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1、2022年高考數(shù)學 第三講數(shù)形結(jié)合總復習 人教版 ?? 一、專題概述 ---什么是數(shù)形結(jié)合的思想 數(shù)形結(jié)合的思想，就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想． ????恩格斯說：“純數(shù)學的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系．”“數(shù)”和“形”是數(shù)學中兩個最基本的概念，它們既是對立的，又是統(tǒng)一的，每一個幾何圖形中都蘊含著與它們的形狀、大小、位置密切相關(guān)的數(shù)量關(guān)系；反之，數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形做出直觀地反映和描述，數(shù)形結(jié)合的實質(zhì)就是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時，想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路；或者在研究圖形時

2、，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題．實現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，化難為易，化抽象為直觀． ????數(shù)形結(jié)合包括：函數(shù)與圖象、方程與曲線、復數(shù)與幾何的結(jié)合；幾何語言敘述與幾何圖形的結(jié)合等． 二、例題分析 1．善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系． ????觀察是人們認識客觀事物的開始，直觀是圖形的基本特征，觀察圖形的形狀、大小和相互位置關(guān)系，并在此基礎(chǔ)上揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系，是認識、掌握數(shù)形結(jié)合的重要進程． ????例1．函數(shù)的圖象的一條對稱軸方程是： ????（A） （B） （C） （D） ????分析：通過畫出函數(shù)的圖象，然后分別畫出上述四條直線，逐一

3、觀察，可以找出正確的答案，如果對函數(shù)的圖象做深入的觀察，就可知，凡直線x=a通過這一曲線的一個最高點或一個最低點，必為曲線的一條對稱軸，因此，解這個問題可以分別將代入函數(shù)的解析式，算得對應的函數(shù)值分別是：，其中只有–1是這一函數(shù)的最小值，由此可知，應選（A） ????2．正確繪制圖形，以反映圖形中相應的數(shù)量關(guān)系． ????觀察圖形，既要定性也要定量，借助圖形來完成某些題時，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系． ????例2．問：圓上到直線的距離為的點共有幾個？ ????分析? 由平面幾何知：到定直線L：的距離為的點的軌跡是平行L的兩條直線．因此問題就轉(zhuǎn)化為判定

4、這兩條直線與已知圓的交點個數(shù)． ????將圓方程變形為：，知其圓心是C(-1,-2)，半徑，而圓心到定直線L的距離為，由此判定平行于直線L且距離為的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個公共點 （如圖1） 啟示：正確繪制圖形，一定要注意把圖形與計算結(jié)合起來，以求既定性，又定量，才能充分發(fā)揮圖形的判定作用． ????3．切實把握“數(shù)”與“形”的對應關(guān)系，以圖識性以性識圖． ????數(shù)形結(jié)合的核心是“數(shù)”與“形”的對應關(guān)系，熟知這些對應關(guān)系，溝通兩者的聯(lián)系，才能把握住每一個研究對象在數(shù)量關(guān)系上的性質(zhì)與相應的圖形的特征之間的關(guān)聯(lián)，以求相輔相成，相互

5、轉(zhuǎn)化． ????例3．判定下列圖中，哪個是表示函數(shù)圖象． 分析? 由=，可知函數(shù)是偶函數(shù)，其圖象應關(guān)于y軸對稱，因而否定（B）、（C），又，的圖象應當是上凸的，（在第Ⅰ象限，函數(shù)y單調(diào)增，但變化趨勢比較平緩），因而（A）應是函數(shù)圖象． ????例4．如圖，液體從一圓錐形漏斗注入一圓柱形桶中，開始時，漏斗盛滿液體，經(jīng)過3分鐘注完．已知圓柱中液面上升的速度是一個常量，H是圓錐形漏斗中液面下落的距離，則H與下落時間t（分）的函數(shù)關(guān)系用圖象表示只可能是（）． 分析? 由于圓柱中液面上升的速度是一個常量，所以H與t的關(guān)系不是（B），下落時間t越大，液面下落的距離H應越大，這種變化趨勢

6、應是越來越快，圖象應當是下凸的，所以只可能是（D）． ????例5．若復數(shù)z滿足，且，則在復平面上對應點的圖形面積是多少？ ????分析? 滿足的復數(shù)z對應點的圖形是：以C(1,1)為圓心，為半徑的圓面，該圓面與圖形的公共部分為圖中所示陰影部分（要注意到∠AOC=45°） ????因此所求圖形的面積為： ????4．靈活應用“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)化，提高思維的靈活性和創(chuàng)造性． ????在中學數(shù)學中，數(shù)形結(jié)合的思想和方法體現(xiàn)最充分的是解析幾何，此外，函數(shù)與圖象之間，復數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化也充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想和方法．通過聯(lián)想找到數(shù)與形之間的對應關(guān)系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的先決條件，而強

7、化這種轉(zhuǎn)化的訓練則是提高思維的靈活性和創(chuàng)造性的重要手段． 例6．已知C<0，試比較的大?。? ????分析? 這是比較數(shù)值大小問題，用比較法會在計算中遇到一定困難，在同一坐標系中，畫出三個函數(shù)：的圖象位于y軸左側(cè)的部分，（如圖）很快就可以從三個圖象的上、下位置關(guān)系得出正確的結(jié)論： 例7? 解不等式 ????解法一? （用代數(shù)方法求解），此不等式等價于： ????解得 ????故原不等式的解集是 ????解法二? （采用圖象法）? 設(shè)即 ????對應的曲線是以為頂點，開口向右的拋物線的上半支．而函數(shù)y=x+1的圖象是一直線．（如圖） ???解方程可求出拋物線上半支與

8、直線交點的橫坐標為2，取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是． ????借助于函數(shù)的圖象或方程的曲線，引入解不等式（或方程）的圖象法，可以有效地審清題意，簡化求解過程，并檢驗所得的結(jié)果． ????例8? 討論方程的實數(shù)解的個數(shù)． ????分析：作出函數(shù)的圖象，保留其位于x軸上方的部分，將位于x軸下方的部分沿x軸翻折到x軸上方，便可得到函數(shù)的圖象．（如圖）再討論它與直線y=a的交點個數(shù)即可． ????∴當a＜0時，解的個數(shù)是0； ????當a=0時或a＞4時，解的個數(shù)是2； ????當0＜a＜4時，解的個數(shù)是4； ????當a=4時，解的個數(shù)是3． 9

9、．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（） ????（A）1個（B）2個（C）3個? （D）4個 ????分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線系，雙曲線的漸近線方程為 ????∴過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此外，過（）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故正確答案為（D） ?例9．已知直線和雙曲線有且僅有一個公共點，則k的不同取值有（） ????（A）1個（B）2個（C）3個? （D）4個 ????分析：作出雙曲線的圖象，并注意到直線是過定點（）的直線

10、系，雙曲線的漸近線方程為 ????∴過（）點且和漸近線平行的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同值，此外，過（）點且和雙曲線相切的直線與雙曲線有且僅有一個公共點，此時k取兩個不同的值，故正確答案為（D） 例10．設(shè)點P(x,y)在曲線上移動，求的最大值和最小值． ????解? 曲線是中心在（3，3），長軸為，短軸為的橢圓．設(shè)，即y=kx為過原點的直線系，問題轉(zhuǎn)化為：求過原點的直線與橢圓相切時的斜率．（如圖所示） ???? 消去y得 ???? ????解得： ????故的最大值為，最小值為 ????例11．求函數(shù)（其中a,b,c是正常數(shù)）的最小值．

11、??? 分析? 采用代數(shù)方法求解是十分困難的，剖析函數(shù)解析式的特征，兩個根式均可視為平面上兩點間的距離，故設(shè)法借助于幾何圖形求解．如圖 ?設(shè)A(0,a),B(b,-c)為兩定點，P(x,0)為x軸上一動點， ????則 其中的等號在P為線段AB與x軸的交點外，即時成立． ????故y的最小值為 ????例12．P是橢圓上任意一點，以O(shè)P為一邊作矩形O P Q R（O,P,Q,R依逆時針方向排列）使|OR|=2|OP|，求動點R的軌跡的普通方程． ????分析? 在矩形O P Q R中（如圖），由∠POR=90°，|OR|=2|OP|可知，OR是OP逆時針旋轉(zhuǎn)90°，并將長

12、度擴大為原來的2倍得到的．這一圖形變換恰是復數(shù)乘法的幾何意義，因此，可轉(zhuǎn)化為復數(shù)的運算，找到R和P的兩點坐標之間的關(guān)系，以求得問題的解決． ????解，設(shè)R點對應的復數(shù)為：，P點對應的復數(shù)為 ????則 ????故即由點在橢圓上可知有： ????整理得：就是R點的軌跡方程，表示半長軸為2a，半短軸為2b，中心在原點，焦點在y軸上的橢圓． 三解題訓練 1．求下列方程實根的個數(shù)： ????（1） ????（2） ????（3） ?? ?2．無論m取任何實數(shù)值，方程的實根個數(shù)都是（） ????（A）1個（B）2個（C）3個（D）不確定 ??? 3．已知函

13、數(shù)的圖象如右圖則（） ????（A）b∈(-∞,0)（B）b∈(0,1) ?????? （C）b∈(1,2)?? （D）b∈(2,+ ∞) ?????? 4．不等式的解集是（） ???? （A）（0，+∞）（B）（0，1）（C）（1，+∞）（D）（–∞，0） ??? 5．不等式一定有解，則a的取值范圍是（） ????（A）（1，+∞）（B）[1,+ ∞]（C）(-∞,1)（D）(0,1] ?????? 6．解下列不等式： ????（1） ?? （2） ????7．復平面內(nèi)點A、B分別對應復數(shù)2，2+i，向量繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)至向量，則點C對應的復數(shù)是___

14、____． ????8．若復數(shù)z滿足|z|<2，則arg(z-4)的最大值為___________ ?????? 9．若復數(shù)z滿足 ????10．函數(shù)的圖象是平面上兩定點距離之差的絕對值等于定長的點的軌跡，則這兩定點的坐標是(? ) ??? ?（A）（–，–）（，）（B）（–，）（，–） ?? （C）（–2，2）（2，2）（D）（2，–2）（–2，2） ????11．曲線與直線的交點個數(shù)是（）． ????（A）0（B）1 （C）2（D）3 ?????? 12．曲線與直線有兩個交點，則實數(shù)k的取值是（） ????（A） （B） （C） （D） ????13

15、．已知集合，滿足，求實數(shù)b的取值范圍． ????14．函數(shù)的值域是（） ????（A） ?????? （B） ????（C）?? （D） 四、練習答案 1．（1）2個（2）63個（3）2個 ????提示：分別作出兩個函數(shù)的圖象，看交點的個數(shù)． ????2．B、 提示：注意到方程右式，是過定點（，0）的直線系． ????3．A、 提示：由圖象知f(x)=0的三個實根是0，1，2這樣，函數(shù)解析式可變形f(x)=ax(x-1)(x-2)，又從圖象中可以看出當x∈(0,1)∪(2,+∞)時，f(x)>0．而當x>2時，x,(x-1),(x-2)均大于0，所以a>0，而可知b=-3a<0，故選（A） ????4．A ?????? 5．A ????? ?6．（可以利用圖象法求解） ????（1）x≤-1或0