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1、2022年高二數學 7.3兩條直線的位置關系(備課資料)大綱人教版必修 一、參考例題 ［例1］(xx年全國)兩條直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要條件是( ) A.A1A2＋B1B2＝0 B.A1A2－B1B2＝0 C.＝－1 D.＝1 解：當B1，B2都不為零時，k1＝－，k2＝－ k1·k2＝＝－1 ∴A1A2＋B1B2＝0. 當B1＝0時，兩直線垂直的充要條件是A2＝0，當B2＝0時，兩直線垂直的充要條件是A1＝0，所以滿足A1A2+B1B2＝0，故選A. 評述：一定要注意A1，B1及A2，B2不能同時

2、為零，也要注意斜率等于零與斜率不存在的兩條直線互相垂直. ［例2］(1997年全國)如果直線ax＋2y＋2＝0與直線3x－y－2＝0平行，那么系數a為( ) A.－3 B.－6 C.－ D. 解：若兩直線平行，則 ，解得a＝－6.故選B. 評述：此題通過直線方程的系數比例關系來判斷兩直線的位置關系. 二、參考練習題 1.若原點在直線l上的射影是點P（－2，1），則直線l的方程是( ) A.x＋2y＝0 B.x＋2y－４＝0 C.2x－y＋5＝0 D.2x＋y＋3＝0 解：由已知，得kOP＝－，再由l⊥OP

3、，所以kOP·kl＝－1. ∴k1＝2. 又直線l過點P（－2，1），所以l方程為：y－1＝2（x＋2） 即2x－y＋5＝0. 故選C 2.若A（－４，2），B(6，－４），C(12，6)，D(2，12)，則下面四個結論,正確的個數是( ) ①AB∥CD ②AB⊥CD ③｜AC｜＝｜BD｜ ④AC⊥BD A.1 B.2 C.3 D.４ 解：∵kAB＝， kCD＝. ∴AB方程為y－2＝－（x＋４） 即3x＋5y＋2＝0∴C（12，6)不在AB上. ∴AB∥CD 又∵kAD＝. ∴kAB·kAD＝－

4、1 ∴AB⊥AD. ∵｜AC｜＝ ｜BD｜＝ ∴｜AC｜＝｜BD｜ ∵kAC＝， ∴kAC·kBD＝－1 即AC⊥BD. ∴四個結論都正確，故選D. 評析：此題屬于數學中多選題型，需要逐一分析，主要考查學生對基本知識點、基本公式、基本方法的掌握情況. 3.求經過點（2，1），且與直線2x+y-10=0垂直的直線L的方程. 解法一：設直線L的斜率為k ∵直線L與直線 2x+y-10=0垂直， ∴k·（-2）=-1. ∴k=. 又∵L經過點A（2，1），∴所求直線L的方程為y-1=(x-2),即x-2y=0. 解法二：設與直2x+y-10=0垂直的直線方程為x-2y+

5、m=0. ∵直線L的經過點A(2,1), ∴2-2×1+m=0. ∴m=0. ∴所求直線L的方程為x-2y=0. ●備課資料 參考例題 ［例1］等腰直角三角形，斜邊中點是M（４，2），一條直角邊所在的直線方程是y＝2x，求另外兩邊所在的直線方程. 解：設斜邊所在直線AB斜率為k，斜邊與直角邊所夾角為45°. 所以tan４5°＝ 解得k＝－3或k=，當k=-3時，斜邊方程為y－2＝－3（x－４）即3x＋y－1４＝0 由 ∴斜邊上一個頂點為A（），另一個頂點B()，另一條直角邊所在方程：x＋2y－2＝0，當k＝時，同理可得另兩邊所在的直線方程： x－3y＋2＝0，x＋2y－

6、1４＝0. ［例2］光線從A（－3，４）點射出，到x軸上的B點后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射線恰好過點D(－1，6)點，求BC所在直線的方程. 解：如圖所示，依題意，B點在原點O左側，設坐標為(a，0）.由入射角等于反射角，得∠1＝∠2，∠3＝∠４， ∴kAB＝－kBC 又 kAB＝ ∴kBC＝，∴BC的方程y－0＝（x－a） 即４x－（3＋a）y－４a＝0 令x＝0，解得C點坐標為(0，），則kDC＝ ∵∠3＝∠４. ∴ 解得a＝－，代入BC方程得 5x－2y＋7＝0. 另解：由入射角等于反射角可知BC一定過點A關于x的對稱點A＇（-3，-4）及

7、D點關于y軸的對稱D＇（1，6）. 由兩點式得A＇D＇方程即BC方程5x－2y＋7＝0. ［例3］等腰三角形兩腰所在的直線方程為7x－y－9＝0與x＋y－7＝0，它的底邊所在直線通過點A(3，－８），求底邊所在的直線方程. 解法一：設l1：7x－y－9＝0 l2：x＋y－7＝0 直線l1、l2的斜率分別為k1，k2，則底邊所在的直線l到l1的角與l2到l1的角為等腰三角形兩底角，故相等.于是有 即： （其中k為所求直線斜率) 解得：k＝－3或k＝. ∴所求直線方程為3x＋y－1＝0，或x－3y－27＝0. 解法二：設頂角平分線的斜率為k，由已知kl1＝7，kl2＝－1，于是

8、有 解得k＝或k＝－3 由平面幾何知識知道，頂角的平分線與底邊垂直，所以底邊的斜率為－3和. 故所求直線方程為 3x＋y－1＝0，或x－3y－27＝0. 解法三：設底邊所在直線的方程為 y＋８＝k（x－3）. 即kx－y－3k－８＝0 由方程組 解得等腰三角形頂點B的坐標為(2，5). 由方程組（k≠7) 解得底邊一端點C的坐標為 （）. 由方程組 解得底邊另一端點D的坐標為 (）. 由｜BC｜＝｜BD｜，得 解得k＝－3或k＝ 故所求直線方程為：3x＋y－1＝0或x－3y－27＝0. ●備課資料 一、兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2

9、x＋B2y＋C2＝0的位置關系與二元一次方程組的關系. (1)若二元一次方程組有惟一解，即有惟一解，則l1，l2相交. (2)若二元一次方程組無解，則l1∥l2. (3)若二元一次方程組有無數個解，則直線l1與l2重合. 二、兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(其中A2，B2，C2全不為0)的位置關系與方程系數的關系： (1)l1∥l2， (2)l1，l2相交， (3)l1，l2重合. 三、參考例題 ［例1］兩條直線y＝kx＋2k＋1和x＋2y－４＝0的交點在第四象限，則k的取值范圍是( ) A.（－6，2）

10、B.（－，0） C.（－，－） D.（，＋∞) 解法一：解方程組 得交點為(－） ∵此點在第四象限 ∴ ∴－，故選C. 解法二：如圖，直線x＋2y－４＝0與x軸的交點是A（4，0），方程y＝kx＋2k＋1表示的是過定點P（－2，1）的一組直線，其中PB為過點P且與x＋2y－４＝0平行的直線. 由于直線的交點在第四象限，因此滿足條件的直線的位置應介于直線PB與PA之間，其余率 kPB＜k＜kPA 而kPA＝－，kPB＝－， 所以－＜k＜－ 故選C. 評述：有關直線的交點問題，可以通過方程用代數的方法解決，也可結合圖形用幾何的方法解決，讓學生予以體會. [例2

11、] 若a+b+c=0,求證直線ax+by+c=0必經過一個定點. 證明：由a+b+c=0,且a、b不同時為0，設b≠0，則a=-(b+c), 代入直線方程ax+by+c=0, 得（x-y）+(x-1)=0. 此方程可視為直線x-y=0與x-1=0交點的直線系方程. 解方程組 得x=1，y=1，即兩直線交點為（1，1）.故直線ax+by+c=0過定點（1，1）. ●備課資料 一、參考例題 ［例1］(1994年全國)點(0，5)到直線y＝2x的距離是( ) A. B. C. D. 解：直線方程化為2x－y＝0，由點到直線距離公式可得

12、 d＝.選B. ［例2］(1992年全國文)原點關于直線８x＋6y＝25的對稱點坐標是( ) A.（2，） B.（） C.（3，４） D.（４，3) 解法一：取各點橫縱坐標一半代入已知直線方程檢驗，D符合. 解法二：設對稱點坐標P（x0，y0），則PO中點坐標符合已知直線方程，且kPO·（－）＝－1， 即，解得P（４，3）.選D 二、參考練習題 1．已知一直線l被兩平行線3x＋４y－7＝0和3x＋４y＋８＝0所截線段長為3，且l過點(2，3)，求l的方程. 解：若l斜率不存在，則與題意不符；設直線的斜率為k，直線l的方程為：kx－y＋3－2k＝0 由

13、已知兩條平行線間的距離為＝3，而l與此兩條平行線所截線段長為3，設l與兩平行線的夾角為α，則ｔaｎα＝1，兩平行線斜率為－. 概括兩條直線的夾角公式：＝1 解得k1＝，k2＝－7. 所以直線l的方程是 x－7y＋19＝0或7x＋y－17＝0. 2．在直線x－3y－2＝0上求兩點，使它與點(－2，2）構成等邊三角形的三個頂點. 解法一：點(－2，2）到直線x－3y－2的距離為d＝，即等邊三角形的高為. 由此得等邊三角形的邊長為. 若設此三角形在直線x－3y－2＝0上的頂點坐標為(x0，y0），則x0＝3y0＋2，所以其坐標為（3y0＋2，y0） 于是有［3y0＋2－（－2）］2

14、＋（y0－2）2＝（）2. 整理得(y0＋1)2＝. ∴y0＝－1±，x0＝－1± 故兩點為（-1+，-1+）和（－1－，－1－）. 解法二：設過點（－2，2）的一條邊所在直線的斜率為k. 因為等邊三角形的內角為60°，所以三條邊中每兩條邊的夾角都為60°，于是 tan60°＝,即. 解得k＝或k＝. 當k＝時，這條邊所在直線方程為： y－2＝（x＋2）， 解方程組 解得x＝－1－，y＝－1－. 同理，當k＝時，可求得另一頂點為 (－1＋，－1＋). 故兩點為(－1＋，－1＋)和(－1－，－1－） 備課資料 一、直線系的概念 一般地．具有某種共

15、同屬性的一類直線的集合，稱為直線系，它的方程叫做直線系方 程，直線系方程中除含變量x、y以外，還有可以根據具體條件取不同值的變量，稱為參 變量．簡稱參數． 由于參數取向不同，就得不同的直線系． 二、幾種常見的直線系 (1)過定點的直線系 ①直線y=kx+b(其中k為參數，b為常數) 它表示過定點(O，b)的直線系,但不包括y軸(即x=0)． ②經過定點M(x0，y0)的直線系 y-y0=k(x-x0)(k為參數) 它表示經過定點(x0 、y0)的直線系，但不包括平行y軸的那一條(即x=x0)．

16、(2)已知斜率的直線系 ①y=kx+b(k為常數,b為參數) 它表示斜率為k的平行直線系． ②若已知直線L：Ax+By+C=0．與L平行的直線系為Ax+By+m=0,(m為參數且m≠c). ③若已知直線L：Ax+By+C=O,與L垂直的直線系為Bx-Ay+n=O(n為參數)． (3)經過兩條直線交點的直線系 ①經過兩直線Ll：A1x+Bly+C1=O(Al2+Bl2≠O)與L2：A2x+B2y+C2=O(A22+B22≠O)交點的直線系為m(Alx+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(其中m、n為參數，m2+

17、n2≠O)． 當m=1,n=O時，方程即為L1的方程； 當m=O,n=1時,方程即為L2的方程． ②上面的直線系可改寫成(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2)=O(其中λ為參數)，但是，方程中不包括直線L2，這個參數方程形式在解題中較為常用． 三、常見的點關于直線的對稱點有 ①A(a,b)關于x軸的對稱點為A＇ (a，-b)； ②B(a,b)關于y軸的對稱點為B＇(-a．b)； ③C(a，b)關于直線y=x的對稱點為C＇(b,a)； ④D(a,b)關于直線y=-x的對稱點為D＇（-b,-a）;

18、 ⑤P(a,b)關于直線x=m的對稱點為P＇(2m-a,b)； ⑥Q(a,b)關于直線．y=n的對稱點為Q＇(a,2n-b); ⑦點E(a,b)關于直線L：Ax+By+C=O的對稱點E＇的求法： 令E＇(x0、y0),則有 解此方程組．可得對稱點E＇的坐標． 四、常見的直線關于直線的對稱直線有 設直線L：Ax+By+C=O ①L關于x軸的對稱的直線是Ax+B(-y)+C=O； ②L關于y軸的對稱的直線是A(-x)+By+C=0; ③L關于直線y=x對稱的直線是Bx+Ay+C=O; ④

19、L關于直線y=-x對稱的直線A(-y)+B(-x)+C=O． 五、針對高考試題特點．對于本節(jié)內容應注意的問題 1．認真理解和掌握好有關平行、垂直、夾角、距離等基礎知識、基本方法及基本問題． 2．認真掌握有關對稱的四種基本類型問題的解法．即：1°點關于點的對稱問題；2°直線關于點的對稱問題；3°點關于直線的對稱問題；4°直線關于直線的對稱問題． 3．在由兩直線的位置關系確定有關字母的值或討論直線Ax+By+C=0中各系數間的關系和直線所在直角坐標系中的象限等問題時，要充分利用分類討論、數形結合、特殊值檢驗等基本的數學方法和思想． 4．平面解析幾何

20、的核心是坐標法。它需要運用運動變化的觀點，運用代數的方法研究幾何問題，因此解析幾何問題無論從知識上還是研究方法上都要注意與函數、方程、不等式、三角及平面幾何內容相聯系，本部分內容在這方面體現的也很明顯． 5．兩條直線的位置關系是解析幾何的基礎。同時本部分內容所涉及的“數形結合”對 稱”化歸”等方法也是解析幾何的重要思想方法．因此對于本部分內容要切實學好、學透、用活． 6．在歷年的高考試題中，本部分內容也是常考問題的熱點之一。多以選擇題、填空題 形式出現，也與圓錐曲線內容及代數有關知識結合在一起命題，成為試卷中的中等題和 難題． 六、參考練習題 1．

21、已知△ABC的三邊所在直線的方程分別是LAB：4x-3y+10=O，LBC：y=2，LCA： 3x-4y=5．求： (1)∠ABC的大??； (2) ∠BAC內角平分線方程； (3) AB邊上的高所在直線方程． 解：(1)LBC：y=2是與x軸平行的直線, LAB: 4x-3y+10=0的斜率為，傾斜角為 arctan． ∴∠ABC=π-arctan. (2)設P(x,y)是∠BAC平分線上任意一點．則P到AC、AB的距離相等． ∴4x-3y+10=±（3x-4y-5）. 又∠BAC的平分線的斜率在 和之間． ∴7x-

22、7y+5=0為所求直線方程． (3)設過點C的直線系方程為3x-4y-5+λ(y-2)=O即3x-(4-λ)y-5-2λ=O. 要使此直線與直線LAB: 4x-3y+10=0垂直, 必須=-1， 即λ=8． ∴AB邊上的高所在直線方程為3x+4y-21=O． 2．直線L過點A(2，3)且被兩平行線L1：3x+4y-7=O和L2：3x+4y+8=O截得的線段長為3，試求直線L的方程． 解：設直線L的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=O． 設L1與L交于點M，作MN⊥L2于點N． 兩平行線L1、L2間距離 |MN|= 在直角△MNQ中，|MQ|=3， sinMQN= ∴∠MQN=45°，即直線L與L2的夾角是45°，于是tan45°= 解得k=或k=-7. ∴所求直線方程為x-7y+19=0或7x+y-17=O．