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1、2022年高二數(shù)學(xué) 排列 組合 和概率 10.2 組合同步教案 新人教A版 【教學(xué)內(nèi)容】 第十章 排列 組合 和概率 10.2 組合 要求：1、學(xué)習(xí)掌握組合、組合數(shù)概念和組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)。熟練運(yùn)用這些基本概念和性質(zhì)解題； 2、掌握解排列組合題的思想方法，適當(dāng)?shù)胤诸?，分步，?gòu)造恰當(dāng)?shù)慕夥ń鉀Q問(wèn)題； 3、靈活運(yùn)用有關(guān)概念；開(kāi)拓解題思路，力爭(zhēng)做到一題多解。 【學(xué)習(xí)指導(dǎo)】 1、掌握組合的概念： 定義：從n個(gè)不同元素中，取出m(m≤n)個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。 排列與組合的共同點(diǎn)，就是要“從n個(gè)不同元素中，任取

2、m個(gè)元素”，而不同的是，對(duì)于所取出的m個(gè)元素，前者要“按照一定的順序排成一列”，而后者卻是“不管怎樣的順序并成一組”，即排列是有序的，而組合是無(wú)序的。 2、掌握組合數(shù)公式： 另一個(gè)公式此公式的作用：當(dāng)對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證時(shí)，常寫(xiě)成這種形式去溝通。 3、組合數(shù)性質(zhì)1： 組合數(shù)性質(zhì)2： 通過(guò)本節(jié)的學(xué)習(xí)，要理解組合的意義，弄清排列與組合的聯(lián)系與區(qū)別，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式，并能解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 組合的應(yīng)用題是本節(jié)教材的難點(diǎn)，它可分為無(wú)限制條件的組合、有限制條件的組合以及組合與排列的綜合應(yīng)用題三大類。 對(duì)于無(wú)限制條件的組合應(yīng)用題，可

3、應(yīng)用組合數(shù)公式來(lái)計(jì)算；對(duì)于有限制條件的組合應(yīng)用題及排列與組合的綜合應(yīng)用題，一般有正向思考與逆向思考兩種思路，正向思考時(shí)常采用分步及乘法原理的方法或分類及加法原理的方法，逆向思考時(shí)常采用求補(bǔ)集的方法解決。 【典型例題分析】 例1、某班有45名同學(xué)，在畢業(yè)典禮會(huì)上，每?jī)扇宋找淮问郑偣材芪斩嗌俅问郑? 解：因?yàn)槊績(jī)扇宋找淮问质菬o(wú)序的，所以總共能握：=990（次） 例2、從5名男生4名女生中選出4人去參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽。 （1）如果4人中男生與女生各選2人有多少種不同的選法？ （2）如果男生中的甲與女生中的乙都必須在內(nèi)，有多少種不同的選法？ （3）如果男生中的甲與女生中的乙都不在內(nèi)，有多少種不

4、同的選法？ （4）如果男生中的甲與女生中的乙有且只有1人在內(nèi)有多少種不同的選法？ （5）如果男生中的甲與女生中的乙至少有1人在內(nèi)有多少種不同的選法？ 解：（1）分兩步完成，第一步先從5名男生中任選2名有種不同的選法；第二步從4名女生中任選2名有種不同的選法，由乘法原理：（種）。 ∴4人中男生與女生各選2人有60種不同的選法。 （2）由于男甲與女乙都必須在內(nèi)，則從剩余的7名同學(xué)中任選2人即可完成這件事，則有 ∴男甲與女乙都必須在內(nèi)的選法有21種。 （3）由于男甲與女乙都不在內(nèi)，則從剩余的7名同學(xué)選出4人，其選法種數(shù)有 ∴男甲與女乙都不在內(nèi)的選法有35種。 （4）分兩步完成，第一

5、步從男甲與女乙中任選1人有種不同的選法，第二步再?gòu)氖Ｓ嗟?名同學(xué)中任選3人有種不同的選法，由乘法原理： （5）解法一：分兩類，第一類男甲與女乙只有1人在內(nèi)的選法有種，第二類男甲與女乙都在內(nèi)的選法有種，由加法原理得： ∴男甲與女乙至少有1人在內(nèi)的選法有91種。 解法二：先求出男甲與女乙都不在內(nèi)的選法有種，再?gòu)?名男生4名女生中選出4人的不同選法中減去，有 例3、設(shè)有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)球和編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)盒子，現(xiàn)將這五個(gè)球投放入這五個(gè)盒子內(nèi)，要求每個(gè)盒子內(nèi)投放一個(gè)球，并且恰好有兩個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的投入方法的總數(shù)有多少種？ 解：因?yàn)榍『糜袃蓚€(gè)球的

6、編號(hào)與盒子的編號(hào)相同，則這樣的兩個(gè)球有種不同的投入方法，還剩3個(gè)球與3個(gè)盒子，而這三個(gè)球的編號(hào)與盒子的編號(hào)不同，則第一個(gè)球投放入與它編號(hào)不同的盒子有2種不同的投放方法，最后兩個(gè)球只有一種投放方法，則有乘法原理得總的投放方法有： ∴這樣的投入方法總數(shù)有20種。 例4、方程的解為（ ） A、1 B、3 C、1或3 D、1或5 分析：這個(gè)方程的特點(diǎn)是：兩個(gè)組合的下標(biāo)相同，上標(biāo)含有未知數(shù)，由組合數(shù)性質(zhì)：求之，因此求解時(shí)要討論上標(biāo)的兩種可能情況。 解：當(dāng) 當(dāng) 因?yàn)楫?dāng)x=5，x=-7時(shí)，組合均無(wú)意義，故舍去。 所以原方程的解為x=1或x=3，選C。 例5、有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)

7、，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法共有（ ） A、1260種 B、2021種 C、2520種 D、5040種 分析：從10人中任派4人去承擔(dān)任務(wù)，并未限定哪個(gè)人承擔(dān)哪一項(xiàng)不同的任務(wù)，所以為無(wú)限制的組合問(wèn)題。 解法一：分三步完成，先由10人中任選派2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)有種不同的選法；再?gòu)氖Ｓ嗟?人中任選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)有種不同的選法；最后從剩余的7人中任選1人承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)有種不同的選法，由乘法原理，共有種不同的選法，故選C。 解法二：先10中任選4人承擔(dān)任務(wù)有種不同的選法，選出的4人，從中任選2人承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)有種不同的選法；再由剩余

8、的2人中任選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，最后1人自然承擔(dān)丙項(xiàng)任務(wù)，因此有種不同的選法，由乘法原理得：（種） 例6、四面體的頂點(diǎn)和各棱中點(diǎn)共10個(gè)點(diǎn)，在其中取4個(gè)不共面的點(diǎn)，不同的取法共有 種。 分析：因?yàn)槿c(diǎn)確定一個(gè)平面，取4個(gè)不共面的點(diǎn)，相當(dāng)于從這10個(gè)點(diǎn)中取4個(gè)點(diǎn)，組成多少個(gè)四面體的問(wèn)題，本題宜采用逆向思考方法。 解：不考慮順序，從10個(gè)點(diǎn)中任取4個(gè)點(diǎn)，總數(shù)為，其中四點(diǎn)共面的有三類：四個(gè)點(diǎn)在同一側(cè)面的有4=60種；在6個(gè)中點(diǎn)中，四點(diǎn)共面的情況有3種；而每個(gè)棱中點(diǎn)與它所對(duì)棱的棱上的三個(gè)點(diǎn)也共面，共有6種。 所以，不同的取法有210-（60+6+3）=141（種） 注：本題涉及選取方法中有重

9、復(fù)計(jì)算的問(wèn)題，一般選擇減的方法，去掉不合理的情況，但要做到不重復(fù)，不遺漏，需要認(rèn)真思考體會(huì)。 例7、有編號(hào)為1，2，3，…，9，10的十只燈，為了節(jié)約用電，可以將其中三只燈關(guān)掉，但不能同時(shí)關(guān)掉相鄰的二只或三只，也不能關(guān)掉兩端的燈，則滿足條件的關(guān)燈方法有多少種？ 分析：由于這10只燈是無(wú)區(qū)別的10只燈，在滿足題設(shè)的條件下，關(guān)掉的三只燈也是無(wú)序的，因此這是一個(gè)有限制條件的組合問(wèn)題，一般常用插位法。 解：從10只燈中關(guān)掉3只還余7只，把這7只燈排成一列，由于無(wú)序所以只有一種排法。 又因?yàn)殛P(guān)掉的三只燈不能相鄰且不 能在兩端，所以只能在7個(gè)燈之間的6個(gè)方位任選三個(gè)如圖： 1 ○ 2 ○

10、 3 ○ 4 ○ 5 ○ 6 ○ 7 ∴滿足條件的關(guān)燈方式有=20（種） 注：此題首先要弄清是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，另外此題涉及到不相鄰的問(wèn)題，一般采用插位法。 例8、從1，3，5，7，9中取3個(gè)數(shù)字，從2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字，一共可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)。 分析：此題是一個(gè)組合與排列的綜合應(yīng)用題。可分三步完成：第一步從1，3，5，7，9中取3個(gè)數(shù)字以及第二步從2，4，6，8中任取2個(gè)數(shù)字為組合問(wèn)題，而第三步由前兩步取出的5個(gè)數(shù)字組成五重復(fù)的五位數(shù)是排列問(wèn)題，可采用分步方法及乘法原理來(lái)解決。 解：分三步完成： 第一步從1，3，5，7，9這五個(gè)數(shù)字

11、中任取3個(gè)有種不同的取法； 第二步從2，4，6，8這四個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)有種不同的取法； 第三步由前兩步取出的5個(gè)數(shù)全排列有種不同的排法。 由乘法原理共有：=7200（個(gè)） ∴一共可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)有7200個(gè)。 注：這是一個(gè)排列與組合的綜合應(yīng)用題，解題應(yīng)分清哪一步是排列，哪一步是組合，一般采用分步方法、乘法原理解決。 例9、6本不同的書(shū)分成三堆：（1）若平均分給甲、乙、丙三人，有多少種不同的分法？（2）若平均分成三堆，有多少種不同的分法？（3）若有一堆一本，一堆二本，一堆3本，有多少種不同的分法？（4）若有一堆4本，另兩堆各1本的不同分法有多少種？ 分析：6本不同的書(shū)平

12、均分給甲、乙、丙三人是有順序的，而平均分成三堆是無(wú)順序的，所以此題的第（2）問(wèn)在一般分法種重復(fù)次，第（4）問(wèn)在一般分法中重復(fù)次。 解：（1）6本不同的書(shū)平均分給甲、乙、丙三人可分三步完成：第一步從6本不同的書(shū)中任取2本給甲有種不同的分法。第二從剩余的4本不同的書(shū)中任取2本給乙有種不同的分法，最后把剩余的2本不同的書(shū)給丙有種不同 的分法，根據(jù)乘法原理總共有：（種） ∴6本不同的書(shū)，平均分給甲、乙、丙三人總共有90種不同的分法。 （2）假設(shè)將6本不同的書(shū)分成三堆有x種方法。在每一種分法中，再把這三堆分別分給甲、乙、丙三人有種分法，根據(jù)乘法原理將6本不同的書(shū)平均分給3個(gè)人的不同分法有，從而：

13、 ∴（種） （3）從6本不同的書(shū)中任取1本放一堆，有種取法；再?gòu)氖Ｏ碌?本書(shū)中任取2本放成一堆，有種不同的取法； 最后余下的3本書(shū)放成一堆，有種不同的取法，因?yàn)楦鞫褧?shū)的數(shù)目互不相同，所以這種分堆方法與6本不同的書(shū)分給甲一本，乙二本，丙三本完全相同，所以這樣的分堆方法總數(shù)為：=60（種） ∴一堆1本，一堆2本，一堆3本，有60種不同的分法。 （4）如果將6本不同的書(shū)分給甲4本，乙1本，丙1本，共有種不同的分法。這里給乙第一本，丙第二本與給乙第二本，丙第一本是不同的分法。但作為分堆第一本書(shū)一堆、第二書(shū)一堆與第二本書(shū)一堆、第一本書(shū)一堆是相同的分法，所以分堆方法是：（種）或（種） ∴一堆4本

14、，另兩堆各1本的不同分法有15種。 注：這是一個(gè)偶數(shù)個(gè)元素平均分成幾組，且各組之間是無(wú)序的組合問(wèn)題，一般重復(fù)次，解題時(shí)應(yīng)審清題意，弄清平均分組組數(shù)n，謹(jǐn)防重復(fù)而使解題出錯(cuò)。 【同步練習(xí)】 1、在所有的三位數(shù)中，如果它的百位數(shù)字比十位數(shù)字大，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字大，這樣的三位數(shù)共有（ ） A、240個(gè) B、210個(gè) C、120個(gè) D、108個(gè) 2、2名醫(yī)生和4名護(hù)士被分配到2所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護(hù)士的不同分配方法共有（ ） A、6種 B、12種 C、18種 D、24種 3、有15個(gè)隊(duì)參加籃球賽，首輪平均分成三組進(jìn)行單循環(huán)賽，然后由各

15、組前2名共6個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)決賽，且規(guī)定同組的兩個(gè)隊(duì)不再賽第二場(chǎng)，則所進(jìn)行的比賽共有（ ） A、42場(chǎng) B、45場(chǎng) C、22場(chǎng) D、25場(chǎng) 4、圓周上有八個(gè)等分圓周點(diǎn)，以這些等分點(diǎn)為頂點(diǎn)的銳角三角形或鈍角三角形的個(gè)數(shù)是（ ） A、16 B、24 C、32 D、48 5、如果把兩條異面直線看成“一對(duì)”，那么六棱錐的棱所在內(nèi)的12條直線中，異面直線共有（ ） A、12對(duì) B、24對(duì) C、36對(duì) D、48對(duì) 6、某年級(jí)有6個(gè)班，分別派3名語(yǔ)文教師任教，每個(gè)教師教2個(gè)班，不同的任課方法的種數(shù)為（ ） A、 B、 C、 D、

16、 7、假設(shè)在200件產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)在從中任意抽取5件，其中至少有2件是次品的抽法有（ ） A、 B、 C、 D、 8、從某班學(xué)生中，選出四個(gè)組長(zhǎng)的不同選法有x種，選出正副班長(zhǎng)各一名的不同選法有y種，若x:y=13:2，則該班學(xué)生人數(shù)是（ ） A、22 B、20 C、15 D、10 9、四不同的小球全部隨意放入三個(gè)不同的盒子，使每個(gè)盒子都不空的放法為（ ） A、 B、 C、 D、 10、5項(xiàng)不同的工程由3個(gè)工程隊(duì)全部承包下來(lái)，每隊(duì)至少承包一項(xiàng)，則不同的承包方案有（ ） A、420種 B、240種

17、 C、150種 D、90種 11、整數(shù)360的正約數(shù)（包括1和360）共有 個(gè)。 12、以正方體的頂點(diǎn)為棱錐的頂點(diǎn)，可作 個(gè)棱錐。 13、要從8名男醫(yī)生和7名女醫(yī)生中選出5人組成一個(gè)醫(yī)療小組，如果醫(yī)療小組中要求至少有2名男醫(yī)生和至少有2名女醫(yī)生，則有 種不同的選法。 14、圓周上有20個(gè)點(diǎn)，過(guò)任意兩點(diǎn)連結(jié)一條弦，這些弦在圓內(nèi)的交點(diǎn)最多只能有 個(gè)。 15、某電子器件的電路中有6個(gè)焊接點(diǎn)，只要有一個(gè)焊接點(diǎn)脫落，整個(gè)電路就不通，今發(fā)現(xiàn)電路不通，求焊接點(diǎn)脫落的可能性有多少？ 16、晚會(huì)由3個(gè)歌曲，2個(gè)舞蹈和4個(gè)曲藝節(jié)目組成，要求第一個(gè)節(jié)目為歌曲，結(jié)尾是曲藝，且每?jī)蓚€(gè)曲藝節(jié)目不相鄰

18、，問(wèn)能安排多少種不同的節(jié)目順序表？ 17、9名同學(xué)分成三組： ①每組3人，有多少種不同的分組方法？ ②每組3人，且這三組同學(xué)分別參加文藝、體育和科技活動(dòng)小組，有多少種不同的分組方法？ ③若第一組5人，其余兩組各2人有多少種不同的分組方法？ 18、求證： 【練習(xí)答案】 1、C 2、B 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、C 9、A 10、C 提示： 1、有“0”的三位數(shù)： 無(wú)“0”的三位數(shù)： 故共有（個(gè)） 錯(cuò)誤解法： 主要對(duì)有“0”無(wú)“0”的情況不同沒(méi)有深刻理解。 2、 3、首輪比賽場(chǎng)，第二輪比賽場(chǎng)，故共有42場(chǎng)

19、比賽。 4、（采用“逆向思維法”，若兩等分點(diǎn)連線是）直徑，則所對(duì)圓周角是直角不符。 5、每一條側(cè)棱與底面4條邊組成“4對(duì)”，共六條側(cè)棱，故共有： 6、 7、有兩種情況：3件正品，2件次品；2件正品，3件次品。注意分類的不重不漏。 8、設(shè)共有學(xué)生n人。 9、注意三個(gè)盒子內(nèi)的球數(shù)只有分別有2，1，1個(gè)這一種情況故共有（種）不同放法。 錯(cuò)誤解法：，見(jiàn)例9第（4）問(wèn)已有詳細(xì)分析解答。 10、工程隊(duì)承包項(xiàng)目分別為2，2，1項(xiàng)和3，1，1項(xiàng)兩種情況。 故共有方案：（種） 11、 故約數(shù)中對(duì)2，3，5的取法個(gè)數(shù)分別討論如下： 對(duì)2可取0，1，2，3個(gè)4種情況； 對(duì)3可取0，1，

20、2個(gè)3種情況； 對(duì)5可取0，1個(gè)2種情況； 由乘法原理，故有正約數(shù)（包括1和360）共有：（個(gè)） 12、可構(gòu)成三棱錐或四棱錐。 ①?gòu)恼襟w的頂點(diǎn)中任取4個(gè)有種，其中表面和對(duì)角面上4點(diǎn)共面，不構(gòu)成三棱錐，這樣的4點(diǎn)組共12組，故可構(gòu)成個(gè)三棱錐。 ②先定底面，再定頂點(diǎn)，共有個(gè)四棱錐，故共可構(gòu)成58+48=106個(gè)棱錐。 13、分2名男醫(yī)生，3名女醫(yī)生：與3名男醫(yī)生，2名女醫(yī)生：兩種情況。 ∴共有（種）不同的選法。 錯(cuò)誤答案：產(chǎn)生了不少重復(fù)計(jì)數(shù)。 14、運(yùn)用“對(duì)應(yīng)思想”，一個(gè)交點(diǎn)對(duì)應(yīng)著一個(gè)圓內(nèi)接四邊形，當(dāng)這些交點(diǎn)均不重合時(shí)，最多有（個(gè)） 15、共有（種）可能。 16、第一個(gè)節(jié)目有種排法； 結(jié)尾節(jié)目有種排法； 還剩下的2個(gè)歌曲和2個(gè)舞蹈有種排法； 還有3個(gè)曲藝節(jié)目要求不相鄰，用“插空法”排，把它們插在第一，第二，第三，第四，第五這五個(gè)節(jié)目之間的空擋中，有種插法，由乘法原理共有=6912（種）。 17、①（種） ②（種） ③（種） 18、證明：（1）