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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件教案 理 北師大版 考綱要求 1．理解命題的概念． 2．了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系． 3．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義． 知識(shí)梳理 1．命題 能夠__________、用文字或符號(hào)表述的語(yǔ)句叫作命題．其中__________的命題叫作真命題，__________的命題叫作假命題． 2．四種命題及其關(guān)系 (1)四種命題的表示及相互之間的關(guān)系． (2)四種命題的真假關(guān)系 ①互為逆否的兩個(gè)命題__________(________

2、__或__________)． ②互逆或互否的兩個(gè)命題__________． 3．充分條件與必要條件 (1)如果p?q，那么p是q的__________，q是p的__________． (2)如果p?q，q?p，那么p是q的__________，記作__________． 基礎(chǔ)自測(cè) 1．若命題p的逆命題是q，否命題是r，則命題q是命題r的(　　)． A．逆命題 B．否命題 C．逆否命題 D．不等價(jià)命題 2．命題“若a＞－3，則a＞－6”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個(gè)數(shù)為(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 3

3、．a(chǎn)＜0，b＜0的一個(gè)必要條件是(　　)． A．a(chǎn)＋b＜0 B．a(chǎn)－b＞ C．＞1 D．＜－1 4．直線l1∥l2的一個(gè)充分條件是(　　)． A．l1∥平面α，l2∥平面α B．直線l1⊥直線l3，直線l2⊥直線l3 C．l1平行于l2所在的平面 D．l1⊥平面α，l2⊥平面α 5．命題“如果＋(y＋1)2＝0，則x＝2且y＝－1”的逆否命題為_(kāi)_________． 思維拓展 1．命題“若p，則q”的逆命題為真，逆否命題為假，則p是q的什么條件？ 提示：逆命題為真即q?p，逆否命題為假，即pq，故p是q的必要不充分條件． 2．“命題的否定”與“否命

4、題”一樣嗎？ 提示：不一樣．“否命題”與“命題的否定”是兩個(gè)不同的概念．如果原命題是“若p，則q”，那么這個(gè)原命題的否定是“若p，則q”，即只否定結(jié)論；而原命題的否命題是“若p，則q”，即既否定命題的條件，又否定命題的結(jié)論． 3．如何理解充分條件與必要條件的傳遞性與對(duì)稱(chēng)性？ 提示：傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件；對(duì)稱(chēng)性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”． 一、四種命題及其關(guān)系 【例1】命題“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是__________． 方法提煉1．命題真假的判

5、定：對(duì)于命題真假的判定，關(guān)鍵是分清命題的條件與結(jié)論，只有將條件與結(jié)論分清，再結(jié)合所涉及的知識(shí)才能正確地判斷命題的真假． 2．掌握原命題和逆否命題，否命題和逆命題的等價(jià)性，當(dāng)一個(gè)命題直接判斷真假性不容易進(jìn)行時(shí)，可以轉(zhuǎn)而判斷其逆否命題的真假． 3．當(dāng)一個(gè)命題有大前提而需寫(xiě)出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提不變． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]1 二、充分條件與必要條件的判定 【例2－1】已知各個(gè)命題A，B，C，D，若A是B的充分不必要條件，C是B的必要不充分條件，D是C的充分必要條件，試問(wèn)D是A的__________條件(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)． 【例2－2】是否存在實(shí)數(shù)

6、m，使得2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分條件？ 方法提煉判斷充分條件、必要條件的方法 1．命題判斷法 設(shè)“若p，則q”為原命題，那么： (1)原命題為真，逆命題為假時(shí)，則p是q的充分不必要條件； (2)原命題為假，逆命題為真時(shí)，p是q的必要不充分條件； (3)原命題與逆命題都為真時(shí)，p是q的充要條件； (4)原命題與逆命題都為假時(shí)，p是q的既不充分也不必要條件． 2．集合判斷法 從集合的觀點(diǎn)看，建立命題p，q相應(yīng)的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么： (1)若A?B，則p是q的充分條件，若AB時(shí)，則p是q的充分不必要條件； (2

7、)若B?A，則p是q的必要條件，若BA時(shí)，則p是q的必要不充分條件； (3)若A?B且B?A，即A＝B時(shí)，則p是q的充要條件． 3．等價(jià)轉(zhuǎn)化法 條件和結(jié)論帶有否定性詞語(yǔ)的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來(lái)判斷． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]2 三、充分條件與必要條件的證明及應(yīng)用 【例3－1】“x＞0”是“＞0”成立的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．既不充分也不必要條件 D．充要條件 【例3－2】已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}． (1)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件，若存在，求出m的范圍；

8、(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使x∈P是x∈S的必要條件，若存在，求出m的范圍． 【例3－3】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求證：數(shù)列{an}成等比數(shù)列的充要條件是p≠0，p≠1且q＝－1. 方法提煉1．證明充要性首先要分清誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論．在這里要注意兩種說(shuō)法：“p是q的充要條件”與“p的充要條件是q”；前者p是條件，后者q是條件． 2．證明分為兩個(gè)環(huán)節(jié)：一是充分性，即由條件推結(jié)論；二是必要性，即由結(jié)論推條件．證明時(shí)，不要認(rèn)為它是推理過(guò)程的“雙向書(shū)寫(xiě)”，而應(yīng)該進(jìn)行由條件到結(jié)論，由結(jié)論到條件的兩次證明． 3．解決例3－2之類(lèi)問(wèn)題時(shí)，一般是把充分條件、必要條件或充

9、要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． 請(qǐng)做[針對(duì)訓(xùn)練]3 考情分析 從近兩年的高考試題看，充要條件的判定、命題真假的判斷等是高考的熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主，分值為5分，屬中低檔題目．本節(jié)知識(shí)常和函數(shù)、不等式、向量、三角函數(shù)及立體幾何中直線、平面的位置關(guān)系等有關(guān)知識(shí)相結(jié)合，考查學(xué)生對(duì)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、不等式的解法及直線與平面位置關(guān)系判定的掌握程度． 預(yù)測(cè)xx年高考仍將以充要條件的判定、判斷命題的真假為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的邏輯推理能力． 針對(duì)訓(xùn)練 1．關(guān)于命題“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下，則{x|ax2＋bx＋c＜0

10、}≠”的逆命題、否命題、逆否命題，下列結(jié)論成立的是(　　)． A．都真 B．都假 C．否命題真 D．逆否命題真 2．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個(gè)充分不必要條件是(　　)． A．x＜0 B．x≥0 C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3 3．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)·(x－3)＜0，且q是p的充分條件，則a的取值范圍為(　　)． A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6 C．a(chǎn)＜－1或a＞6 D．a(chǎn)≤－1或a≥6 4．(xx江西六校聯(lián)考)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，[x]

11、表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x]＝[y]”是“|x－y|＜1”的(　　)． A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 5．(xx陜西高考，理12)設(shè)n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是n＝__________. 參考答案 基礎(chǔ)梳理自測(cè) 知識(shí)梳理 1．判斷真假　正確　錯(cuò)誤 2．(2)①等價(jià)　同真　同假?、诓坏葍r(jià) 3．(1)充分條件　必要條件　(2)充要條件　p?q 基礎(chǔ)自測(cè) 1．C　解析：因?yàn)槊}p的逆命題是q，即命題q的逆命題是p，又p的否命題是r，所以命題q是命題

12、r的逆否命題，故選C. 2．B　解析：原命題為真命題，從而其逆否命題也為真命題；逆命題：若a＞－6，則a＞－3為假命題，則否命題也為假命題．故選B. 3．A　解析：由數(shù)的性質(zhì)知：a＜0，b＜0，則a＋b＜0，所以選A. 4．D　解析：平行于同一平面的兩直線有三種位置關(guān)系，故A錯(cuò)誤；同理判斷B，C錯(cuò)誤，故D正確． 5．如果x≠2或y≠－1，則＋(y＋1)2≠0　解析：“x＝2且y＝－1”的否定為“x≠2或y≠－1”，＋(y＋1)2＝0的否定為＋(y＋1)2≠0. 故逆否命題為：“如果x≠2或y≠－1，則＋(y＋1)2≠0”． 考點(diǎn)探究突破 【例1】　若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x

13、)不是奇函數(shù) 解析：原命題的否命題是既否定題設(shè)又否定結(jié)論，故“若f(x)是奇函數(shù)，則f(－x)是奇函數(shù)”的否命題是“若f(x)不是奇函數(shù)，則f(－x)不是奇函數(shù)”． 【例2－1】　必要不充分　解析：∵A?B?C?D， 而DDA，∴D是A的必要不充分條件． 【例2－2】　解：欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分條件，只要?{x|x＜－1或x＞3}， 則只要－≤－1，即m≥2. 故存在實(shí)數(shù)m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分條件． 【例3－1】　A　解析：∵x＞0?＞0，而＞0Dx＞0，∴x＞0是＞0成立的充分不必要條件． 【例3－2】　解：(1)由x2－8x－20≤

14、0， 得－2≤x≤10.∴P＝{x|－2≤x≤10}， ∵x∈P是x∈S的充要條件，∴P＝S， ∴∴ ∴這樣的m不存在． (2)由題意x∈P是x∈S的必要條件，則S?P，∴∴m≤3. 綜上，可知m≤3時(shí)，x∈P是x∈S的必要條件． 【例3－3】　解：先證充分性： 當(dāng)p≠0，p≠1，且q＝－1時(shí)，Sn＝pn－1. ∴S1＝p－1，即a1＝p－1， 又n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1， ∴an＝(p－1)pn－1(n≥2)． 又n＝1時(shí)也滿足， ∴an＝(p－1)·pn－1(n∈N＋)， ∴{an}是等比數(shù)列． 再證必要性： 當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝p＋q， 當(dāng)n≥

15、2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)·pn－1. 由于p≠0，p≠1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，{an}是等比數(shù)列．要使{an}(n∈N＋)是等比數(shù)列， 則＝p，即(p－1)p＝p(p＋q)， ∴q＝－1，即{an}是等比數(shù)列的充要條件是p≠0且p≠1且q＝－1. 演練鞏固提升 針對(duì)訓(xùn)練 1．D　解析：對(duì)于原命題：“若拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下，則{x|ax2＋bx＋c＜0}≠”，這是一個(gè)真命題，所以其逆否命題也為真命題，但其逆命題：“若{x|ax2＋bx＋c＜0}≠，則拋物線y＝ax2＋bx＋c的開(kāi)口向下”是一個(gè)假命題，因?yàn)楫?dāng)不等式ax2＋bx＋c＜0的解集非空時(shí)，可以有a＞0，

16、即拋物線的開(kāi)口可以向上，因此否命題也是假命題，故選D. 2．C　解析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－或x≥3， ∴對(duì)于A，當(dāng)x＝－時(shí)，2x2－5x－3＜0. 同理，B選項(xiàng)也可用特殊值驗(yàn)證，而D選項(xiàng)是它的充要條件，故選C. 3．B　解析：設(shè)q，p表示的范圍為集合A，B，則A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)． 因?yàn)閝是p的充分條件，則有A?B， 即所以－1≤a≤6.故選B. 4．A　解析：設(shè)[x]＝[y]＝n，n∈Z，則x，y∈[n，n＋1)，x－y∈(－1,1)，即|x－y|＜1，所以[x]＝[y]?|x－y|＜1，反之，若x＝2.1，y＝1.9，滿足|x－y|＜1，但是[x]＝2，[y]＝1，所以[x]≠[y]．故|x－y|＜1 [x]＝[y]．因此，選A. 5．3或4　解析：∵方程有實(shí)數(shù)根， ∴Δ＝16－4n≥0. ∴n≤4，原方程的根x＝＝2±為整數(shù)，則為整數(shù)． 又∵n∈N＋，∴n＝3或4. 反過(guò)來(lái)，當(dāng)n＝3時(shí)，方程x2－4x＋3＝0的兩根分別為1,3，是整數(shù)；當(dāng)n＝4時(shí)，方程x2－4x＋4＝0的兩根相等且為2，是整數(shù).