《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù) 第7節(jié) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案 文 北師大版（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第七節(jié)　對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) [最新考綱]　1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為2,10，的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函數(shù)． (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第27頁(yè)) 1．對(duì)數(shù) 概念 如果ab＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaN＝b，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù). 性質(zhì) a＝N logaa

2、b＝b(a＞0，且a≠1) 換底 公式 換底公式：logab＝(a＞0，且a≠1；c＞0，且c≠1；b＞0) 運(yùn)算 法則 loga(M·N)＝logaM＋logaN a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0 loga＝logaM－logaN logaMn＝nlogaM(n∈R) 2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì) 定義 函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù) 圖像 a＞1 0＜a＜1 性質(zhì) 定義域：(0，＋∞) 值域：R 當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過(guò)定點(diǎn)(1,0) 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＜0； 當(dāng)x＞1時(shí)，y＞0 當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y＞0； 當(dāng)x＞1時(shí)

3、，y＜0 在(0，＋∞)上為增函數(shù) 在(0，＋∞)上為減函數(shù) 3.反函數(shù) 指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱． 1．換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論 (1)loga b＝；(2)logambn＝loga b. 其中a＞0且a≠1，b＞0且b≠1，m，n∈R且m≠0. 2．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的比較 如圖，作直線y＝1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大． 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×

4、”) (1)函數(shù)y＝log2(x＋1)是對(duì)數(shù)函數(shù)． (　　) (2)log2x2＝2log2x. (　　) (3)函數(shù)y＝ln與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同． (　　) (4)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0且a≠1)的圖像過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且過(guò)點(diǎn)(a,1)，，函數(shù)圖像不在第二、三象限． (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)√　(4)√ 二、教材改編 1．(log29)·(log34)＝(　　) A.　　　　　　 B. C．2 D．4 D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故選D.] 2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，則(　

5、　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b D　[因?yàn)?＜a＜1，b＜0，c＝log＝log2 3＞1.所以c＞a＞b.故選D.] 3．函數(shù)y＝的定義域是________． 　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1. ∴＜x≤1. ∴函數(shù)y＝的定義域是.] 4．函數(shù)y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的圖像恒過(guò)點(diǎn)________． (3,1)　[當(dāng)4－x＝1即x＝3時(shí)，y＝loga1＋1＝1. 所以函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)(3,1)．] (對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第28頁(yè)) ⊙考點(diǎn)1　對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值 　對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路 (1)拆：首

6、先利用冪的運(yùn)算把底數(shù)或真數(shù)進(jìn)行變形，化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，使冪的底數(shù)最簡(jiǎn)，然后利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)合并． (2)合：將對(duì)數(shù)式化為同底數(shù)對(duì)數(shù)的和、差、倍數(shù)運(yùn)算，然后逆用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪的運(yùn)算． 　1.設(shè)2a＝5b＝m，且＋＝2，則m等于(　　) A.　　　 B．10 C．20 D．100 A　[由已知，得a＝log2m，b＝log5m， 則＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2. 解得m＝.] 2．計(jì)算：lg －lg 25÷100＝________. －20　[原式＝(lg 2－2－lg 52)×100＝lg×10＝lg 10－2×10＝

7、－2×10＝－20.] 3．計(jì)算：＝________. 1　[原式＝ ＝ ＝＝＝＝1.] 4．已知log23＝a,3b＝7，則log2的值為_(kāi)_______． 　[由題意3b＝7，所以log3 7＝b. 所以log 2＝log ＝＝＝＝.] 　對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其推論．在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)時(shí)，必須保證恒等變形． ⊙考點(diǎn)2　對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用 　對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的識(shí)別及應(yīng)用方法 (1)在識(shí)別函數(shù)圖像時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)． (2)一些對(duì)數(shù)型

8、方程、不等式問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問(wèn)題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝，y＝loga (a＞0，且a≠1)的圖像可能是(　　) A　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　D (2)當(dāng)0＜x≤時(shí)，4x＜logax，則a的取值范圍是(　　) A． B. C．(1，) D．(，2) (1)D　(2)B　[(1)對(duì)于函數(shù)y＝loga，當(dāng)y＝0時(shí)，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的圖像恒過(guò)定點(diǎn)，排除選項(xiàng)A、C；函數(shù)y＝與y＝loga在各自定義域上單調(diào)性相反，排除選項(xiàng)B，故選D. (2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝l

9、ogax，當(dāng)a＞1時(shí)不滿足條件，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)在上的圖像，可知f＜g，即2＜loga，則a＞，所以a的取值范圍為.] [母題探究] 1．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋喝舨坏仁絰2－logax＜0對(duì)x∈恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　由x2－logax＜0得x2＜logax，設(shè)f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈時(shí)，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的圖像在f2(x)＝logax圖像的下方即可．當(dāng)a＞1時(shí)，顯然不成立； 當(dāng)0＜a＜1時(shí)，如圖所示． 要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有≤loga，解得a≥，所以≤a＜

10、1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，1). 2．(變條件)若本例(2)變?yōu)椋寒?dāng)0＜x≤時(shí)，＜logax，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　若＜logax在x∈(0，]成立，則0＜a＜1，且y＝的圖像在y＝logax圖像的下方，如圖所示， 由圖像知＜loga， 所以解得＜a＜1. 即實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 　1.(2019·合肥模擬)函數(shù)y＝ln(2－|x|)的大致圖像為(　　) A　　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　　D A　[令f(x)＝ln(2－|x|)，易知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|－2＜x＜2}，且f(－x)＝ln(2－|－x|)＝ln(2－|x|)＝

11、f(x)，所以函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除選項(xiàng)C，D. 當(dāng)x＝時(shí)，f＝ln ＜0，排除選項(xiàng)B，故選A.] 2．已知函數(shù)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，a≠1)的圖像如圖，則下列結(jié)論成立的是(　　) A．a(chǎn)＞1，c＞1 B．a(chǎn)＞1,0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1,0＜c＜1 D　[由對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換知0＜a＜1,0＜c＜1.] 3．設(shè)方程10x＝|lg(－x)|的兩個(gè)根分別為x1，x2，則(　　) A．x1x2＜0 B．x1x2＝0 C．x1x2＞1 D．0＜x1x2＜1 D　[作出y＝10x與y＝|lg(－x)|

12、的大致圖像，如圖． 顯然x1＜0，x2＜0. 不妨令x1＜x2，則x1＜－1＜x2＜0， 所以10＝lg(－x1)，10＝－lg(－x2)， 此時(shí)10＜10，即lg(－x1)＜－lg(－x2)， 由此得lg(x1x2)＜0，所以0＜x1x2＜1，故選D.] ⊙考點(diǎn)3　對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 　解與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題的三個(gè)關(guān)注點(diǎn) (1)定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論． (2)底數(shù)與1的大小關(guān)系． (3)復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的． 　比較大小 (1)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，則a

13、，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＜c＜b B．a(chǎn)＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b (2)已知a＝log2e，b＝ln 2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b (1)A　(2)D　[(1)因?yàn)閍＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，所以a＜c＜b，故選A. (2)因?yàn)閍＝log2e＞1，b＝ln 2∈(0,1)，c＝log＝log23＞log2e＞1，所以c＞a＞b，故選D.] 　對(duì)數(shù)值大小比較的主要方法 (1)化同底

14、數(shù)后利用函數(shù)的單調(diào)性． (2)化同真數(shù)后利用圖像比較． (3)借用中間量(0或1等)進(jìn)行估值比較． 　解簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式 (1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，則a的取值范圍是________． (1) ∪(1，＋∞)　(2) 　[(1)當(dāng)0＜a＜1時(shí)，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜； 當(dāng)a＞1時(shí)，loga＜logaa＝1，∴a＞1. ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是∪(1，＋∞)． (2)由題意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a， 又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1

15、， 同時(shí)2a＞1，所以a＞.綜上，a∈.] 　對(duì)于形如logaf(x)＞b的不等式，一般轉(zhuǎn)化為logaf(x)＞logaab，再根據(jù)底數(shù)的范圍轉(zhuǎn)化為f(x)＞ab或0＜f(x)＜ab.而對(duì)于形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，一般要轉(zhuǎn)化為同底的不等式來(lái)解． 　和對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù) 　解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題的步驟 　已知函數(shù)f(x)＝log4(ax2＋2x＋3)，若f(1)＝1，求f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　因?yàn)閒(1)＝1， 所以log4(a＋5)＝1， 因此a＋5＝4，a＝－1， 所以f(x)＝log4(－x2＋2x＋3)． 由－x2＋

16、2x＋3＞0，得－1＜x＜3， 函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－1,3)． 令g(x)＝－x2＋2x＋3， 則g(x)在(－1,1)上單調(diào)遞增，在(1,3)上單調(diào)遞減． 又y＝log4x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－1,1)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,3)． 　利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域、最值和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，必須弄清三方面的問(wèn)題：一是定義域，所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的，另外，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸思想的使用． 　1.已知a＝2，b＝l

17、og2，c＝log，則a，b，c的大小關(guān)系為(　　) A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．c＞a＞b D．c＞b＞a C　[0＜a＝2＜20＝1，b＝log2＜log21＝0，c＝log＝log23＞1，∴c＞a＞b.] 2．若定義在區(qū)間(－1,0)內(nèi)的函數(shù)f(x)＝log2a(x＋1)滿足f(x)＞0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(0，＋∞) A　[∵－1＜x＜0，∴0＜x＋1＜1.又∵f(x)＞0，∴0＜2a＜1，∴0＜a＜.] 3．已知a＞0，若函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________． 　[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上單調(diào)遞增， 則y＝ax2－x在[3,4]上單調(diào)遞增， 且y＝ax2－x＞0恒成立， 即解得a＞.] - 9 -