《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第11章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第7節(jié) 離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布教學(xué)案 理 北師大版（13頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七節(jié)　離散型隨機(jī)變量的均值與方差、正態(tài)分布 [最新考綱]　1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量的均值、方差的概念.2.會(huì)求簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能利用離散型隨機(jī)變量的均值、方差概念解決一些簡單實(shí)際問題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義． 1．離散型隨機(jī)變量的均值與方差 若離散型隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝ai)＝pi(i＝1,2，…，r)． (1)均值 EX＝a1p1＋a2p2＋…＋arpr，均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”． (2)方差 DX＝E(X－EX)2為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值EX的平均偏離程度．

2、2．均值與方差的性質(zhì) (1)E(aX＋b)＝aEX＋b. (2)D(aX＋b)＝a2DX(a，b為常數(shù))． 3．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差 均值 方差 變量X服從兩點(diǎn)分布 EX＝p DX＝p(1－p) X～B(n，p) EX＝np DX＝np(1－p) 4．正態(tài)分布 (1)X～N(μ，σ2)，表示X服從參數(shù)為μ和σ2的正態(tài)分布． (2)正態(tài)分布密度函數(shù)的性質(zhì)： ①函數(shù)圖像關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱； ②σ(σ＞0)的大小決定函數(shù)圖像的“胖”“瘦”； ③p(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝68.3%； p(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝95.4%； p(μ－3σ＜X＜μ＋

3、3σ)＝99.7%. 1．均值與方差的關(guān)系：DX＝EX2－E2X. 2．超幾何分布的均值：若X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布，則EX＝. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (2)若X～N(μ，σ2)，則μ，σ2分別表示正態(tài)分布的均值和方差．(　　) (3)隨機(jī)變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機(jī)變量．(　　) (4)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量取值偏離均值的平均程度，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越小. (　　) [答案]　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 二、教

4、材改編 1．已知X的分布列為 X －1 0 1 P a 設(shè)Y＝2X＋3，則EY的值為(　　) A．　　 B．4　　　　 C．－1　　 D．1 A　[由概率分布列的性質(zhì)可知：＋＋a＝1， ∴a＝. ∴EX＝(－1)×＋0×＋1×＝－. ∴EY＝3＋2EX＝3－＝.] 2．若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為________． 0　[∵P(X＝c)＝1，∴EX＝c×1＝c， ∴DX＝(c－c)2×1＝0.] 3．已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3,1)，且P(X>2c－1)＝P(X

5、～N(3,1)，∴正態(tài)曲線關(guān)于x＝3對(duì)稱， 且P(X>2c－1)＝P(X

6、隨機(jī)變量的均值、方差 　求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的步驟 (1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值． (2)求X取每個(gè)值時(shí)的概率． (3)寫出X的分布列． (4)由均值的定義求EX. (5)由方差的定義求DX. 　為迎接2022年北京冬奧會(huì)，推廣滑雪運(yùn)動(dòng)，某滑雪場 開展滑雪促銷活動(dòng)．該滑雪場的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時(shí)間不超過1小時(shí)免費(fèi)，超過1小時(shí)的部分每小時(shí)收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時(shí)的部分按1小時(shí)計(jì)算)．有甲、乙兩人相互獨(dú)立地來該滑雪場運(yùn)動(dòng)，設(shè)甲、乙不超過1小時(shí)離開的概率分別為，；1小時(shí)以上且不超過2小時(shí)離開的概率分別為，；兩人滑雪時(shí)間都不會(huì)超過3小時(shí)． (1)求甲、乙兩人所

7、付滑雪費(fèi)用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費(fèi)用之和為隨機(jī)變量ξ(單位：元)，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望Eξ，方差Dξ. [解]　(1)兩人所付費(fèi)用相同，相同的費(fèi)用可能為0,40,80元，兩人都付0元的概率為p1＝×＝， 兩人都付40元的概率為p2＝×＝， 兩人都付80元的概率為 p3＝×＝×＝， 則兩人所付費(fèi)用相同的概率為p＝p1＋p2＋p3＝＋＋＝. (2)由題設(shè)甲、乙所付費(fèi)用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則： P(ξ＝0)＝×＝； P(ξ＝40)＝×＋×＝； P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝； P(ξ＝120)＝×＋×＝； P(ξ＝160)

8、＝×＝. ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P Eξ＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80. Dξ＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝. 　(1)求離散型隨機(jī)變量的均值與方差關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的所有可能值，寫出隨機(jī)變量的分布列，正確運(yùn)用均值、方差公式進(jìn)行計(jì)算． (2)注意E(aX＋b)＝aEX＋b，D(aX＋b)＝a2DX的應(yīng)用． [教師備選例題] 1．(2019·杭州模擬)已知0＜a＜，隨機(jī)變量ξ的分布列如下： ξ －1 0 1 P a

9、－a 當(dāng)a增大時(shí)，(　　) A．Eξ增大，Dξ增大　 B．Eξ減小，Dξ增大 C．Eξ增大，Dξ減小 D．Eξ減小，Dξ減小 B　[由題意得，Eξ＝－a＋，Dξ＝2×a＋2＋2×＝－a2＋2a＋， 又∵0＜a＜，∴當(dāng)a增大時(shí)，Eξ減小，Dξ增大．] 2．設(shè)袋子中裝有a個(gè)紅球，b個(gè)黃球，c個(gè)藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個(gè)紅球得1分，取出一個(gè)黃球得2分，取出一個(gè)藍(lán)球得3分． (1)當(dāng)a＝3，b＝2，c＝1時(shí)，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會(huì)均等)2個(gè)球，記隨機(jī)變量ξ為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求ξ的分布列； (2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會(huì)均等)1個(gè)球，記隨機(jī)變量η為取出此球

10、所得分?jǐn)?shù)．若Eη＝，Dη＝，求a∶b∶c. [解]　(1)由題意得ξ＝2,3,4,5,6， 故P(ξ＝2)＝＝， P(ξ＝3)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝5)＝＝， 　P(ξ＝6)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 2 3 4 5 6 P (2)由題意知η的分布列為 η 1 2 3 P 所以Eη＝＋＋＝， Dη＝2·＋2·＋2·＝， 化簡得 解得a＝3c，b＝2c，故a∶b∶c＝3∶2∶1. 　1.(2018·全國卷Ⅲ)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成

11、員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX＝2.4，P(X＝4)0.5，所以p＝0.6.] 2．大豆是我國主要的農(nóng)作物之一，因此，大豆在農(nóng)業(yè)發(fā)展中占有重要的地位，隨著農(nóng)業(yè)技術(shù)的不斷發(fā)展，為了使大豆得到更好的種植，就要進(jìn)行超級(jí)種培育研究．某種植基地培育的“超級(jí)豆”種子進(jìn)行種植測

12、試：選擇一塊營養(yǎng)均衡的可種植4株的實(shí)驗(yàn)田地，每株放入三?！俺?jí)豆”種子，且至少要有一粒種子發(fā)芽這株豆苗就能有效成活，每株豆成活苗可以收成大豆2.205 kg.已知每粒豆苗種子成活的概率為(假設(shè)種子之間及外部條件一致，發(fā)芽相互沒有影響)． (1)求恰好有3株成活的概率； (2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η(kg)，求隨機(jī)變量ξ分布列及η的數(shù)學(xué)期望Eη. [解]　(1)設(shè)每株豆子成活的概率為P0，則P0＝1－3＝.所以4株中恰好有3株成活的概率P＝C31＝. (2)記成活的豆苗株數(shù)為ξ，收成為η＝2.205ξ， 則ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～B，所以ξ的分布列如下表： ξ

13、 0 1 2 3 4 P C4 C1· 3 C2· 2 C3· 1 C4 ∴Eξ＝4×＝3.5， Eη＝E(2.205ξ)＝2.205·Eξ＝7.717 5(kg)． 考點(diǎn)2　均值與方差在決策中的應(yīng)用 　利用均值、方差進(jìn)行決策的2個(gè)方略 (1)當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對(duì)問題作出判斷． (2)若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大．則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策． 　某投資公司在2019年年初準(zhǔn)備將1 000萬元投資到“低碳”項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩個(gè)項(xiàng)目供選擇： 項(xiàng)目一：新能源汽車．據(jù)市場調(diào)研，投資

14、到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利30%，也可能虧損15%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為和； 項(xiàng)目二：通信設(shè)備．據(jù)市場調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到年底可能獲利50%，可能損失30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，和. 針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)合理的項(xiàng)目，并說明理由． [解]　若按“項(xiàng)目一”投資，設(shè)獲利為X1萬元，則X1的分布列為 X1 300 －150 P ∴EX1＝300×＋(－150)×＝200. 若按“項(xiàng)目二”投資，設(shè)獲利為X2萬元，則X2的分布列為 X2 500 －300 0 P ∴EX2＝500×＋(－300)

15、×＋0×＝200. DX1＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000， DX2＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000. ∴EX1＝EX2，DX1

16、被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元．在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)． (1)求X的分布列； (2)若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值； (3)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n＝19與n＝20之中選其一，應(yīng)選用哪

17、個(gè)？ [解]　(1)由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2.從而 P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16； P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24； P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24； P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2； P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04. 所以X的分布列為 X 16 17 18

18、19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值為19. (3)記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用(單位：元)． 當(dāng)n＝19時(shí)， EY＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040. 當(dāng)n＝20時(shí)，EY＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080. 可知當(dāng)n

19、＝19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于當(dāng)n＝20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n＝19. 　(2019·合肥二模)某種大型醫(yī)療檢查機(jī)器生產(chǎn)商，對(duì)一次性購買2臺(tái)機(jī)器的客戶，推出兩種超過質(zhì)保期后兩年內(nèi)的延保維修優(yōu)惠方案： 方案一：交納延保金7 000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修2次，超過2次每次收取維修費(fèi)2 000元； 方案二：交納延保金10 000元，在延保的兩年內(nèi)可免費(fèi)維修4次，超過4次每次收取維修費(fèi)1 000元． 某醫(yī)院準(zhǔn)備一次性購買2臺(tái)這種機(jī)器．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)購買哪種延保方案，為此搜集并整理了50臺(tái)這種機(jī)器超過質(zhì)保期后延保兩年內(nèi)維修的次數(shù)，得下表： 維修次數(shù) 0 1 2 3

20、臺(tái)數(shù) 5 10 20 15 以這50臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器維修次數(shù)發(fā)生的概率．記X表示這2臺(tái)機(jī)器超過質(zhì)保期后延保的兩年內(nèi)共需維修的次數(shù)． (1)求X的分布列； (2)以所需延保金及維修費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，醫(yī)院選擇哪種延保方案更合算？ [解]　(1)X所有可能的取值為0,1,2,3,4,5,6. P(X＝0)＝×＝， P(X＝1)＝××2＝， P(X＝2)＝×＋××2＝， P(X＝3)＝××2＋××2＝， P(X＝4)＝×＋××2＝， P(X＝5)＝××2＝， P(X＝6)＝×＝， ∴X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P

21、 (2)選擇延保方案一，所需費(fèi)用Y1元的分布列為： Y1 7 000 9 000 11 000 13 000 15 000 P EY1＝×7 000＋×9 000＋×11 000＋×13 000＋×15 000＝10 720(元)． 選擇延保方案二，所需費(fèi)用Y2元的分布列為： Y2 10 000 11 000 12 000 P EY2＝×10 000＋×11 000＋×12 000 ＝10 420(元)． ∵EY1＞EY2，∴該醫(yī)院選擇延保方案二較合算． 考點(diǎn)3　正態(tài)分布 　關(guān)于正態(tài)總體在

22、某個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率求法 (1)熟記P(μ－σ

23、的16個(gè)零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件數(shù)，求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． ①試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性； ②下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸： 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得＝xi＝9.97，s＝＝)≈0.212，

24、其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，i＝1,2，…，16. 用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ(精確到0.01)． 附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－3σ

25、X＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. X的數(shù)學(xué)期望EX＝16×0.002 6＝0.041 6. (2)①如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個(gè)零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，發(fā)生的概率很小，因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的． ②由＝9.97，s≈0.212，得μ的估計(jì)值為＝9.97，σ的估計(jì)值為＝0.212，由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在(－3，＋3)

26、之外，因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查． 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為×(16×9.97－9.22)＝10.02. 因此μ的估計(jì)值為10.02. x＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134， 剔除(－3，＋3)之外的數(shù)據(jù)9.22，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估計(jì)值為≈0.09. 　本題考查正態(tài)分布、概率統(tǒng)計(jì)問題的綜合，是在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處命制的一道較為新穎的試題．正態(tài)分布與統(tǒng)計(jì)案例有些知識(shí)點(diǎn)是所謂的高考“冷點(diǎn)”，由于考生對(duì)這些“冷點(diǎn)”的內(nèi)容重視不夠，復(fù)習(xí)不全面，一旦這

27、些“冷點(diǎn)”知識(shí)出了考題，雖然簡單但也做錯(cuò)，甚至根本不會(huì)做，因而錯(cuò)誤率相當(dāng)高．本題求解的關(guān)鍵是借助題設(shè)提供的數(shù)據(jù)對(duì)問題做出合理的分析，其中方差公式的等價(jià)變形是數(shù)據(jù)處理的關(guān)鍵點(diǎn)． 　1.在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10 000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線C為正態(tài)分布N(－1,1)的密度曲線)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為(　　) 附：若X～N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜X＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)＝0.954 4. A．1 193 　 B．1 359 C．2 718 　 D．3 413 B　[對(duì)于正態(tài)分布N(－1,1)，μ＝－1，σ＝1，正態(tài)曲線關(guān)于x＝－1對(duì)稱

28、，故題圖中陰影部分的面積為×[P(－3＜X＜1)－P(－2＜X＜0)]＝×[P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9，所以點(diǎn)落入題圖中陰影部分的概率P＝＝0.135 9，投入10 000個(gè)點(diǎn)，落入陰影部分的個(gè)數(shù)約為10 000×0.135 9＝1 359.] 2．為評(píng)估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機(jī)抽取100個(gè)零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表： 直徑/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 個(gè)數(shù) 1 1 3 5 6 19 33 18 直徑

29、/mm 67 68 69 70 71 73 合計(jì) 個(gè)數(shù) 4 4 2 1 2 1 100 經(jīng)計(jì)算，樣本直徑的平均值μ＝65，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.2，以頻率值作為概率的估計(jì)值． (1)為評(píng)判一臺(tái)設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進(jìn)行評(píng)判(P表示相應(yīng)事件的概率)：①P(μ－σ

30、等級(jí)為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級(jí)． (2)將直徑小于等于μ－2σ或直徑大于μ＋2σ的零件認(rèn)為是次品． ①從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨機(jī)抽取2件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望EY； ②從樣本中隨機(jī)抽取2件零件，計(jì)算其中次品件數(shù)Z的數(shù)學(xué)期望EZ. [解]　(1)P(μ－σ0.682 6，P(μ－2σ