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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 12.7 條件概率與事件的獨(dú)立性教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　條件概率的求法 【例1】一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0~9中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求： (1)任意按最后一位數(shù)字，不超過2次就按對(duì)的概率； (2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過2次就按對(duì)的概率. 【解析】設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai(i＝1,2)，則A＝A1∪(A2)表示不超過2次就按對(duì)密碼. (1)因?yàn)槭录嗀1與事件A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. (2)用B表示最后一位

2、是偶數(shù)的事件，則 P(A|B)＝P(A1|B)＋P(A2|B)＝＋＝. 【點(diǎn)撥】此類問題解題時(shí)應(yīng)注意著重分析事件間的關(guān)系，辨析所求概率是哪一事件的概率，再運(yùn)用相應(yīng)的公式求解. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)某種動(dòng)物從出生算起活到20歲以上的概率為0.8，活到25歲以上的概率為0.4.現(xiàn)有一只20歲的這種動(dòng)物，問它能活到25歲以上的概率是　　　. 【解析】設(shè)此種動(dòng)物活到20歲為事件A，活到25歲為事件B，所求概率為P(B|A)， 由于B?A，則P(AB)＝P(B)，所以P(B|A)＝＝＝＝. 題型二　相互獨(dú)立事件的概率 【例2】三人獨(dú)立破譯同一份密碼，已知三人各自破譯出密碼的概率分別為，，，且他們

3、是否破譯出密碼互不影響. (1)求恰有二人破譯出密碼的概率； (2)“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個(gè)大？說明理由. 【解析】(1)記三人各自破譯出密碼分別為事件A，B，C，依題意知A，B，C相互獨(dú)立，記事件D：恰有二人破譯密碼， 則P(D)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC) ＝××(1－)＋×(1－)×＋(1－)××＝＝. (2)記事件E：密碼被破譯，：密碼未被破譯， 則P()＝P()＝(1－)×(1－)×(1－)＝＝， 所以P(E)＝1－P()＝，所以P(E)＞P(). 故密碼被破譯的概率大. 【點(diǎn)撥】解決事件的概率問題的一般步驟：①記取事件；②揭示事件的關(guān)系

4、；③計(jì)算事件的概率. 【變式訓(xùn)練2】甲、乙、丙三個(gè)口袋內(nèi)都分別裝有6個(gè)只有顏色不相同的球，并且每個(gè)口袋內(nèi)的6個(gè)球均有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球，3個(gè)無色透明的球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)口袋中依次隨機(jī)各摸出1個(gè)球，求恰好摸出紅球、黑球和無色球各1個(gè)的概率. 【解析】由于各個(gè)袋中球的情況一樣，而且從每一個(gè)袋中摸出紅球、黑球、無色球的概率均分別為，，，可得P＝A×××＝. 題型三　綜合問題 【例3】某公司招聘員工，指定三門考試課程，有兩種考試方案. 方案一：三門課程中至少有兩門及格為考試通過； 方案二：在三門課程中隨機(jī)選取兩門，這兩門都及格為考試通過. 假設(shè)某應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的概率分別

5、是a，b，c，且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響. (1)分別求該應(yīng)聘者在方案一和方案二下考試通過的概率； (2)試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由. 【解析】記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為A，B，C，則P(A)＝a，P(B)＝b，P(C)＝c. (1)應(yīng)聘者在方案一下考試通過的概率 P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC) ＝ab(1－c)＋bc(1－a)＋ac(1－b)＋abc ＝ab＋bc＋ca－2abc. 應(yīng)聘者在方案二下考試通過的概率 P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝(ab＋bc＋ca). (2

6、)由a，b，c∈[0,1]，則 P1－P2＝(ab＋bc＋ca)－2abc＝[ab(1－c)＋bc(1－a)＋ca(1－b)]≥0， 故P1≥P2，即采用第一種方案，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大. 【點(diǎn)撥】本題首先以相互獨(dú)立事件為背景，考查兩種方案的概率，然后比較概率的大小，要求運(yùn)用a，b，c∈[0,1]這一隱含條件. 【變式訓(xùn)練3】甲，乙，丙三人分別獨(dú)立地進(jìn)行某項(xiàng)體能測(cè)試，已知甲能通過測(cè)試的概率是，甲，乙，丙三人都能通過測(cè)試的概率是，甲，乙，丙三人都不能通過測(cè)試的概率是，且乙通過的概率比丙大. (1)求乙，丙兩人各自通過測(cè)試的概率分別是多少？ (2)測(cè)試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)幾人通過的

7、情況？ 【解析】(1)設(shè)乙、丙兩人各自通過的概率分別為x，y，依題意得 即或 (舍去)， 所以乙、丙兩人各自通過的概率分別為，. (2)因?yàn)槿硕疾荒芡ㄟ^測(cè)試的概率為P0＝， 三人都能通過測(cè)試的概率為P3＝＝， 三人中恰有一人通過測(cè)試的概率： P1＝×(1－)×(1－)＋(1－)××(1－)＋(1－)×(1－)×＝＝， 三人恰有兩人通過測(cè)試的概率： P2＝1－(P0＋P1＋P3)＝， 所以測(cè)試結(jié)束后，最容易出現(xiàn)兩人通過的情況. 總結(jié)提高 1.互斥事件、對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的區(qū)別： 對(duì)于事件A、B，在一次試驗(yàn)中，A、B如果不能同時(shí)發(fā)生，則稱A、B互斥.一次試驗(yàn)中，如果

8、A、B互斥且A、B中必有一個(gè)發(fā)生，則稱A、B對(duì)立.顯然，A＋為必然事件，A、B互斥則不能同時(shí)發(fā)生，但可能同時(shí)不發(fā)生.兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件的發(fā)生的概率沒有影響.事實(shí)上： A、B互斥，則P(AB)＝0； A、B對(duì)立，則P(AB)＝0且P(A)＋P(B)＝1； A、B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B). 它們是不相同的. 2.由于當(dāng)事件A、B相互獨(dú)立時(shí)，P(AB)＝P(A)P(B)，因此式子1－P(A)P(B)表示相互獨(dú)立事件A、B中至少有一個(gè)不發(fā)生的概率.對(duì)于n個(gè)隨機(jī)事件A1，A2，…，An，有 P(A1＋A2＋…＋An)＝1－P(∩∩…∩)，此稱為概率的和與積的互補(bǔ)公式.