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1、2022年高二數(shù)學 7.5曲線和方程(備課資料)大綱人教版必修 參考練習題 1.如果曲線C上的點滿足方程F（x,y)=0，則以下說法正確的是（ ） A.曲線C的方程是F(x,y)=0 B.方程F(x,y)=0的曲線是C C.坐標滿足方程F(x,y)=0的點在曲線C上 D.坐標不滿足方程F（x,y)=0的點不在曲線C上 分析：判定曲線和方程的對應關系，必須注意兩點：（1）曲線上的點的坐標都是這個方程的解，即直觀地說“點不比解多”稱為純粹性；（2）以這個方程的解為坐標的點都在曲線上，即直觀地說“解不比點多”，稱為完備性，只有點和解一一對應，才能說曲線的方程，方程和曲線. 解：

2、由已知條件，只能說具備純粹性，但不一定具備完備性.故選D. 2.判斷下列結論的正誤，并說明理由. （1）過點A（3，0）且垂直于x軸的直線的方程為x=0; (2)到x軸距離為2的點的直線方程為y=-2; (3)到兩坐標軸的距離面積等于1的點的軌跡方程為xy=1; (4)△ABC的頂點A（0，-3），B（1，0），C（-1，0），D為BC中點，則中線AD的方程為x=0. 分析：判斷所給問題的正誤，主要依據(jù)是曲線的方程及方程的曲線的定義，即考查曲線上的點的純粹性和完備性. 解：（1）滿足曲線方程的定義. ∴結論正確. （2）因到x軸距離為2的點的直線方程還有一個；y=2，即不具

3、備完備性. ∴結論錯誤. （3）到兩坐標軸的距離的乘積等于1的點的軌跡方程應為｜x｜·｜y｜=1,即xy=±1. ∴所給問題不具備完備性. ∴結論錯誤. （4）中線AD是一條線段，而不是直線， ∴x=0(-3≤y≤0), ∴所給問題不具備純粹性. ∴結論錯誤. 3.方程（3x-4y-12)·［log2(x+2y)-3］=0的曲線經(jīng)過點A（0，-3）、B（0，4）、C（）、D（4，0）中的（ ） A.0個 B.1個 C.2個 D.3個 分析：方程表示的兩條直線3x-4y-12=0和x+2y-9=0，但應注意對數(shù)的真數(shù)大于0， ∴x

4、+2y＞0. 解：由對數(shù)的真數(shù)大于0，得x+2y＞0. ∴A(0,-3)、C()不合要求. 將B（0，4）代入方程檢驗，不合要求. 將D（4，0）代入方程檢驗，合乎要求. 故選B. 4.已知點A（-3，0），B（0，），C（4，-），D（3secθ, tanθ),其中在曲線5x2-9y2=45上的點的個數(shù)為（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 分析：由曲線上的點與方程的解的關系，只要把點的坐標代入方程，若滿足這個方程，說明這是這個方程的解，這個點就在該方程表示的曲線上. 解：將點A（-3，0）、B（0，）、C（4，-）、D

5、（3secθ, tanθ)代入方程5x2-9y2=45檢驗，只有點A和點B滿足方程. 故選B. 5.如果兩條曲線的方程F1(x,y)=0和F2(x,y)=0，它們的交點M（x0,y0)，求證：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0表示的曲線也經(jīng)過M點.（λ為任意常數(shù)） 分析：只要將M點的坐標代入方程. F1(x,y)+λF2(x,y)=0，看點M的坐標是否滿足方程即可. 證明：∵M(x0,y0)是曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點， ∴F1（x0,y0)=0,F2(x0,y0)=0. ∴F1(x0,y0)+λF2(x0,y0)=0(λ∈R) ∴M(x0,y0)

6、在方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0所表示的曲線上. 評述：方程F1(x,y)+λF2(x,y)=0也稱為過曲線F1(x,y)=0和F2(x,y)=0的交點的曲線系方程. ●備課資料 參考練習題 1.動點M到定點A（0，3）的距離等于它到定直線y=-1的距離，求動點M的軌跡方程. 分析：依據(jù)求曲線方程的步驟求解. 解：設軌跡上的任一點為M（x,y)，作MN垂直于直線y=-1于點N， 則由｜MN｜=｜AM｜ 得｜y+1｜= 整理：y=x2+1 ∴所求軌跡方程為：y=x2+1. 如圖所示： 2.已知點A（-a,0）,B(a,0),(a∈R+)，若動點M

7、與兩定點A、B構成直角三角形，求直角頂點M的軌跡方程. 分析：先依題意畫出草圖，幫助分析，然后按求曲線方程的步驟求解. 解：如圖，設點M的坐標為M（x,y) 由AM⊥BM 得kAM·kBM=-1. 即x2+y2=a2 ∵M、A、B三點構成三角形 ∴M、A、B三點不共線，點M的縱坐標y≠0，從而得x≠±a. ∴所求軌跡的方程為： x2+y2=a2(x≠±a) 3.已知平面上兩個定點A、B之間的距離為2a，點M到A、B兩點的距離之比為2∶1，求動點M的軌跡方程. 分析：因已知條件中未給定坐標系，所以需“恰當”建立坐標系，考慮到對稱性，由｜AB｜=2a,選A、B兩點所在的直線為

8、x軸，AB中點為坐標原點.A（-a,0）,B(a,0)，再求解. 解：如圖，以兩定點A、B所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸建立坐標系. ∵｜AB｜=2a. ∴設A(-a,0),B(a,0),M(x,y) ∵｜MA｜∶｜MB｜=2∶1 ∶ =2∶1 =2 化簡，得（x-a)2+y2=a2 ∴所求動點M的軌跡方程為 （x-a）2+y2=a2. 4.一個動點P與兩定點A、B的距離的平方和為122，｜AB｜=10,求動點P的軌跡方程. 分析一：因兩定點A、B的距離｜AB｜=10,選A、B所在直線為x軸，原點為AB的中點，建立坐標系. 解法一：建立坐標系，使AB在x軸上，原

9、點為AB的中點， ∵｜AB｜=10,∴A(-5,0)、B(5,0) 設動點為P（x,y) 依題意｜PA｜2+｜PB｜2=122，得 （x+5)2+y2+(x-5)2+y2=122. 化簡，x2+y2=36. 分析二：取A、B所在直線為x軸，A為坐標原點，因｜AB｜=10,則B（10，0），然后依題設條件，列出方程. 解法二：建立直角坐標系，使AB在x軸上，原點為A點， ∵｜AB｜=10，則B（10，0）， 設動點P（x,y). 依題意，得x2+y2+(x-10)2+y2=122 化簡：x2+y2-10x-11=0. 評述：不難發(fā)現(xiàn)，在上面兩種解法中，由于選取直角坐標系的

10、不同而導致曲線的繁簡程度不一.解法一中利用對稱性，取AB中點為坐標系的原點，解法二中直接將線段AB的左端點取為坐標系的原點，解法一的方程比解法二的方程簡潔，但不能由此斷定任何情況下，取線段中點為坐標系的原點就是最恰當?shù)?，上面?中，如取A（-,0）,B(-,0)，則曲線方程為x2+y2=a2. ●備課資料 參考練習題 1.求點P到點F（4，0）的距離比它到直線x+5=0的距離小1的點的軌跡方程. 分析：利用直接法列出方程. 解：設P（x,y)為所求軌跡上任意一點， ∵點P到F的距離比它到直線x+5=0的距離小1. 故點P到F（4，0）的距離與點P到直線x+4=0的距離｜PD｜相等

11、. ∴｜PF｜=｜PD｜ ∴=｜x-(-4)｜ ∴y2=16x. 2.過點P(2,4)作互相垂直的直線l1,l2，若l1交x軸于A，l2交y軸于B，求線段AB中點M的軌跡方程. 分析一：設M（x,y)為所求軌跡上任意一點，利用l1⊥l2，由k1·k2=-1求解. 解法一：設M(x,y)為所求軌跡上任一點， ∵M為AB中點， ∴A（2x,0),B(0,2y), ∵l1⊥l2且l1,l2過點P（2，4）， ∴PA⊥PB ∴kPA·kPB=-1 ∵kPA=(x≠1) kPB= ∴· =-1 即：x+2y-5=0(x≠1) 當x=1時，A（2，0）、B（0，4）,此時A

12、B中點M的坐標為（1，2），它也滿足方程x+2y-5=0. ∴所求點M的軌跡方程為x+2y-5=0. 分析二：連結PM，由l1⊥l2， ∴△APB為直角三角形, ｜PM｜=｜AB｜ 解法二：連結PM. 設M（x,y), 則A(2x,0),B(0,2y) ∵l1⊥l2，∴△PAB為直角三角形 ∴｜PM｜=｜AB｜ 即 化簡：x+2y-5=0 ∴所求點M的軌跡方程為x+2y-5=0. 3.已知定點A（4，0）和圓x2+y2=4上的動點B，點P分AB之比為2∶1，求點P的軌跡方程. 分析：設點P（x,y)，B（x0,y0) 由=2，找出x、y與x0、y0的關系. 利用

13、已知曲線方程消去x0、y0，得到x、y的關系. 解：設動點P（x,y）及圓上點B（x0,y0） ∵λ==2, 代入圓的方程x2+y2=4 得 即：(x-)2+y2= ∴所求軌跡方程為：（x-）2+y2=. 4.過不在坐標軸上的定點M（a,b)任作一直線，分別交x軸、y軸于A、B，求線段AB中點P的軌跡方程. 分析：利用平面幾何性質求解. 解法一：設線段AB的中點為P（x,y) 作MC⊥y軸，PD⊥y軸，垂足分別為C、D， 則：CM=a，OC=b，DP=x，OD=DB=y ∵MC∥PD ∴△MBC∽△PBD ∴ 即（x≠0,y≠0) 故所求軌跡方程為：2xy-

14、bx-ay=0. 分析二：利用B、M、A三點共線得kMA=kMB求解. 解法二：設點A（m,0),B(0,n) 則線段AB的中點P（x,y)的坐標滿足 m=2x,n=2y. ∵B、M、A共線 ∴kMA=kMB ∴ 得an-mn+mb=0. 由m=2x,n=2y 得ay-2xy+bx=0. 分析三：因AB直線過點M（a,b)，設其方程為：y-b=k(x-a).將斜率k作參數(shù)求解. 解法三：設線段AB的中點為P（x,y)， 過點M（a,b)的直線方程為： y-b=k(x-a),(k≠0) 則A(a-,0),B(0,b-ak) ∴中點P的坐標為： 消去k得所求方

15、程為： 2xy-bx-ay=0. ●備課資料 參考練習題 1.若直線l:y=x+b與曲線C:y=有兩個不同的交點，求b的取值范圍. 分析：將曲線的交點問題轉化為方程組的解的問題來求解. 解：由 消去x得，得 2y2-2by+b2-1=0(y≥0) ① 由題設條件直線l與拋物線有兩個不同的交點，所以將問題轉化為求方程①有兩個不同的非負實數(shù)根. ∴ 解得1≤b＜. ∴所求b的取值范圍為1≤b＜. 2.已知拋物線y=-x2+mx-1與以A(3,0)，B（0，3）為端點的線段AB恰有一個公共點，求實數(shù)m的取值范圍. 分析：由直線AB的方程為y=-x+

16、3，得線段AB的方程為:y=-x+3(0≤x≤3),由題設拋物線y=-x2+mx-1與線段AB：y=-x+3恰有一個公共點，問題歸結為方程組 在0≤x≤3內(nèi)只有一個實數(shù)解. 解：線段AB方程為y=-x+3.(0≤x≤3). 代入拋物線方程得 x2-(m+1)x+4=0(0≤x≤3) ① 問題歸結為方程x2-(m+1)x+4=0在［0,3］內(nèi)僅有一個實數(shù)解. 令f(x)=x2-(m+1)x+4, 結合f(x)=x2-(m+1)x+4在區(qū)間［0,3］上的圖象可知. (ⅰ)當m=3時，方程有兩相等實根，且對稱軸在區(qū)間［0,3］內(nèi). （ⅱ)當f(0)·f(3)≤0，即

17、4［9-3(m+1)+4］≤0 即m≥時，方程恰有一實根在［0,3］內(nèi). 但當m=時，由方程①得x1=或x2=3，即方程①當m=時，有兩實根在區(qū)間［0，3］內(nèi)，不合題意，舍去. 綜上所述，所求實數(shù)m的取值范圍為 m=3或m＞. 3．曲線2y2+3x+3=0與曲線x2+y2-4x-5=0的公共點的個數(shù)是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 解：由 ① ② 得：2x2-11x-13=0. 即（2x-13）(x+1)=0. 將 x1=-1,x2=分別代入①， 得 即兩曲線有一個公共點（-1，0）. ∴應選D

18、. 評述：由曲線上點的坐標和它的方程的解之間的對應關系可知，兩條曲線的交點的坐標，應是由這兩條曲線的方程所組成的方程組的實數(shù)解.方程組有幾個實數(shù)解，這兩條曲線就有幾個交點. 4.給出下列曲線，其中與直線y=-2x-3有交點的所有曲線是（ ） ①4x+2y-1=0 ②x2+y2=3 ③ ④ A. ①③　　　　　　　B.②④ C.①②③ D.②③④ 分析：如果不加深入思考，采用直線方程y=-2x-3分別與四個曲線方程分別聯(lián)立求交點，那是何等的復雜、冗長，且易出現(xiàn)差錯.作為一個選擇題，這樣來處理，有些不恰當，如何解呢？ 解：∵y=-2x-3可變形為4x+2y+6=0.顯然此直線與直線4x+2y-1=0平行.故排除A、C，將y=-2x-3代入 .并整理得9x2+24x+16=0,即(3x+4)2=0. 解之得 ∴應選D 評述：本題考查曲線交點，立足基礎，設計巧妙 .一個一個求交點較繁且易出錯.只有分析判斷能力強、思維靈活、正反面結合，才能快速準確地求得解答，本題對分析、判斷能力要求較高.