《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 三角函數(shù)、解三角形 第4講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)教學(xué)案 理 北師大版（26頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第4講　三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 一、知識梳理 1．用五點法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖 在正弦函數(shù)y＝sin x，x∈[0，2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)． 在余弦函數(shù)y＝cos x，x∈[0，2π]的圖象上，五個關(guān)鍵點是：(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)． 五點法作圖有三步：列表、描點、連線(注意光滑)． 2．正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì) 函數(shù) y＝sin x y＝cos x y＝tan x 圖象 定義域 R R {x|x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z}

2、 值域 [－1，1] [－1，1] R 奇偶 性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是增函數(shù)，在 [＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上是減函數(shù) 在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增函數(shù)，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是減函數(shù) 在(－＋kπ，＋kπ)(k∈Z)上是增函數(shù) 周期性 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π 周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π 對稱性 對稱軸是x＝＋kπ(k∈Z)，對稱中心是(kπ，0)(k∈Z) 對稱軸是x＝kπ(k

3、∈Z)，對稱中心是(kπ＋，0)(k∈Z) 對稱中心是(，0)(k∈Z) 常用結(jié)論 1．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，函數(shù)y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期T＝. 2．正弦曲線、余弦曲線相鄰兩對稱中心、相鄰兩對稱軸之間的距離是半周期，相鄰的對稱中心與對稱軸之間的距離是周期．正切曲線相鄰兩對稱中心之間的距離是半周期． 3．三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式． 二、教材衍化 1．若函數(shù)y＝2sin 2x－1的最小正周期為T，最大值為A，則T＝________，A

4、＝________． 解析：最小正周期T＝＝π，最大值A(chǔ)＝2－1＝1. 答案：π　1 2．下列關(guān)于函數(shù)y＝4sin x，x∈[－π，π]的單調(diào)性的敘述，正確的是________(填序號)． ①在[－π，0]上是增函數(shù)，在[0，π]上是減函數(shù)； ②在上是增函數(shù)，在及上是減函數(shù)； ③在[0，π]上是增函數(shù)，在[－π，0]上是減函數(shù)； ④在及上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)． 解析：函數(shù)y＝4sin x在和上是減少的，在上是增加的． 答案：② 3． y＝tan 2x的定義域是________． 解析：由2x≠kπ＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，所以y＝tan 2x的定義域是. 答案：

5、 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)y＝sin x在第一、第四象限是增函數(shù)．(　　) (2)余弦函數(shù)y＝cos x的對稱軸是y軸．(　　) (3)正切函數(shù)y＝tan x在定義域內(nèi)是增函數(shù)．(　　) (4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，則y的最大值為k＋1.(　　) (5)y＝sin |x|是偶函數(shù)．(　　) (6)若sin x>，則x>.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)× 二、易錯糾偏 (1)忽視y＝Asin x(或y＝Acos x)中A對函數(shù)單調(diào)性的影響； (2)忽視定義域的限制； (3)忽

6、視正切函數(shù)的周期； (4)不化為同名函數(shù)以及同一單調(diào)區(qū)間導(dǎo)致比較大小出錯． 1．函數(shù)y＝1－2cos x的減區(qū)間為________． 解析：函數(shù)y＝1－2cos x的減區(qū)間為函數(shù)y＝cos x的增區(qū)間． 答案：[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) 2．函數(shù)f(x)＝3sin(2x－)在區(qū)間[0，]上的值域為________． 解析：當(dāng)x∈[0，]時，2x－∈[－，]， 所以sin∈[－，1]， 故3sin∈[－，3]， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，]上的值域是[－，3]． 答案：[－，3] 3．函數(shù)y＝tan圖象的對稱中心是________． 解析：由x＋＝π，得x＝π

7、－，k∈Z. 答案：(k∈Z) 4．cos 23°，sin 68°，cos 97°的大小關(guān)系是________． 解析：sin 68°＝cos 22°， 又y＝cos x在[0°，180°]上是減函數(shù)， 所以sin 68°>cos 23°>cos 97°. 答案：sin 68°>cos 23°>cos 97° [學(xué)生用書P66] 　　　　　　三角函數(shù)的定義域(自主練透) 1．函數(shù)f(x)＝－2tan的定義域是(　　) A. B. C. D. 解析：選D.由2x＋≠kπ＋，得x≠＋(k∈Z)． 2．函數(shù)y＝lg sin x＋的定義域為________

8、． 解析：要使函數(shù)有意義，則有 即 解得(k∈Z)， 所以2kπ

9、π＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 法三：sin x－cos x＝sin(x－)≥0， 將x－視為一個整體，由正弦函數(shù)y＝sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x－≤π＋2kπ(k∈Z)， 解得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)． 所以定義域為{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z}． 答案：{x|2kπ＋≤x≤2kπ＋，k∈Z} 求三角函數(shù)定義域?qū)嶋H上是構(gòu)造簡單的三角不等式(組)，常借助三角函數(shù)線或三角函數(shù)圖象來求解．　 　　　　　　三角函數(shù)的值域(師生共研) (1)已知函數(shù)f(x)＝cos xsin 2x，則函數(shù)f(x)的最大值為________． (2)已知函數(shù)

10、f(x)＝(sin x＋cos x)2＋cos 2x，求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 【解】　(1)(換元法)因為y＝f(x)＝cos xsin 2x＝2cos2 xsin x＝2(1－sin2x)·sin x＝2(sin x－sin3 x)， 令t＝sin x，則y＝g(t)＝2(t－t3)，－1≤t≤1. 令g′(t)＝2(1－3t2)＝0，得t＝±. 當(dāng)t∈時，g′(t)<0， g(t)在上是減函數(shù)； 當(dāng)t∈時，g′(t)>0， g(t)在上是增函數(shù)； 當(dāng)t∈時，g′(t)<0，g(t)在上是減函數(shù)． 由此可知y＝g(t)在t＝時取得最大值，最大值為.故f(x)的

11、最大值為.故填. (2)因為f(x)＝sin2x＋cos2x＋2sin xcos x＋cos 2x＝1＋sin 2x＋cos 2x＝sin＋1， 當(dāng)x∈時，∈. 由正弦函數(shù)y＝sin x在上的圖象知， 當(dāng)2x＋＝，即x＝時，f(x)取得最大值＋1； 當(dāng)2x＋＝，即x＝時，f(x)取最小值0. 綜上，f(x)在上的最大值為＋1，最小值為0. 求解三角函數(shù)的值域(最值)常見到以下幾種類型 (1)形如y＝asin x＋bcos x＋c的三角函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)＋c的形式，再求值域(最值)． (2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數(shù)，可先設(shè)sin x＝t

12、，化為關(guān)于t的二次函數(shù)求值域(最值)． (3)形如y＝asin3x＋bsin2x＋csin x＋d，類似于(2)進(jìn)行換元，然后用導(dǎo)數(shù)法求最值．　 1．若函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x，－≤x≤，則f(x)的最大值為(　　) A．1　　　 B．2　　　　 C.　　　 D．＋1 解析：選C.f(x)＝(1＋tan x)cos x＝cos x＋sin x＝2sin.因為－≤x≤，所以－≤x＋≤，故當(dāng)x＝時，f(x)取最大值，故選C. 2．函數(shù)f(x)＝sin2x＋sin x cos x在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值． 解：f(x)＝－cos 2x＋sin 2x ＝

13、sin＋. 由題意知－≤x≤m. 所以－≤2x－≤2m－. 要使得f(x)在上的最大值為，則sin在上的最大值為1. 所以2m－≥，即m≥. 所以m的最小值為. 　　　　　　函數(shù)的單調(diào)性(多維探究) 角度一　求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)(2019·高考全國卷Ⅱ)下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間單調(diào)遞增的是(　　) A．f(x)＝|cos 2x|　　　 B．f(x)＝|sin 2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| (2)函數(shù)y＝sin x＋cos x(x∈[0，])的增區(qū)間是________． 【解析】　(1)A中，函數(shù)f(x)＝|cos 2

14、x|的周期為，當(dāng)x∈時，2x∈，函數(shù)f(x)是增加的，故A正確；B中，函數(shù)f(x)＝|sin 2x|的周期為，當(dāng)x∈時，2x∈，函數(shù)f(x)是減少的，故B不正確；C中，函數(shù)f(x)＝cos|x|＝cos x的周期為2π，故C不正確；D中，f(x)＝sin|x|＝由正弦函數(shù)圖象知，在x≥0和x<0時，f(x)均以2π為周期，但在整個定義域上f(x)不是周期函數(shù)，故D不正確．故選A.(2)因為y＝sin x＋cos x＝sin(x＋)， 由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)， 解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)， 所以函數(shù)的增區(qū)間為[2kπ－，2kπ＋](k∈Z)， 又x∈[0，]，所以

15、增區(qū)間為[0，]． 【答案】　(1)A　(2)[0，] 三角函數(shù)單調(diào)性的求法 (1)形如y＝Asin(ωx＋φ)的函數(shù)的單調(diào)性問題，一般是將ωx＋φ看成一個整體，再結(jié)合圖象利用y＝sin x的單調(diào)性求解． (2)如果函數(shù)中自變量的系數(shù)為負(fù)值，要根據(jù)誘導(dǎo)公式把自變量系數(shù)化為正值，再確定其單調(diào)性．　 角度二　根據(jù)單調(diào)性求參數(shù) (1)(一題多解)若f(x)＝cos x－sin x在[0，a]是減函數(shù)，則a的最大值是(　　) A.　　　 B． C.　　　 D．π (2)(一題多解)若f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間[－，]上是增函數(shù)，則ω的取值范圍是_______

16、_． 【解析】　(1)法一：f(x)＝cos x－sin x＝cos.當(dāng)x∈[0，a]時，x＋∈，所以結(jié)合題意可知，a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故選C. 法二：f′(x)＝－sin x－cos x＝－sin.于是，由題設(shè)得f′(x)≤0，即sin≥0在區(qū)間[0，a]上恒成立．當(dāng)x∈[0，a]時，x＋∈，所以a＋≤π，即a≤，故所求a的最大值是.故選C. (2)法一：因為x∈[－，](ω>0)， 所以ωx∈[－，]， 因為f(x)＝2sin ωx在[－，]上是增函數(shù)， 所以故0<ω≤. 法二：畫出函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)的圖象如圖所示． 要使f(x)在

17、[－，]上是增函數(shù)，需 (ω>0)，即0<ω≤. 法三：由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)得 －＋≤x≤＋(k∈Z)， 故f(x)的增區(qū)間是[－＋，＋](k∈Z)， 由題意[－，]?[－＋，＋](k∈Z，ω>0)， 從而有即0<ω≤. 【答案】　(1)C　(2)(0，] 已知三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求參數(shù)的取值范圍的三種方法 (1)子集法：求出原函數(shù)的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間，由已知區(qū)間是所求某區(qū)間的子集，列不等式(組)求解； (2)反子集法：由所給區(qū)間求出整體角的范圍，由該范圍是某相應(yīng)正、余弦函數(shù)的某個單調(diào)區(qū)間的子集，列不等式(組)求解； (3)周期法：由所給區(qū)間的兩個端點到其相

18、應(yīng)對稱中心的距離不超過周期列不等式(組)求解． [提醒]　要注意求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時ω的符號，若ω<0，那么一定先借助誘導(dǎo)公式將ω化為正數(shù)．同時切莫漏掉考慮函數(shù)自身的定義域．　 1．函數(shù)f(x)＝tan(2x－)的增區(qū)間是(　　) A．[－，＋](k∈Z) B．(－，＋)(k∈Z) C．(kπ＋，kπ＋](k∈Z) D．(kπ－，kπ＋](k∈Z) 解析：選B.由kπ－<2x－0，函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋

19、)在(，π)上是減少的，則ω的取值范圍是________． 解析：法一：由0，得＋<ωx＋<ωπ＋，又y＝sin x的減區(qū)間為[2kπ＋，2kπ＋]，k∈Z，所以k∈Z，解得4k＋≤ω≤2k＋，k∈Z.又由4k＋－(2k＋)≤0，k∈Z且2k＋>0，k∈Z，得k＝0，所以ω∈[，]． 法二：由已知＝≥，所以0<ω≤2，又

20、cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期為π的所有函數(shù)的序號為(　　) A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①③ (2)若函數(shù)f(x)＝2tan的最小正周期T滿足1＜T＜2，則自然數(shù)k的值為________． 【解析】　(1)①y＝cos|2x|＝cos 2x，最小正周期為π； ②由圖象知y＝|cos x|的最小正周期為π； ③y＝cos的最小正周期T＝＝π； ④y＝tan的最小正周期T＝，故選A. (2)由題意知1＜＜2， 所以k＜π＜2k. 即＜k＜π，又k∈N， 所以k＝2或3. 【答案】　(1)A　(2)2或3 (1)公式法：函數(shù)y＝A

21、sin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期T＝，y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝； (2)圖象法：利用三角函數(shù)圖象的特征求周期．　 角度二　三角函數(shù)的奇偶性 已知函數(shù)f(x)＝3sin(2x－＋φ)，φ∈(0，π)． (1)若f(x)為偶函數(shù)，則φ＝________； (2)若f(x)為奇函數(shù)，則φ＝________. 【解析】　(1)因為f(x)＝3sin(2x－＋φ)為偶函數(shù)， 所以－＋φ＝kπ＋，k∈Z， 又因為φ∈(0，π)，所以φ＝. (2)因為f(x)＝3sin(2x－＋φ)為奇函數(shù)， 所以－＋φ＝kπ，k∈Z， 又φ∈(0，π)，

22、 所以φ＝. 【答案】　(1)　(2) 奇偶性的判斷方法：三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式．　 角度三　三角函數(shù)的對稱性 已知函數(shù)f(x)＝asin x＋cos x(a為常數(shù)，x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則函數(shù)g(x)＝sin x＋acos x的圖象(　　) A．關(guān)于點對稱 B．關(guān)于點對稱 C．關(guān)于直線x＝對稱 D．關(guān)于直線x＝對稱 【解析】　因為函數(shù)f(x)＝asin x＋cos x(a為常數(shù)，x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝對稱， 所以f(0)＝f，所以1＝a＋，a＝， 所以

23、g(x)＝sin x＋cos x＝sin(x＋)， 函數(shù)g(x)的對稱軸方程為x＋＝kπ＋，k∈Z，即x＝kπ＋，k∈Z，當(dāng)k＝0時，對稱軸為直線x＝. 所以g(x)＝sin x＋acos x的圖象關(guān)于直線x＝對稱． 【答案】　C (1)對于函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其圖象的對稱軸一定經(jīng)過函數(shù)圖象的最高點或最低點，對稱中心一定是函數(shù)的零點，因此在判斷直線x＝x0或點(x0，0)是否是函數(shù)圖象的對稱軸或?qū)ΨQ中心時，可通過檢驗f(x0)的值進(jìn)行判斷． (2)函數(shù)圖象的對稱性與周期T之間有如下結(jié)論：①若函數(shù)圖象相鄰的兩條對稱軸分別為x＝a與x＝b，則最小正周期T＝2|b－a|

24、；②若函數(shù)圖象相鄰的兩個對稱中心分別為(a，0)，(b，0)，則最小正周期T＝2|b－a|；③若函數(shù)圖象相鄰的對稱中心與對稱軸分別為(a，0)與x＝b，則最小正周期T＝4|b－a|.　 1. 函數(shù)y＝sin的圖象與函數(shù)y＝cos的圖象(　　) A．有相同的對稱軸但無相同的對稱中心 B．有相同的對稱中心但無相同的對稱軸 C．既有相同的對稱軸也有相同的對稱中心 D．既無相同的對稱中心也無相同的對稱軸 解析：選A.由2x－＝kπ＋，k∈Z，可解得函數(shù)y＝sin的對稱軸為x＝＋，k∈Z.由x－＝kπ，k∈Z，可解得函數(shù)y＝cos的對稱軸為x＝kπ＋，k∈Z.當(dāng)k＝0時，函數(shù)有相同的對

25、稱軸．由2x－＝kπ，k∈Z，可解得函數(shù)y＝sin的對稱中心為，k∈Z.由x－＝kπ＋，k∈Z，可解得函數(shù)y＝cos的對稱中心為，k∈Z. 故兩個函數(shù)沒有相同的對稱中心，故選A. 2．已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(0，1)，且關(guān)于直線x＝對稱，則下列結(jié)論正確的是(　　) A．f(x)在上是減函數(shù) B．若x＝x0是f(x)圖象的對稱軸，則一定有f′(x0)≠0 C．f(x)≥1的解集是，k∈Z D．f(x)圖象的一個對稱中心是 解析：選D.由f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象經(jīng)過點(0，1)，得sin φ＝，又|φ|<，所以φ＝，則f(x)＝2sin.因為f

26、(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，所以存在m∈Z，使得ω＋＝mπ＋，得ω＝＋(m∈Z)，又0<ω<1，所以ω＝，則f(x)＝2sin.令2nπ＋≤x＋≤2nπ＋，n∈Z，得4nπ＋≤x≤4nπ＋，n∈Z，故A錯誤；若x＝x0是f(x)圖象的對稱軸，則f(x)在x＝x0處取得極值，所以一定有f′(x0)＝0，故B錯誤；由f(x)≥1得4kπ≤x≤4kπ＋，k∈Z，故C錯誤；因為f＝0，所以是其圖象的一個對稱中心，故D正確，選D. 　三角函數(shù)中ω值的求法 一、利用三角函數(shù)的單調(diào)性求解 若函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上是減少的，則ω的取值范圍是________． 【解析】　令＋2

27、kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因為f(x)在上是減少的，所以得6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3.　 【答案】　 根據(jù)正弦函數(shù)的減區(qū)間，確定函數(shù)f(x)的減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)f(x)＝sin ωx(ω>0)在區(qū)間上是減少的，建立不等式，即可求ω的取值范圍．　 二、利用三角函數(shù)的對稱性求解 (1)已知函數(shù)f(x)＝cos(ω>0)的一條對稱軸為x＝，一個對稱中心為點，則ω有(　　) A．最小值2　　　　 B．最大值2 C．最小值1 D．最大值1 (2)若函數(shù)y＝cos(ω∈N+)圖象的一個對稱中

28、心是，則ω的最小值為________． 【解析】　(1)因為函數(shù)的中心到對稱軸的最短距離是，兩條對稱軸間的最短距離是，所以中心到對稱軸x＝間的距離用周期可表示為－＝＋(k∈N，T為周期)，解得(2k＋1)T＝π，又T＝，所以(2k＋1)·＝π，則ω＝2(2k＋1)，當(dāng)k＝0時，ω＝2最?。蔬xA. (2)依題意得cos＝0，則＋＝＋kπ(k∈Z)?ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N+，所以ω的最小值為＝2. 【答案】　(1)A　(2)2 三角函數(shù)兩條相鄰對稱軸或兩個相鄰對稱中心之間的“水平間隔”為，相鄰的對稱軸和對稱中心之間的“水平間隔”為，這就說明，我們可根據(jù)三角函數(shù)的對稱性來研究

29、其周期性，進(jìn)而可以研究“ω”的取值．值得一提的是，三角函數(shù)的對稱軸必經(jīng)過其圖象上的最高點(極大值)或最低點(極小值)，函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心就是其圖象與x軸的交點，這就說明，我們也可利用三角函數(shù)的極值點(最值點)、零點之間的“差距”來確定其周期，進(jìn)而可以確定“ω”的取值．　 三、利用三角函數(shù)的最值求解 (1)已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，則ω的取值范圍是________． (2)已知f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)，f＝f()，且f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，則ω＝________． 【解析】　(1)顯然ω≠0. 若ω>0，

30、當(dāng)x∈時，－ω≤ωx≤ω，因為函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2，所以－ω≤－，解得ω≥. 若ω<0，當(dāng)x∈時，ω≤ωx≤－ω，因為函數(shù)f(x)＝2sin ωx在區(qū)間上的最小值為－2.所以ω≤－，解得ω≤－2. 綜上所述，符合條件的實數(shù)ω的取值范圍是(－∞，－2]∪. (2)因為f＝f，而＝，所以f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱，又f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，所以f(x)min＝f＝sin＝－1，所以＋＝kπ＋，k∈Z，解得ω＝4k＋.再由f(x)在區(qū)間內(nèi)有最小值無最大值，得＝T≥－，解得ω≤12，所以k＝0，ω＝. 【答案】　(1)(－∞，－2]∪　(2)

31、 利用三角函數(shù)的最值與對稱或周期的關(guān)系，可以列出關(guān)于ω的不等式，進(jìn)而求出ω的值或取值范圍．　 [基礎(chǔ)題組練] 1．函數(shù)y＝|cos x|的一個增區(qū)間是(　　) A．[－，]　　　　　 B．[0，π] C．[π，] D．[，2π] 解析：選D.將y＝cos x的圖象位于x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱翻折到x軸上方，x軸上方(或x軸上)的圖象不變，即得y＝|cos x|的圖象(如圖)．故選D. 2．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos，則下列結(jié)論錯誤的是(　　) A．f(x)的一個周期為－2π B．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝對稱 C．f(x＋π)的一個零點為x＝ D．f(x)在上是

32、減少的 解析：選D.函數(shù)f(x)＝cos的圖象可由y＝cos x的圖象向左平移個單位得到，如圖可知，f(x)在上先減后增，D選項錯誤． 3．(2020·河北衡水第十三中學(xué)質(zhì)檢(四))同時滿足f(x＋π)＝f(x)與f＝f的函數(shù)f(x)的解析式可以是(　　) A．f(x)＝cos 2x　　　　 B．f(x)＝tan x C．f(x)＝sin x D．f(x)＝sin 2x 解析：選D.由題意得所求函數(shù)的周期為π，且圖象關(guān)于x＝對稱． A．f(x)＝cos 2x的周期為π，而f＝0不是函數(shù)的最值． 所以其圖象不關(guān)于x＝對稱． B．f(x)＝tan x的周期為π，但圖象不關(guān)于x

33、＝對稱． C．f(x)＝sin x的周期為2π，不合題意． D．f(x)＝sin 2x的周期為π，且f＝1為函數(shù)最大值， 所以D滿足條件，故選D. 4．(2020·河南六市聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同，則φ為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選D.因為函數(shù)f(x)＝2sin(ω>0)的圖象與函數(shù)g(x)＝cos(2x＋φ)的圖象的對稱中心完全相同， 所以ω＝2，φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 即φ＝－＋2kπ(k∈Z)， 因為|φ|<，所以φ＝－，選D. 5．(2020·河南中原名校聯(lián)

34、盟聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．在同一周期內(nèi)，當(dāng)x＝時取最大值，當(dāng)x＝－時取最小值，則φ的值可能為(　　) A. B． C. D． 解析：選C.T＝＝2＝π，故ω＝2，又2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，所以φ的值可能為.故答案為C. 6．函數(shù)f(x)＝sin的減區(qū)間為________． 解析：由已知可得函數(shù)為f(x)＝－sin，欲求函數(shù)f(x)的減區(qū)間，只需求y＝sin的增區(qū)間． 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)． 得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 故所求函數(shù)f(x)的減區(qū)間為 (k∈Z)． 答案：(k∈Z) 7．

35、已知函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，2)，則函數(shù)f(x)的最小正周期為________． 解析：由函數(shù)f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的圖象的一條對稱軸為x＝π，可得ωπ－＝kπ＋，k∈Z， 所以ω＝k＋，又ω∈(1，2)，所以ω＝，從而得函數(shù)f(x)的最小正周期為＝. 答案： 8．已知函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一個對稱中心為，其中ω為常數(shù)，且ω∈(1，3)．若對任意的實數(shù)x，總有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，則|x1－x2|的最小值是________． 解析：因為函數(shù)f(x)＝2sin的圖象的一個

36、對稱中心為，所以ω＋＝kπ，k∈Z，所以ω＝3k－1，k∈Z，由ω∈(1，3)得，ω＝2.由題意得|x1－x2|的最小值為函數(shù)的半個周期，即＝＝. 答案： 9．已知函數(shù)f(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－2. (1)求f(x)的增區(qū)間； (2)當(dāng)x∈時，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值． 解：f(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin. (1)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z， 則kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z. 故f(x)的增區(qū)間為，k∈Z. (2)因為x∈， 所以≤2x＋≤， 所以－1≤sin≤ ， 所以－≤f(x)≤1，所以當(dāng)x∈時，函數(shù)f(x

37、)的最大值為1，最小值為－. 10．已知函數(shù)f(x)＝4sin(x－)cos x＋. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和增區(qū)間； (2)若函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，]上有兩個不同的零點x1，x2，求實數(shù)m的取值范圍，并計算tan(x1＋x2)的值． 解：(1)f(x)＝4sin(x－)cos x＋＝4(sin x－cos x)cos x＋＝2sin xcos x－2cos2x＋＝sin 2x－cos 2x＝2sin(2x－)． 所以函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝π. 由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)． 所以函數(shù)f(x)的增區(qū)間為[kπ

38、－，kπ＋](k∈Z)． (2)函數(shù)g(x)＝f(x)－m在[0，]上有兩個不同的零點x1，x2，即函數(shù)y＝f(x)與y＝m在[0，]上的圖象有兩個不同的交點，在直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y＝f(x)＝2sin(2x－)在[0，]上的圖象，如圖所示， 由圖象可知，當(dāng)且僅當(dāng)m∈[，2)時，方程f(x)＝m有兩個不同的解x1，x2，且x1＋x2＝2×＝， 故tan(x1＋x2)＝tan＝－tan ＝－. [綜合題組練] 1．(2019·高考全國卷Ⅰ)關(guān)于函數(shù)f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四個結(jié)論： ①f(x)是偶函數(shù)； ②f(x)在區(qū)間遞增； ③f(x)在[－π，π]有

39、4個零點； ④f(x)的最大值為2. 其中所有正確結(jié)論的編號是(　　) A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 解析：選C.通解：f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確；當(dāng)

40、是①④.故選C. 優(yōu)解：因為f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)，故①正確，排除B；當(dāng)0)，已知f(x)在[0，2π]有且僅有5個零點．下述四個結(jié)論： ①f(x)在(0，2π)有且僅有3個極大值點 ②f(x)在(0，2π)有且僅有2個極小值點

41、 ③f(x)在遞增 ④ω的取值范圍是 其中所有正確結(jié)論的編號是(　　) A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④ 解析：選D.如圖，根據(jù)題意知，xA≤2π0)，f()＋f()＝0，且f(x)在區(qū)間(，)上是減少的，則ω＝________. 解

42、析：因為f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝2sin(ωx＋)， 由＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z， 得＋≤x≤＋，因為f(x)在區(qū)間(，)上遞減，所以(，)?[＋，＋]，從而有， 解得12k＋1≤ω≤，k∈Z， 所以1≤ω≤，因為f()＋f()＝0， 所以x＝＝為f(x)＝2sin(ωx＋)的一個對稱中心的橫坐標(biāo)， 所以ω＋＝kπ(k∈Z)，ω＝3k－1，k∈Z， 又1≤ω≤，所以ω＝2. 答案：2 4．(2020·江贛十四校第二次聯(lián)考)如果圓x2＋(y－1)2＝m2至少覆蓋函數(shù)f(x)＝2sin2－ cos(m>0)的一個最大值點和一個最小值點，則m的取值范圍是__

43、______． 解析：化簡f(x)＝2sin2－cos得f(x)＝2sin＋1，所以，函數(shù)f(x)的圖象靠近圓心(0，1)的最大值點為，最小值點為， 所以只需解得m≥. 答案： 5．已知函數(shù)f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若h(x)＝f(x＋t)的圖象關(guān)于點對稱，且t∈(0，π)，求t值； (3)當(dāng)x∈時，不等式|f(x)－m|<3恒成立，求實數(shù)m的取值范圍． 解：(1)因為f(x)＝－cos－cos 2x ＝sin 2x－cos 2x ＝2 ＝2sin(2x－)． 故f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)由(

44、1)知h(x)＝2sin. 令2×＋2t－＝kπ(k∈Z)， 得t＝＋(k∈Z)， 又t∈(0，π)，故t＝或. (3)當(dāng)x∈時，2x－∈， 所以f(x)∈[1，2]． 又|f(x)－m|<3， 即f(x)－30，函數(shù)f(x)＝－2asin(2x＋)＋2a＋b，當(dāng)x∈[0，]時，－5≤f(x)≤1. (1)求常數(shù)a，b的值； (2)設(shè)g(x)＝f(x＋)且lg g(x)>0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間． 解：(1)因為x∈[0，]， 所以2x＋∈[，]， 所以sin(

45、2x＋)∈[－，1]， 所以－2asin(2x＋)∈[－2a，a]， 所以f(x)∈[b，3a＋b]，又因為－5≤f(x)≤1， 所以b＝－5，3a＋b＝1，因此a＝2，b＝－5. (2)由(1)得f(x)＝－4sin(2x＋)－1， g(x)＝f(x＋)＝－4sin(2x＋)－1 ＝4sin(2x＋)－1， 又由lg g(x)>0，得g(x)>1， 所以4sin(2x＋)－1>1， 所以sin(2x＋)>， 所以2kπ＋<2x＋<2kπ＋，k∈Z， 其中當(dāng)2kπ＋<2x＋≤2kπ＋，k∈Z時， g(x)是增加的，即kπ