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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題 【例1】如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開(kāi)發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車(chē)場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車(chē)場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值. 【解析】如圖，連接AP，過(guò)P作PM⊥AB于M. 設(shè)∠PAM＝α，0≤α≤， 則PM＝90sin α，AM＝90cos α， 所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin

2、α， 于是S四邊形PQCR＝PQ·PR ?。?100－90cos α)(100－90sin α) ?。? 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000. 設(shè)t＝sin α＋cos α，則1≤t≤，sin αcos α＝. S四邊形PQCR＝8 100·－9 000t＋10 000 ＝4 050(t－)2＋950 (1≤t≤). 當(dāng)t＝時(shí)，(S四邊形PQCR)max＝14 050－9 000 m2； 當(dāng)t＝時(shí)，(S四邊形PQCR)min＝950 m2. 【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sin θ±

3、cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.注意t的取值范圍. 【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜，則4x與sin 3x的大小關(guān)系是(　　) A.4x＞sin 3x B.4x＜sin 3x C.4x≥sin 3x D.與x的值有關(guān) 【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，則f′(x)＝4－3cos 3x.因?yàn)閒′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故選A. 題型二　函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用 【例

4、2】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時(shí)的浪花高度數(shù)據(jù). 經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b. (1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式； (2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛(ài)好者開(kāi)放. 請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？ 【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝＝＝. 由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，

5、所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為.所以y＝cos t＋1. (2)由題知，當(dāng)y＞1時(shí)才可對(duì)沖浪者開(kāi)放， 所以cos t＋1＞1，所以cos t＞0， 所以2kπ－＜t＜2kπ＋，即12k－3＜t＜12k＋3.① 因?yàn)?≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24. 故在規(guī)定時(shí)間上午8：00至晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9：00至下午15：00. 【點(diǎn)撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式. 【變式訓(xùn)練2】如圖，一個(gè)半徑為10 m的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記

6、水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時(shí)間t(s)之間滿(mǎn)足關(guān)系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)，且當(dāng)點(diǎn)P從水面上浮現(xiàn)時(shí)開(kāi)始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：①A＝10；②ω＝；③φ＝；④k＝5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是　　　　　. 【解析】①②④. 題型三　正、余弦定理的應(yīng)用 【例3】為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī)能測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：(1)指出需測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示)；(2)用文字和公式寫(xiě)出計(jì)算M、N

7、間距離的步驟. 【解析】(1)如圖所示：①測(cè)AB間的距離a；②測(cè)俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得 BM＝＝， 同理在△BAN中，BN＝＝， 所以在△BMN中，由余弦定理得 MN＝ ＝. 【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見(jiàn)正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是　　　海里/小時(shí). 【解析】本題考查實(shí)際模型中的解三角形問(wèn)題.依題意作出簡(jiǎn)圖，易知AB＝10，∠OCB＝60°

8、，∠OCA＝75°.我們只需計(jì)算出OC的長(zhǎng)，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有＝tan∠OCB＝tan 60°且＝tan∠OCA＝tan 75°， 因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有 OC＝＝ ＝ ＝＝＝5. 由此可得船的速度為5海里÷0.5小時(shí)＝10海里/小時(shí). 總結(jié)提高 1.解三角形的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意： (1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等； (2)將所有已知條件化入同一個(gè)三角形中求解； (3)方程思想在解題中的運(yùn)用. 2.解三角函數(shù)的綜合題時(shí)應(yīng)注意： (1)與已知基本函數(shù)對(duì)應(yīng)求解，即將ωx＋φ視為一個(gè)整體X； (2)將已知三角函數(shù)化為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c； (3)換元方法在解題中的運(yùn)用.