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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪專題突破 專題六 自選模塊 第3講 概率 理 1．(xx·課標(biāo)全國(guó)Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 2．(xx·陜西)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為(　　) A. B. C. D. 3．(xx·重慶)在區(qū)間[0,5]上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根的概率為________． 　 1.以選擇題、填空題的形式考查

2、古典概型的基本應(yīng)用.2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識(shí)的綜合應(yīng)用能力. 熱點(diǎn)一　古典概型 1．古典概型的概率： P(A)＝＝. 2．古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)：所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等． 例1　(xx·天津)某校夏令營(yíng)有3名男同學(xué)A，B，C和3名女同學(xué)X，Y，Z，其年級(jí)情況如下表： 一年級(jí) 二年級(jí) 三年級(jí) 男同學(xué) A B C 女同學(xué) X Y Z 現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽(每人被選到的可能性相同)． (1)用表中字母列舉出所有可能的結(jié)果； (2)設(shè)M為事件“選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名

3、女同學(xué)”，求事件M發(fā)生的概率． 　 　 　 　 　 　 　 　 思維升華　求古典概型概率的步驟： (1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意； (2)判斷試驗(yàn)是否為古典概型，并用字母表示所求事件； (3)利用列舉法求出總的基本事件的個(gè)數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個(gè)數(shù)m； (4)計(jì)算事件A的概率P(A)＝. 跟蹤演練1　(1)(xx·湖州二模)有兩張卡片，一張的正反面分別寫著數(shù)字0與1，另一張的正反面分別寫著數(shù)字2與3，將兩張卡片排在一起組成一個(gè)兩位數(shù)，則所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D.

4、 (2)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　) A. B. C. D. 熱點(diǎn)二　互斥事件與對(duì)立事件 1．事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生(即A，B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和，即P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． 2．在一次試驗(yàn)中，對(duì)立事件A和不會(huì)同時(shí)發(fā)生，但一定有一個(gè)發(fā)生，因此有P()＝1－P(A)． 例2　某商場(chǎng)在元旦舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定

5、顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中一次任意摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)之和等于7則中一等獎(jiǎng)，等于6或5則中二等獎(jiǎng)，等于4則中三等獎(jiǎng)，其余結(jié)果為不中獎(jiǎng)． (1)求中二等獎(jiǎng)的概率； (2)求不中獎(jiǎng)的概率． 　 　 　 　 　 　 思維升華　事件的互斥和對(duì)立是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩個(gè)概念，要充分利用對(duì)立事件是必然有一個(gè)發(fā)生的互斥事件．在判斷這些問題時(shí)，先要判斷兩個(gè)事件是不是互斥事件(即是否不可能同時(shí)發(fā)生)，然后判斷這兩個(gè)事件是不是對(duì)立事件(即是否必然有一個(gè)發(fā)生)．在解答與兩個(gè)事件有關(guān)的問題時(shí)一定要仔細(xì)斟酌，全面考慮，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤

6、． 跟蹤演練2　(1)設(shè)事件A，B，已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∪B)＝，則A，B之間的關(guān)系一定為(　　) A．兩個(gè)任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．對(duì)立事件 (2)盒子中裝有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7,8,9的九個(gè)球，從中任意取出兩個(gè)，則這兩個(gè)球的編號(hào)之積為偶數(shù)的概率是________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)． 1．將一骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上為增函數(shù)的概率是(　　) A. B. C. D. 2．拋擲一枚均勻的正方體骰子(各面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，事件A表示“朝上一

7、面的數(shù)是奇數(shù)”，事件B表示“朝上一面的數(shù)不超過2”，則P(A＋B)＝________. 提醒：完成作業(yè)　專題六　第3講 二輪專題強(qiáng)化練 專題六 第3講　概　率 A組　專題通關(guān) 1．(xx·紹興模擬)從2名男生和2名女生中任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為(　　) A. B. C. D. 2．有一個(gè)奇數(shù)列1,3,5,7,9，…，現(xiàn)在進(jìn)行如下分組，第一組有1個(gè)數(shù)為1，第二組有2個(gè)數(shù)為3,5，第三組有3個(gè)數(shù)為7,9,11，…，依此類推，則從第十組中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)恰為3的倍數(shù)的概率為(　　) A.

8、 B. C. D. 3．在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　) A．至多有一張移動(dòng)卡 B．恰有一張移動(dòng)卡 C．都不是移動(dòng)卡 D．至少有一張移動(dòng)卡 4．甲乙兩人一起去游泰山，他們約定，各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是(　　) A. B. C. D. 5．連擲兩次骰子分別得到點(diǎn)數(shù)m、n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是(　　) A. B. C. D. 6．口袋內(nèi)裝有一些大小相同的

9、紅球、白球和黑球，從中摸出1個(gè)球，摸出紅球的概率為0.42，摸出白球的概率為0.28，若紅球有21個(gè)，則黑球有________個(gè)． 7．(xx·寧波模擬)曲線C的方程為＋＝1，其中m，n是將一枚骰子先后投擲兩次所得點(diǎn)數(shù)，事件A為“方程＋＝1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓”，那么P(A)＝________. 8．電子鐘一天顯示的時(shí)間是從00：00到23：59，每一時(shí)刻都由四個(gè)數(shù)字構(gòu)成，則一天中任一時(shí)刻顯示的四個(gè)數(shù)字之和為23的概率為________． 9．一個(gè)均勻的正四面體的四個(gè)面上分別涂有1,2,3,4四個(gè)數(shù)字，現(xiàn)隨機(jī)投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c. (1)z＝(b－3)2＋(c－

10、3)2，求z＝4的概率； (2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根x∈{1,2,3,4}，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率． 10．現(xiàn)有8名數(shù)理化成績(jī)優(yōu)秀者，其中A1，A2，A3數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀，B1，B2，B3物理成績(jī)優(yōu)秀，C1，C2化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀．從中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，組成一個(gè)小組代表學(xué)校參加競(jìng)賽． (1)求C1被選中的概率； (2)求A1和B1不全被選中的概率． B組　能力提高 11．下列試驗(yàn)中，是古典概型的個(gè)數(shù)為(　　) ①向上拋一枚質(zhì)地不均勻的硬

11、幣，觀察正面向上的概率； ②向正方形ABCD內(nèi)，任意拋擲一點(diǎn)P，點(diǎn)P恰與點(diǎn)C重合； ③從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中，任取兩個(gè)數(shù)，求所取兩數(shù)之一是2的概率； ④在線段[0,5]上任取一點(diǎn)，求此點(diǎn)小于2的概率． A．0 B．1 C．2 D．3 12．?dāng)S一個(gè)骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A＋發(fā)生的概率為(　　) A. B. C. D. 13．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果連續(xù)拋擲1 000次，那么第999次出現(xiàn)正面朝上的概率是________． 14．設(shè)連續(xù)擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，令平面向量a＝(m，n

12、)，b＝(1，－3)． (1)求使得事件“a⊥b”發(fā)生的概率； (2)求使得事件“|a|≤|b|”發(fā)生的概率． 學(xué)生用書答案精析 第3講　概　率 高考真題體驗(yàn) 1．C　[從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C.] 2．C　[取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為C＝10，所有距離不小于正方形邊長(zhǎng)的情況有6種，概率為＝.故選C.] 3. 解析　方程x2＋

13、2px＋3p－2＝0有兩個(gè)負(fù)根，則有 即 解得p≥2或＜p≤1，又p∈[0,5]， 則所求概率為P＝＝＝. 熱點(diǎn)分類突破 例1　解　(1)從6名同學(xué)中隨機(jī)選出2人參加知識(shí)競(jìng)賽的所有可能結(jié)果為{A，B}，{A，C}，{A，X}，{A，Y}，{A，Z}，{B，C}，{B，X}，{B，Y}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，{C，Z}，{X，Y}，{X，Z}，{Y，Z}，共15種． (2)選出的2人來自不同年級(jí)且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為{A，Y}，{A，Z}，{B，X}，{B，Z}，{C，X}，{C，Y}，共6種． 因此，事件M發(fā)生的概率 P(M)＝＝. 跟蹤演

14、練1　(1)(1)C　(2)D 解析　(1)能組成的兩位數(shù)有12,13,20,30,21,31，共6個(gè)，其中的奇數(shù)有13,21,31，共3個(gè)，因此所組成的兩位數(shù)為奇數(shù)的概率是＝，故選C. (2)根據(jù)題目條件知所有的數(shù)組(a，b)共有62＝36組，而滿足條件|a－b|≤1的數(shù)組(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16組，根據(jù)古典概型的概率公式知所求的概率為P＝＝.故選D. 例2　解　(1)記“中二等獎(jiǎng)”為事件A. 從

15、五個(gè)小球中一次任意摸出兩個(gè)小球，不同的結(jié)果有{0,1}，{0,2}，{0,3}，{0,4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共10個(gè)基本事件． 記兩個(gè)小球的編號(hào)之和為x，由題意可知，事件A包括兩個(gè)互斥事件：x＝5，x＝6. 事件x＝5的取法有2種， 即{1,4}，{2,3}， 故P(x＝5)＝＝； 事件x＝6的取法有1種，即{2,4}， 故P(x＝6)＝. 所以P(A)＝P(x＝5)＋P(x＝6)＝＋＝. (2)記“不中獎(jiǎng)”為事件B，則“中獎(jiǎng)”為事件，由題意可知，事件包括三個(gè)互斥事件：中一等獎(jiǎng)(x＝7)，中二等獎(jiǎng)(事件A)，中三等獎(jiǎng)(x＝

16、4)． 事件x＝7的取法有1種，即{3,4}， 故P(x＝7)＝； 事件x＝4的取法有{0,4}，{1,3}，共2種， 故P(x＝4)＝＝. 由(1)可知，P(A)＝. 所以P()＝P(x＝7)＋P(x＝4)＋P(A)＝＋＋＝. 所以不中獎(jiǎng)的概率為P(B)＝1－P()＝1－＝. 跟蹤演練2　(1)B　(2) 解析　(1)因?yàn)镻(A)＋P(B)＝＋＝＝P(A∪B)，所以A，B之間的關(guān)系一定為互斥事件． (2)九個(gè)數(shù)的編號(hào)中有5個(gè)奇數(shù)，4個(gè)偶數(shù)，兩個(gè)球的編號(hào)之積為奇數(shù)的概率為＝，所以所求概率為1－＝. 高考押題精練 1．B　[將一骰子拋擲兩次，所得向上的點(diǎn)數(shù)(m，n)的所有

17、事件為(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36個(gè)．由題可知，函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，則不滿足條件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6種情況，所以滿足條件的共有30種情況，則函數(shù)y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增的概率為＝.] 2. 解析　將事件A＋B分為：事件C“朝上一面的數(shù)為1,2”與事件D“朝上一面的數(shù)為3,5”，則C，D互斥，且P(C)＝，P(D)＝，∴P(A＋B)＝P(C＋D) ＝P(C)＋P(D)＝. 二輪專題強(qiáng)化

18、練答案精析 第3講　概　率 1．A　[設(shè)2名男生記為A1，A2,2名女生記為B1，B2，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B1共12種情況，而星期六安排一名男生，星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B2共4種情況，則發(fā)生的概率為P＝＝，故選A.] 2．B　[由已知可得前九組共有1＋2＋3＋…＋9＝45個(gè)奇數(shù)，第十組共有10個(gè)奇數(shù)，分別是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109這10個(gè)數(shù)字，其中恰為3的倍數(shù)的數(shù)有93

19、,99,105三個(gè)，故所求概率為P＝.] 3．A　[至多有一張移動(dòng)卡包含“一張移動(dòng)卡，一張聯(lián)通卡”“兩張全是聯(lián)通卡”兩個(gè)事件，它是“2張全是移動(dòng)卡”的對(duì)立事件，故選A.] 4．D　[最后一個(gè)景點(diǎn)甲有6種選法，乙有6種選法，共有36種，他們選擇相同的景點(diǎn)有6種，所以P＝＝， 所以選D.] 5．A　[∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0， ∴m>n. 基本事件總共有6×6＝36(個(gè))，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))． ∴P＝＝， 故選A.

20、] 6．15 解析　1－0.42－0.28＝0.30,21÷0.42＝50,50×0.30＝15. 7. 解析　試驗(yàn)中所含基本事件個(gè)數(shù)為36；若表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則m>n，有(2,1)，(3,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15種情況， 因此P(A)＝＝. 8. 解析　因?yàn)闀r(shí)鐘一分鐘顯示一次，故總的顯示方法數(shù)為24×60＝1 440(種)，四個(gè)數(shù)字之和為23的有09：59,18：59,19：49,19：58四種情況，故所求概率為＝. 9．解　(1)因?yàn)槭峭稊S兩次，因此基本事件(b，c)： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)

21、，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16個(gè)． 當(dāng)z＝4時(shí)，(b，c)的所有取值為(1,3)，(3,1)， 所以P(z＝4)＝＝. (2)①若方程一根為x＝1，則1－b－c＝0， 即b＋c＝1，不成立． ②若方程一根為x＝2，則4－2b－c＝0， 即2b＋c＝4，所以 ③若方程一根為x＝3，則9－3b－c＝0， 即3b＋c＝9，所以 ④若方程一根為x＝4，則16－4b－c＝0， 即4b＋c＝16，所以 由①②③④知，(b，c)的所有可能取值為(1,2)，(2,3)，(3,4)． 所以方程

22、為“漂亮方程”的概率為P＝. 10．解　(1)從8人中選出數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)成績(jī)優(yōu)秀者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件空間為 Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18個(gè)基本事件組成． 由于每一個(gè)基本事件被抽取的機(jī)會(huì)均等．

23、 因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“C1恰被選中”這一事件，則 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B2，C1)，(A1，B3，C1)，(A2，B1，C1)，(A2，B2，C1)，(A2，B3，C1)，(A3，B1，C1)，(A3，B2，C1)，(A3，B3，C1)}． 事件M由9個(gè)基本事件組成，因而P(M)＝＝. (2)用N表示“A1，B1不全被選中”這一事件， 則其對(duì)立事件表示“A1，B1全被選中”這一事件， 由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，事件由2個(gè)基本事件組成，所以P()＝＝. 由對(duì)立事件的概率公式得 P(N)＝1－P()＝1－＝.

24、 11．B　[①中，硬幣質(zhì)地不均勻，不是等可能事件， 所以不是古典概型． ②④的基本事件都不是有限個(gè)，不是古典概型． ③符合古典概型的特點(diǎn)，是古典概型問題．] 12．C　[擲一個(gè)骰子的試驗(yàn)有6種可能結(jié)果．依題意 P(A)＝＝，P(B)＝＝， ∴P()＝1－P(B)＝1－＝. ∵表示“出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)”的事件，因此事件A與互斥，從而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.] 13. 解析　拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，只考慮第999次，有兩種結(jié)果：正面朝上，反面朝上，每種結(jié)果等可能出現(xiàn)，故所求概率為. 14．解　(1)由題意知，m∈{1,2,3,4,5,6}，n∈{1,2,3,4,5,6}， 故(m，n)所有可能的取法共36種． a⊥b，即m－3n＝0，即m＝3n，共有2種：(3,1)，(6,2)， 所以事件a⊥b的概率為＝. (2)|a|≤|b|，即m2＋n2≤10， 共有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)6種，其概率為＝.