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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點(diǎn)強(qiáng)化課二習(xí)題 理 新人教A版(I)
一、填空題
1.(xx·泰州一檢)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊,且(b-c)(sin B+sin C)=(a-c)sin A,則角B的大小為________.
解析 由正弦定理可知(b-c)(b+c)=(a-c)a,
∴b2-c2=a2-ac,即a2+c2-b2=ac.
∵cos B===,
∴B=30°.
答案 30°
2.(xx·南通調(diào)研)在△ABC中,cos A=,cos B=,BC=4,則AB=________.
解析 ∵cos A=,cos B=,∴sin A=,sin B=
2、,
∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=0,
∴A+B=C=,∴AB==5.
答案 5
3.(xx·蘇北四市模擬)在△ABC中,AC·cos A=3BC·cos B,且cos C=,則A=________.
解析 由題意及正弦定理,得sin Bcos A=3sin Acos B,
∴tan B=3tan A,∴0°<A,B<90°,又cos C=,故sin C=,∴tan C=2,而A+B+C=180°,
∴tan(A+B)=-tan C=-2,即=-2,將tan B=3tan A代入,得=-2,∴tan A=1或tan A=-,而0°<A<90°,則
3、A=45°.
答案 45°
4.(xx·蘇、錫、常、鎮(zhèn)模擬)已知a,b,c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對的邊長,若a=1,b=,A+C=2B,則sin C=________.
解析 由A+C=2B,且A+B+C=π,得到B=,
∴cos B=,又a=1,b=,
根據(jù)余弦定理得:b2=a2+c2-2ac·cos B,
即c2-c-2=0,解得c=2,c=-1(舍去),
又sin B=,b=,根據(jù)正弦定理=得
sin C===1.
答案 1
5.(xx·石家莊模擬)在△ABC中,角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足csin A=acos C,則sin A+si
4、n B的最大值是________.
解析 由csin A=acos C,得sin Csin A=sin Acos C,
又在△ABC中sin A≠0,所以sin C=cos C,tan C=,C∈(0,π),所以C=.
所以sin A+sin B=sin A+sin=sin A+cos A=sin,A∈,所以當(dāng)A=時(shí),sin A+sin B取得最大值.
答案
6.(xx·南京調(diào)研)在△ABC中,角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c,已知a+c=2b,sin B=sin C,則cos A=________.
解析 由sin B=sin C,得b=c,
代入a+c=2b,得a=c
5、,
則由余弦定理得cos A=
==.
答案
7.(xx·廣東卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=________.
解析 因?yàn)閟in B=且B∈(0,π),所以B=或B=.又C=,所以B=,A=π-B-C=.又a=,由正弦定理得=,即=,解得b=1.
答案 1
8.(xx·陜西八校聯(lián)考)設(shè)△ABC的三邊長分別為a,b,c,面積為S,且滿足S=a2-(b-c)2,b+c=8,則S的最大值為________.
解析 ∵S=a2-(b-c)2,b+c=8,
∴bcsin A=2bc-(b2+c2-a2)=2bc-2bccos
6、A,
即sin A+4cos A=4.
聯(lián)立解得sin A=,
∴S=bcsin A=bc≤×=,
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)取等號.
答案
9.(xx·南京月考) 如圖,在△ABC中,D是邊AC上的點(diǎn),且AB=AD,2AB=BD,BC=2BD,則sin C的值為________.
解析 設(shè)BD=a,則由題意可得BC=2a,AB=AD=a,在△ABD中,由余弦定理得cos A===,所以sin A==.
在△ABC中,由正弦定理得,=,所以=,解得sin C=.
答案
二、解答題
10.(xx·湖南卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a=btan A,且B
7、為鈍角.
(1)證明:B-A=;
(2)求sin A+sin C的取值范圍.
(1)證明 由a=btan A及正弦定理,
得==,
所以sin B=cos A,即sin B=sin.
又B為鈍角,因此+A∈,故B=+A,
即B-A=.
(2)解 由(1)知,
C=π-(A+B)=π-=-2A>0,
所以A∈.
于是sin A+sin C=sin A+sin
=sin A+cos 2A=-2sin 2A+sin A+1
=-2+.
因?yàn)?<A<,所以0<sin A<,
因此<-2+≤.
由此可知sin A+sin C的取值范圍是.
11.(xx·煙臺一模)在△A
8、BC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知a=3,b=5,c=7.
(1)求角C的大??;
(2)求sin的值.
解 (1)由余弦定理,得cos C===-.∵0<C<π,∴C=.
(2)由正弦定理=,得
sin B===,
∵C=,∴B為銳角,
∴cos B===.
∴sin=sin Bcos +cos Bsin
=×+×=.
12.(xx·江蘇卷) 如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2
9、 min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的長;
(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
解 (1)在△ABC中,因?yàn)閏os A=,cos C=,
所以sin A=,sin C=.
從而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)
=sin Acos C+cos Asin C
=×+×=.
由正弦定理=,得
10、
AB=·sin C=×=1 040(m).
所以索道AB的長為1 040 m.
(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時(shí),甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,
所以由余弦定理得
d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×
=200(37t2-70t+50),
由于0≤t≤,即0≤t≤8,
故當(dāng)t= min時(shí),甲、乙兩游客距離最短.
(3)由正弦定理=,
得BC=×sin A=×=500(m).
乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50×(2+8+1)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C.
設(shè)乙步行的速度為v m/min,
由題意得-3≤-≤3,
解得≤v≤,
所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi).