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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí) 專題突破篇 專題四 立體幾何專題限時(shí)訓(xùn)練14 文 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(xx·山西康杰中學(xué)模擬)若a，b，c為三條不同的直線，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，則下列命題正確的為 (　　) A．若a∥α，b∥α，則a∥b B．若α∥a，β∥a，則α∥β C．若a⊥α，b⊥α，則a∥b D．若α⊥β，α⊥γ，則β∥γ 答案：C 解析：對(duì)于A，空間中平行于同一個(gè)平面的兩直線可能異面、相交或平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，空間中平行于同一條直線的兩平面平行或相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，空間中垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，故C正確；對(duì)于D，空間中垂

2、直于同一個(gè)平面的兩平面相交或平行，故D錯(cuò)誤． 2．(xx·河北唐山二模)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P，Q分別是線段AD1和B1C上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP＝B1Q，則下列命題錯(cuò)誤的是 (　　) A．存在P，Q的某一位置，使AB∥PQ B．△BPO的面積為定值 C．當(dāng)PA>0時(shí)，直線PB1與AQ是異面直線 D．無(wú)論P(yáng)，Q運(yùn)動(dòng)到任何位置，均有BC⊥PQ 答案：B 解析：對(duì)于A，當(dāng)P，Q分別是AD1與B1C的中點(diǎn)時(shí)，AB∥PQ，所以A正確；對(duì)于B，當(dāng)P在A處，Q在B1處時(shí)，△BPQ的面積為，當(dāng)P，Q分別在AD與B1C的中點(diǎn)時(shí)，△BPQ的面積為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，

3、當(dāng)PA>0時(shí)，設(shè)直線PB1與AQ是共面直線，則AP與B1Q共面，與已知矛盾，故C正確；對(duì)于D，由于BC垂直于PQ在平面ABCD內(nèi)的射影，所以由三垂線定理可知BC⊥PQ，故D正確．故選B. 3．已知直線l，m，平面α，β，且l⊥α，m?β，給出下列命題： ①若α∥β，則l⊥m；②若l⊥m，則α∥β；③若α⊥β，則l∥m；④若l∥m，則α⊥β. 其中真命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：①因?yàn)閘⊥α，α∥β，所以l⊥β， 又因?yàn)閙?β，所以l⊥m，故①正確； ②由l⊥m推不出l⊥β，故②錯(cuò)誤； ③當(dāng)l⊥α，α⊥β時(shí)，l可能平行于

4、β，也可能在β內(nèi)， 所以l與m的位置關(guān)系不能判斷，故③錯(cuò)誤； ④因?yàn)閘⊥α，l∥m，所以m⊥α， 又因?yàn)閙?β，所以α⊥β，故④正確．故選B. 4．(xx·廣東佛山二模)在空間中，有如下四個(gè)命題： ①平行于同一個(gè)平面的兩條直線是平行直線； ②垂直于同一條直線的兩個(gè)平面是平行平面； ③若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α∥β； ④過(guò)平面α的一條斜線有且只有一個(gè)平面與平面α垂直． 其中正確的命題是 (　　) A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 答案：B 解析：①平行于同一個(gè)平面的兩條直線，可能平行、相交或異面，不正確； ②垂直于同一條直線的

5、兩個(gè)平面是平行平面，由面面平行的判定定理知正確； ③若平面α內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面β的距離相等，則α與β可能平行，也可能相交．不正確；易知④正確．故選B. 5．(xx·江西卷)如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方體的六個(gè)面所在的平面與直線CE，EF相交的平面?zhèn)€數(shù)分別記為m，n，那么m＋n＝(　　) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 答案：A 解析：取CD中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，可知CD⊥平面EFG，因?yàn)锳B∥CD，所以AB⊥平面EFG，容易知道平面EFG與正方體的左右兩個(gè)側(cè)面平行，所以EF與正方體的兩個(gè)側(cè)面平行，觀察可知n＝

6、4；又正方體的底面與正四面體的底面共面，所以過(guò)點(diǎn)A可作AH∥CE，易知CE與正方體的上底面平行，在下底面內(nèi)，與其他四個(gè)面相交，所以m＝4，即m＋n＝8. 二、填空題(每小題5分，共15分) 6．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段CC1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，P，Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是________．(寫(xiě)出所有正確命題的序號(hào)) ①當(dāng)0

7、③⑤ 解析：當(dāng)0

8、誤， ⑤當(dāng)CQ＝1時(shí)，如圖④. 同③可作AE∥PQ交DD1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交A1D1于點(diǎn)M，顯然點(diǎn)M為A1D1的中點(diǎn)，所以S為菱形APQM，其面積為MP×AQ＝××＝，故⑤正確． 7．(xx·廣東湛江調(diào)研)設(shè)x，y，z為空間不同的直線或不同的平面，且直線不在平面內(nèi)，下列說(shuō)法中能保證“若x⊥z，y⊥z，則x∥y”為真命題的序號(hào)為_(kāi)_______． ①x為直線，y，z為平面： ②x，y，z都為平面； ③x，y為直線，z為平面； ④x，y，z都為直線； ⑤x，y為平面，z為直線． 答案：①③⑤ 解析：①x⊥平面z，平面y⊥平面z. ∴x∥平面y或x?平面y. 又∵x?平面y，

9、故x∥y，①成立； ②x，y，z均為平面，則x可與y相交，故②不成立； ③x⊥z，y⊥z，x，y為不同直線，故x∥y，③成立； ④x，y，z均為直線，則x與y可平行，可異面，也可相交，故④不成立； ⑤z⊥x，z⊥y，z為直線，x，y為平面，所以x∥y，⑤成立． 8．(xx·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，將直角梯形ABCD沿AC折疊成三棱錐D－ABC，當(dāng)三棱錐D－ABC的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為_(kāi)_______． 答案：π 解析：由題意，要想三棱錐D－ABC的體積最大，則需點(diǎn)D到平面ABC的距離最遠(yuǎn)． 即平面

10、DAC⊥平面ABC. 作DE⊥AC，交AC于E，DE即為三棱錐D－ABC的高．連接OD，OE. ∵AB＝2AD＝2CD＝2， ∴DE＝，OE＝BC＝， ∴DO＝＝1， ∴DO＝AO＝BO. ∴O為三棱錐D－ABC體積取最大值時(shí)外接球的球心． ∴V＝πr3＝π. 三、解答題(9題12分，10題、11題每題14分，共40分) 9．(xx·北京卷)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC的中點(diǎn)． (1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1； (2)求證：C1F∥平面ABE； (3)求三棱錐E

11、－ABC的體積． 解：(1)證明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC， 所以BB1⊥AB，又因?yàn)锳B⊥BC， 所以AB⊥平面B1BCC1， 因?yàn)锳B?平面ABE. 所以平面ABE⊥平面B1BCC1. (2)證明：取AB中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G. 因?yàn)镋，F(xiàn)分別是A1C1，BC的中點(diǎn)， 所以FG∥AC，且FG＝AC. 因?yàn)锳C∥A1C1， 且AC＝A1C1， 所以FG∥EC1， 且FG＝EC1. 所以四邊形FGEC1為平行四邊形， 所以C1F∥EG. 又因?yàn)镋G?平面ABE，C1F?平面ABE， 所以C1F∥平面ABE. (3)因?yàn)锳A1＝AC

12、＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以AB＝＝. 所以三棱錐E－ABC的體積V＝S△ABC·AA1 ＝×××1×2＝. 10．(xx·福建南平檢測(cè))如圖，在底面是正方形的四棱錐P－ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是PC中點(diǎn)，G為AC上一點(diǎn)． (1)求證：BD⊥FG； (2)確定點(diǎn)G在線段AC上的位置，使FG∥平面PBD，并說(shuō)明理由． 解：(1)證明：因?yàn)镻A⊥面ABCD，四邊形ABCD是正方形，其對(duì)角線BD，AC交于點(diǎn)E， 所以PA⊥BD，AC⊥BD， 又因?yàn)镻A∩AC＝A， 所以BD⊥平面PAC， 因?yàn)镕G?平面PAC， 所以BD⊥FG. (2)當(dāng)

13、G為EC中點(diǎn)， 即AG＝AC時(shí)，F(xiàn)G∥平面PBD， 連接PE，由F為PC中點(diǎn)，G為EC中點(diǎn)，知FG∥PE. 而FG?平面PBD，PE?平面PBD， 故FG∥平面PBD. 11．(xx·河南洛陽(yáng)二模)四邊形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝4，AB＝2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，EF∥AB.現(xiàn)將四邊形ABEF沿EF折起，使平面ABEF⊥平面EFDC，如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為P. (1)當(dāng)E為BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：CP∥平面ABEF； (2)設(shè)BE＝x，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐A－CDF的體積取最大值？并求出這個(gè)最大值． 解：(1)證法一：取AF的中點(diǎn)Q，連接QE，

14、QP，則QP∥DF，且QP＝DF. 又DF＝4，EC＝2，且DF∥EC， 所以EC∥DF，且EC＝DF， 所以PQ∥EC，且PQ＝EC. 故四邊形PQEC為平行四邊形， 所以CP∥QE， 又QE?平面ABEF，CP?平面ABEF， 所以CP∥平面ABEF. 證法二：如圖，取FD的中點(diǎn)M，連接PM，CM. 在△ADF中，P，M分別為DA，DF的中點(diǎn)， 所以PM∥AF，且PM ＝AF. 又DF＝4，EC＝2，且DF∥EC， 所以FM∥EC，且FM＝EC， 即四邊形EFMC為平行四邊形， 所以EF∥MC. 又PM∩MC＝M，AF∩EF＝F， 所以平面PMC∥平面ABEF. 又CP?平面PMC，所以CP∥平面ABEF. (2)因?yàn)槠矫鍭BEF⊥平面EFDC，平面ABEF∩平面EFDC＝EF， 又AF⊥EF，所以AF⊥平面EFDC， 所以平面AFD⊥平面EFDC. 已知BE＝x(0