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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練61 離散型隨機(jī)變量及其分布列 理 新人教版 一、選擇題 1．袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球．每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另?yè)Q1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹梗舫槿〉拇螖?shù)為ξ，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是(　　) A．ξ＝4　　B．ξ＝5　　C．ξ＝6　　D．ξ≤5 【解析】　“放回五個(gè)紅球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6. 【答案】　C 2．已知隨機(jī)變量X的分布列為：P(X＝k)＝，k＝1,2，…，則P(2＜X≤4)等于(　　) A. B. C. D. 【解析】　P(2＜X≤4

2、)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝. 【答案】　A 3．已知隨機(jī)變量X的概率分布列如下表： X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m A. B. C. D. 【解析】　由分布列的性質(zhì)可知 m＝1－ ＝1－ ＝ ∴P(X＝10)＝. 【答案】　C 4．(xx·福州模擬)一盒中有12個(gè)乒乓球，其中9個(gè)新的，3個(gè)舊的，從盒中任取3個(gè)球來(lái)用，用完后裝回盒中，此時(shí)盒中舊球個(gè)數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，其分布列為P(X)，則P(X＝4)的值為(　　) A. B.

3、 C. D. 【解析】　事件“X＝4”表示任取的3個(gè)球中有2個(gè)舊球1個(gè)新球，故 P(X＝4)＝＝. 【答案】　C 5．在15個(gè)村莊有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B.P(X≤2) C．P(X＝4) D.P(X≤4) 【解析】　X服從超幾何分布，故P(X＝k)＝，k＝4. 【答案】　C 6．若隨機(jī)變量η的分布列為 η －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當(dāng)P(η＜x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取

4、值范圍是(　　) A．x≤2 B.1≤x≤2 C．1＜x≤2 D.1＜x＜2 【解析】　由隨機(jī)變量η的分布列知：P(η＜－1)＝0.1，P(η＜0)＝0.3，P(η＜1)＝0.5，P(η＜2)＝0.8，則當(dāng)P(η＜x)＝0.8時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是1＜x≤2. 【答案】　C 二、填空題 7．設(shè)隨機(jī)變量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________. 【解析】　∵X等可能取值1,2,3，…，n. ∴P(X＝n)＝， ∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝， 由P(X＜4)＝0.3得＝0.3，∴n＝10. 【答案】　10

5、 8．甲、乙兩隊(duì)在一次對(duì)抗賽的某一輪中有3個(gè)搶答題，比賽規(guī)定：對(duì)于每一個(gè)題，沒(méi)有搶到題的隊(duì)得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯(cuò)誤的扣1分(即得－1分)．若X是甲隊(duì)在該輪比賽獲勝時(shí)的得分(分?jǐn)?shù)高者勝)，則X的所有可能取值是________． 【解析】　甲獲勝且獲得最低分的情況是：甲搶到一題并回答錯(cuò)誤，乙搶到兩題并且都回答錯(cuò)誤，此時(shí)甲得－1分． 故X的所有可能取值為－1,0,1,2,3. 【答案】?。?,0,1,2,3 9．(xx·西安模擬)已知隨機(jī)變量X只能取三個(gè)值x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是________． 【解析】　設(shè)x取x1，x2，

6、x3時(shí)的概率分別為a－d，d，a＋d. 則a－d＋d＋a＋d＝1，∴a＝. 由得－≤d≤. 【答案】　 三、解答題 10．已知一個(gè)口袋中分別裝了3個(gè)白色玻璃球、2個(gè)紅色玻璃球和n個(gè)黑色玻璃球，現(xiàn)從中任取2個(gè)玻璃球進(jìn)行觀察，每取到一個(gè)白色玻璃球得1分，每取到一個(gè)紅色玻璃球得2分，每取到一個(gè)黑色玻璃球得0分，用X表示所得的分?jǐn)?shù)，已知得0分的概率為. (1)求袋中黑色玻璃球的個(gè)數(shù)n； (2)求X的分布列； (3)求得分不低于3分的概率． 【解】　(1)因?yàn)镻(X＝0)＝＝， 所以n2－3n－4＝0， 解得n＝－1(舍去)或n＝4， 即袋中有4個(gè)黑色玻璃球． (2)由題意知，

7、X的可能取值為0,1,2,3,4. 則P(X＝0)＝， P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝， 所以X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P (3)得分不低于3分，即X≥3，由(2)知X＝3或X＝4，因此P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝，即得分不低于3分的概率為. 11．(xx·天津高考)一個(gè)盒子里裝有7張卡片，其中有紅色卡片4張，編號(hào)分別為1,2,3,4；白色卡片3張，編號(hào)分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)． (1)求取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的

8、概率； (2)在取出的4張卡片中，紅色卡片編號(hào)的最大值設(shè)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 【解】　(1)設(shè)“取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片”為事件A，則P(A)＝＝. 所以取出的4張卡片中，含有編號(hào)為3的卡片的概率為. (2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4. P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列是 X 1 2 3 4 P 故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 12．袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為.現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪

9、流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)即終止．每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是等可能的，用X表示取球終止時(shí)所需要的取球次數(shù)． (1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)； (2)求隨機(jī)變量X的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 【解】　(1)設(shè)袋中白球共有x個(gè)，根據(jù)已知條件＝. 即x2－x－6＝0，解得x＝3，或x＝－2(舍去)． 即袋中原有白球的個(gè)數(shù)為3. (2)X表示取球終止時(shí)所需要的次數(shù)，則X的取值分別為1,2,3,4,5. 因此，P(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝＝， P(X＝4)＝＝， P(X＝5)＝＝. 則隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 4 5 P (3)甲取到白球的概率為 P＝P(X＝1)＋P(X＝3)＋P(X＝5) ＝＋＋＝.