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1、2022年高二數(shù)學(xué) 8.4雙曲線的幾何性質(zhì)(第一課時(shí))大綱人教版必修 課時(shí)安排 4課時(shí) 從容說(shuō)課 本節(jié)通過(guò)類比橢圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的幾何性質(zhì)，讓學(xué)生再一次體會(huì)用曲線的方程研究曲線性質(zhì)的方法. 學(xué)生通過(guò)自學(xué)，可以掌握雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)等性質(zhì)，對(duì)于雙曲線的漸近線的證明是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)“漸近”兩個(gè)字的含義：當(dāng)雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近，接近的程度是無(wú)限的，或當(dāng)雙曲線上的動(dòng)點(diǎn)P沿著雙曲線無(wú)限遠(yuǎn)離雙曲線的中心時(shí)，點(diǎn)P到這條直線的距離逐漸變小而無(wú)限接近于0. 本節(jié)例2的設(shè)計(jì)，旨在讓學(xué)生利用雙曲線的幾何性質(zhì)數(shù)學(xué)地解決實(shí)

2、際問題，例3則給出了雙曲線的第二定義（比值定義）及雙曲線準(zhǔn)線的方程，為解決問題提供了方便. 對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的掌握,仍是從直線與雙曲線的公共點(diǎn)展開的,通過(guò)直線與雙曲線的方程將其轉(zhuǎn)化為求方程解的個(gè)數(shù)問題,教學(xué)中應(yīng)指出:所得的方程不一定是一元二次方程,需要對(duì)其二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論.使學(xué)生認(rèn)識(shí)到,脫離了二次方程而去談?wù)摗骱透c系數(shù)的關(guān)系是毫無(wú)意義的. ●課 題 §8.4.1 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（一） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 雙曲線的范圍、對(duì)稱性（對(duì)稱軸、對(duì)稱中心）、頂點(diǎn)（截距）、實(shí)軸、虛軸的概念及雙曲線的漸近線與離心率. （二）能力訓(xùn)練要求 1.使學(xué)生理解并掌握

3、雙曲線的范圍. 2.使學(xué)生理解并掌握雙曲線的對(duì)稱性，明確標(biāo)準(zhǔn)方程所表示的雙曲線的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心. 3.使學(xué)生理解雙曲線的漸近線的定義，掌握雙曲線漸近線的方程，并能利用雙曲線的漸近線較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖. 4.使學(xué)生掌握離心率的定義及其幾何意義. （三）德育滲透目標(biāo) 使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)數(shù)與形的有機(jī)聯(lián)系，數(shù)與形的辯證統(tǒng)一. ●教學(xué)重點(diǎn) 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)及其性質(zhì)的討論方法. ●教學(xué)難點(diǎn) 雙曲線的漸近線 ●教學(xué)方法 指導(dǎo)學(xué)生自學(xué)法 雙曲線的幾何性質(zhì)討論的內(nèi)容，除漸近線外，與橢圓的幾何性質(zhì)類同，對(duì)橢圓的幾何性質(zhì)及其研究方法，學(xué)生已經(jīng)初步掌握，在教師的指導(dǎo)下，自學(xué)雙曲線的幾何

4、性質(zhì)不會(huì)有什么問題，同時(shí)通過(guò)學(xué)生的自學(xué)，學(xué)生的親身實(shí)踐與體驗(yàn)，對(duì)于學(xué)生掌握雙曲線的幾何特征及問題的研究方法，能起到加深印象與理解的作用，達(dá)到突破難點(diǎn)、鞏固所學(xué)知識(shí)的目的. ●教具準(zhǔn)備 投影片一張 本課時(shí)教案后面的預(yù)習(xí)內(nèi)容及預(yù)習(xí)提綱（記作§8.4.1 A） 多媒體課件一個(gè)： 先作出中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線，其次，隨著內(nèi)容的討論至頂點(diǎn)時(shí)，標(biāo)出A1、A2、B1、B2點(diǎn)，第三，討論到實(shí)軸、虛軸概念時(shí)，讓線段A1A2、B1B2閃動(dòng)，第四，到漸近線時(shí)，按要求作出矩形，作出對(duì)角線，并隨著x的增大（縮?。┭娱L(zhǎng)漸近線、雙曲線，讓學(xué)生觀察曲線逐步接近直線. ●教學(xué)過(guò)程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］

5、前面我們學(xué)習(xí)了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)：范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率，請(qǐng)同學(xué)們回憶一下，對(duì)于橢圓(a＞b＞0)其幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法. ［生］橢圓的范圍是|x|≤a,|y|≤b（教師板書） ［師］討論方法是什么？ ［生］因兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和等于1，那么由方程可知，每一個(gè)大于1，即小于或等于1，據(jù)此得到橢圓的范圍. ［師］請(qǐng)接著談一下其他性質(zhì). ［生］對(duì)稱性：橢圓關(guān)于x 軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱，原點(diǎn)是橢圓的中心. 頂點(diǎn)：橢圓與它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（±a,0）,(0,±b) 離心率：e=(e∈(0,1)) （學(xué)生回答，教師板書） ［師］在橢圓頂點(diǎn)的研究中，我們給出

6、了長(zhǎng)軸、短軸的概念，明確了長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)，以及a、b、c的幾何意義，誰(shuí)來(lái)補(bǔ)充一下？ ［生］橢圓在同一條對(duì)稱軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)間的線段，較長(zhǎng)的是橢圓的長(zhǎng)軸，較短的是橢圓的短軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是2a,短軸長(zhǎng)是2b，a是長(zhǎng)半軸的長(zhǎng)，b是短半軸的長(zhǎng)，c是半焦距. ［師］很好！離心率對(duì)橢圓的扁圓情況有怎樣的影響呢？ ［生］0＜e＜1，當(dāng)e越接近1時(shí)，c越接近于a,b=越小，橢圓就越扁；當(dāng)e越接近于0時(shí)，c越小，b=越接近于a，橢圓就越接近于圓. ［師］好！橢圓的對(duì)稱性、離心率、頂點(diǎn)三種性質(zhì)的討論方法是什么呢？ ［生］討論橢圓的對(duì)稱性時(shí)，用-y代y，方程不變，則橢圓關(guān)于x軸對(duì)稱；用-x代x，方程不變，則橢圓

7、關(guān)于y軸對(duì)稱；同時(shí)用-y代y，-x代x，方程不變，則橢圓關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 討論離心率時(shí)，由離心率的定義，得到了離心率的范圍. 討論頂點(diǎn)時(shí)，由頂點(diǎn)的定義及橢圓的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，令x=0，得頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)，令y=0得頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此可寫出頂點(diǎn)的坐標(biāo). ［師］很好！同學(xué)們對(duì)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，掌握得基本熟練.下面，我們用類比的方法來(lái)研究雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).（板書課題） Ⅱ.講授新課 ［師］上節(jié)課下課時(shí)，老師請(qǐng)同學(xué)們依照研究橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的方法和步驟去試推雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，完成了這個(gè)作業(yè)的同學(xué)請(qǐng)舉手. ［生］舉手 ［師］好！請(qǐng)放下，哪位同學(xué)對(duì)照橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的順序，來(lái)談一下雙

8、曲線(a＞0,b＞0）的幾何性質(zhì)，并談?wù)勥@個(gè)性質(zhì)的討論方法. ［生甲］范圍，|x|≥a, 即x≥a,x≤-a 討論方法是由標(biāo)準(zhǔn)方程可知與一個(gè)非負(fù)數(shù)的差等于1，所以≥1，由此推得x的范圍.y除受到式子本身的制約外，沒有任何限制，說(shuō)明雙曲線位于x≥a與x≤-a的區(qū)域內(nèi). ［師］好，請(qǐng)另一位同學(xué)接著說(shuō). ［生乙］對(duì)稱性，雙曲線關(guān)于坐標(biāo)軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的，坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心，即雙曲線的中心. 討論方法是以-y代y，方程不變，所以雙曲線關(guān)于x軸對(duì)稱；以-x代x，方程不變，所以雙曲線關(guān)于y軸對(duì)稱；同時(shí)以-y代y，以-x代x，方程不變，所以雙曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

9、 ［生丙］頂點(diǎn)，只有兩個(gè)，即（±a,0）. 討論方法是令y=0,得x=±a,因此雙曲線和它的一條對(duì)稱軸——x軸有兩個(gè)交點(diǎn) A1（-a,0）,A2(a,0),所以雙曲線的頂點(diǎn)是（±a,0）. 令x=0時(shí)，解得y2=-b2,無(wú)實(shí)數(shù)解，說(shuō)明雙曲線與它的另一條對(duì)稱軸——y軸沒有交點(diǎn)，故雙曲線頂點(diǎn)只有兩個(gè). ［師］請(qǐng)注意：雙曲線(a＞0,b＞0)與y軸沒有交點(diǎn)，但我們也把B1（0，-b),B2（0，b）畫在y軸上.（打出多媒體課件） 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，實(shí)軸的長(zhǎng)為2a,虛軸的長(zhǎng)為2b，a是實(shí)半軸的長(zhǎng)，b是虛半軸的長(zhǎng)，焦點(diǎn)始終在實(shí)軸上.下面，請(qǐng)一

10、位同學(xué)來(lái)談一下離心率. ［生?。蓦p曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比e=叫做雙曲線的離心率.e=且e∈(1,+∞)，這是因?yàn)閏＞a＞0. ［師］離心率對(duì)雙曲線張口的大小有什么影響？為搞清這個(gè)問題，我們先來(lái)看雙曲線特有的另外一個(gè)性質(zhì)——漸近線. 經(jīng)過(guò)A2、A1作y軸的平行線x=±a,經(jīng)過(guò)B2、B1作x軸的平行線y=±b，這四條直線圍成一個(gè)矩形（打出多媒體課件），矩形的兩條對(duì)角線所在的直線的方程是——（教師可拉長(zhǎng)語(yǔ)氣，等待學(xué)生作答）y=±x，從圖中可以看出，雙曲線的各支向外延伸時(shí)，與這兩條直線逐漸接近.我們觀察到的這個(gè)結(jié)論可靠不可靠呢？下面，我們來(lái)進(jìn)行證明. 先取雙曲線在第一象限的部分進(jìn)行證明，這一部

11、分的方程可寫成 y=(x＞a) 設(shè)M（x,y）是它上面的點(diǎn)，N（x,y）是直線y=x上與M有相同橫坐標(biāo)的點(diǎn)，則y=x ∵y== ∴|MN|=Y-y= ∴|MN|= ∴|MN|= 設(shè)|MQ|是點(diǎn)M到直線y=x的距離，則|MQ|＜|MN|，當(dāng)x逐漸增大時(shí)，|MN|逐漸減小，x無(wú)限增大，|MN|接近于0，|MQ|也接近于0，就是說(shuō)，雙曲線在第一象限部分從射線ON的下方逐漸接近于ON. 在其他象限內(nèi)，也可以證明類似的情況. 我們把兩條直線y=±x叫做雙曲線的漸近線. 在方程中，如果a=b，那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)都等于2a,這時(shí)四條直線x=±a,y=

12、±a圍成正方形.漸近線方程為y=±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角，實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫等軸雙曲線. 利用雙曲線的漸近線，可以幫助我們較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的草圖，具體做法：畫出雙曲線的漸近線，先確定雙曲線的頂點(diǎn)及第一象限內(nèi)任意一點(diǎn)的位置，然后再過(guò)這兩個(gè)點(diǎn)并根據(jù)雙曲線在第一象限內(nèi)從漸近線的下方逐漸接近漸近線的特點(diǎn)畫出雙曲線的一部分.最后根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性畫出完整的雙曲線. 有了雙曲線的漸近線，我們?cè)賮?lái)討論離心率對(duì)雙曲線張口大小的影響，就方便了. 由等式c2-a2=b2可得 由上式可以看出，e越大，也越大，即漸近線y=±x的斜率的絕對(duì)值越大，這時(shí)雙曲線的形狀就從扁狹

13、逐漸變得開闊，由此可知，雙曲線的離心率越大，它的張口就越大. Ⅲ.例題分析 ［例1］求雙曲線9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)是多少？虛半軸長(zhǎng)呢？焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程各是什么？ ［師］要解決這個(gè)問題，首先需要怎樣做？ ［生］將所給的方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程. ［師］好，下面請(qǐng)同學(xué)們完成此題. （學(xué)生在下面做，請(qǐng)一位同學(xué)在黑板上板書） （教師在巡視時(shí)可提出問題：化成標(biāo)準(zhǔn)方程后，可以看出焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上呢？或者雙曲線的實(shí)軸在哪個(gè)坐標(biāo)軸上？寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)、漸近線方程時(shí)一定要注意?。? （學(xué)生解答之后，教師講解，也許漸近線方程會(huì)出錯(cuò)，要告訴學(xué)生怎樣正確地寫出漸近線方程） ［師］根據(jù)雙曲線的

14、標(biāo)準(zhǔn)方程寫出漸近線方程的方法有兩種： 1.畫出以實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)為鄰邊的矩形，寫出其對(duì)角線方程，特別要注意對(duì)角線的斜率的確定. 2.將雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程等號(hào)右邊的1改為0，即得雙曲線的漸近線方程，再據(jù)此推出y=kx的形式. 另外需要注意的是：若已知雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程則可以寫出其漸近線方程，但若已知雙曲線的漸近線方程，則不能僅據(jù)此確定a、b的值，只能確定a、b的關(guān)系，這點(diǎn)與離心率是類同的. Ⅳ.課堂練習(xí) 課本P113練習(xí)1、5 1.求下列雙曲線的實(shí)軸和虛軸的長(zhǎng)、頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程： （1）x2-8y2=32 (2)9x2-y2=81 (3)x2-y2=-4 (4)

15、答案：（1）2a=8,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），（-4，0）；焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0),(-6,0);e=;漸近線方程為y=±x. （2）2a=6,2b=18;頂點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），（-3，0）；焦點(diǎn)坐標(biāo)（3，0），（-3，0）；e=;漸近線方程為y=±3x. （3）2a=4,2b=4;頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），（0，-2）；焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），（0，-2）；離心率e=;漸近線方程為x=±y. (4)2a=10,2b=14;頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，5），（0，-5）；焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），（0，-）；離心率e=;漸近線方程為y=±x. 5.當(dāng)漸近線的方程為y=±x時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一定是嗎？如果

16、不一定，舉出一個(gè)反例. 答案：不一定是 反例：雙曲線的準(zhǔn)線方程為： y=±x. Ⅴ.課時(shí)小結(jié) 本節(jié)課我們討論了雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線.為了加深理解和掌握，大家可以與橢圓對(duì)照，比較異同點(diǎn)，準(zhǔn)確把握，同時(shí)，請(qǐng)同學(xué)們寫出焦點(diǎn)在y軸上的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的雙曲線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)半軸長(zhǎng)、虛半軸長(zhǎng)、離心率、漸近線方程. Ⅵ.課后作業(yè) （一）課本P113習(xí)題8.4 1、5、6 （二）1.預(yù)習(xí)內(nèi)容：課本P111例2、例3 2.預(yù)習(xí)提綱： （1）解有實(shí)際意義的題目關(guān)鍵是什么？ （2）不清楚雙曲線焦點(diǎn)位置時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程有幾種形式？是怎樣的？ （3）雙曲線的比值定義是什么？ （4）怎樣的直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線？ （5）對(duì)于確定的雙曲線，它有幾條準(zhǔn)線？ （6）中心在原點(diǎn)、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，它的準(zhǔn)線方程是怎樣的？ ●板書設(shè)計(jì) §8.4.1 雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a＞b＞0) 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) 離心率 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 (a＞0,b＞0) 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn) 離心率 漸近線 例1 練習(xí) 小結(jié)