸宿。