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1、2022年高考數(shù)學 第七篇 第4講 基本不等式限時訓練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(xx·寧波模擬)若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，則ab的最大值為 (　　)． A. B．1 C．2 D．4 解析　∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.當且僅當a＝1，b＝時等號成立． 答案　A 2．函數(shù)y＝(x>1)的最小值是 (　　)． A．2＋2 B．2－2 C．2 D．2 解析　∵x>1，∴x－1>0， ∴y＝＝ ＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2. 當且

2、僅當x－1＝，即x＝＋1時取等號． 答案　A 3．(xx·陜西)小王從甲地到乙地的時速分別為a和b(a＝0，∴v>a. 答案　A 4．(xx·杭州模擬)設a>b>c>0，則2a2＋＋－10ac＋25c2的最小值是 (　　)． A．2 B．4 C．2 D．5 解析　2a2＋＋－10ac＋25c2 ＝2a2＋－10ac＋25

3、c2 ＝2a2＋－10ac＋25c2 ≥2a2＋－10ac＋25c2(b＝a－b時取“＝”) ＝2a2＋－10ac＋25c2＝＋(a－5c)2≥4 ，故選B. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(xx·浙江)設x，y為實數(shù)．若4x2＋y2＋xy＝1，則2x＋y的最大值是________． 解析　依題意有(2x＋y)2＝1＋3xy＝1＋×2x×y≤1＋·2，得(2x＋y)2≤1，即|2x＋y|≤.當且僅當2x＝y(tǒng)＝時，2x＋y取最大值. 答案　 6．(xx·北京朝陽期末)某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與

4、機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則當每臺機器運轉(zhuǎn)________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元． 解析　每臺機器運轉(zhuǎn)x年的年平均利潤為＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，當且僅當x＝5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元． 答案　5　8 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0， 求：(1)xy的最小值；　(2)x＋y的最小值． 解　∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0， (1)xy＝2x＋8y≥2，∴≥8，∴xy≥64. 故xy的最小值為64. (2)由2x＋8

5、y＝xy，得：＋＝1， ∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y) ＝10＋＋≥10＋8＝18. 故x＋y的最小值為18. 8．(13分)已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值； (2)求＋的最小值． 解　(1)∵x>0，y>0， ∴由基本不等式，得2x＋5y≥2. ∵2x＋5y＝20，∴2≤20，xy≤10，當且僅當2x＝5y時，等號成立． 因此有解得 此時xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴當x＝5，y＝2時，u＝lg x＋lg y有最大值1. (2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝

6、≥＝，當且僅當＝時，等號成立． 由解得 ∴＋的最小值為. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 (　　)． A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞) C．(－2,4) D．(－4,2) 解析　∵x>0，y>0且＋＝1， ∴x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋ ≥4＋2 ＝8，當且僅當＝， 即x＝4，y＝2時取等號， ∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋

7、2m恒成立， 只需(x＋2y)min>m2＋2m恒成立， 即8>m2＋2m，解得－40)，l1與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點A，B，l2與函數(shù)y＝|log2x|的圖象從左至右相交于點C，D.記線段AC和BD在x軸上的投影長度分別為a，b.當m變化時，的最小值為 (　　)． A．16 B．8 C．8 D．4 解析　如圖，作出y＝|log2x|的圖象，由圖可知A，C點的橫坐標在區(qū)間(0,1)內(nèi)，B，D點的橫坐標在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，

8、而且xC－xA與xB－xD同號，所以＝，根據(jù)已知|log2xA|＝m，即－log2xA＝m，所以xA＝2－m.同理可得xC＝2－，xB＝2m，xD＝2，所以＝＝＝＝2＋m，由于＋m＝＋－≥4－＝，當且僅當＝，即2m＋1＝4，即m＝時等號成立，故的最小值為2＝8. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．若正數(shù)a，b滿足ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________． 解析　由a，b∈R＋，由基本不等式得a＋b≥2， 則ab＝a＋b＋3≥2＋3， 即ab－2－3≥0?(－3)(＋1)≥0? ≥3， ∴ab≥9. 答案　[9，＋∞) 4．已知兩正數(shù)x，y滿足x＋y

9、＝1，則z＝的最小值為________。 解析　z＝＝xy＋＋＋＝xy＋＋＝＋xy－2，令t＝xy，則00)． (1)求f(x)的最大值； (2)證明：對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)

10、值2， ∴對任意實數(shù)a，b，恒有f(a)