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2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析)

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1、2022年高三數(shù)學(xué)12月月考試題 理(含解析) 【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷,以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體,以能力測(cè)試為主導(dǎo),在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí),突出考查考綱要求的基本能力,重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí),兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查:不等式、函數(shù)的性質(zhì)及圖象、三角函數(shù)、解三角形、數(shù)列、平面向量、立體幾何、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、概率、二項(xiàng)式定理、充分必要條件、復(fù)數(shù)、程序框圖等;考查學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的綜合能力,是份較好的試卷. 第I卷 【題文】一、選擇題(本大題10個(gè)小題,每題5分,共50分,請(qǐng)將答案涂在答題卷上) 【題文】1.已知是虛數(shù)單位,則= (

2、 ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算L4 【答案】【解析】B 解析:因?yàn)?,所以選B. 【思路點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是常考知識(shí)點(diǎn)之一,熟練掌握復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算是本題解題的關(guān)鍵. 【題文】2.已知,,則“”是“”的( ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 【知識(shí)點(diǎn)】充分、必要條件A2 【答案】【解析】A 解析:若x+y=1,當(dāng)x,y異號(hào)或有一個(gè)為0時(shí),顯然有,當(dāng)x,y同號(hào)時(shí),則x,y只能都為正數(shù),此時(shí)1=x+y,得,所以

3、對(duì)于滿足x+y=1的任意實(shí)數(shù)x,y都有,則充分性成立,若,不妨取x=4,y=0.001,此時(shí)x+y=1不成立,所以必要性不成立,綜上可知選A. 【思路點(diǎn)撥】一般判斷充分、必要條件時(shí),可先分清命題的條件與結(jié)論,若從條件能推出結(jié)論,則充分性滿足,若從結(jié)論能推出條件,則必要性滿足. 【題文】3. 若的展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為280,則= ( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】二項(xiàng)式定理J3 【答案】【解析】C 解析:因?yàn)?,?-2r=1,得r=3,所以,解得a=,則選C. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到展開(kāi)式的項(xiàng)或項(xiàng)的系數(shù)問(wèn)題,通常利用展開(kāi)式

4、的通項(xiàng)公式解答. 【題文】4.已知函數(shù) ,若 是 的導(dǎo)函數(shù),則函數(shù) 在原點(diǎn)附近的圖象大致是( ) A B C D 【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,函數(shù)的圖像B8 B11 【答案】【解析】A 解析:因?yàn)?,所以函?shù)在R上單調(diào)遞增,則選A. 【思路點(diǎn)撥】一般判斷函數(shù)的圖像,可結(jié)合函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性及特殊位置的函數(shù)值或函數(shù)值的符號(hào)等進(jìn)行判斷. 【題文】5.某幾何體是由直三棱柱與圓錐的組合體,其直觀圖和三視圖如圖所示,正視圖為正方形,其中俯視圖中

5、橢圓的離心率為 A. B. C. D. (第5題) 【知識(shí)點(diǎn)】三視圖 橢圓的性質(zhì)G2 H5 【答案】【解析】D 解析:設(shè)正視圖中正方形的邊長(zhǎng)為2b,由三視圖可知,俯視圖中的矩形一邊長(zhǎng)為2b,另一邊長(zhǎng)為圓錐底面直徑,即為正視圖中的對(duì)角線長(zhǎng),計(jì)算得,所以,則選D. 【思路點(diǎn)撥】由三視圖解答幾何問(wèn)題,注意三視圖與原幾何體的長(zhǎng)寬高的對(duì)應(yīng)關(guān)系,求橢圓的離心率,抓住其定義尋求a,b,c關(guān)系即可解答. 【題文】6.在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為且,則的值為( ) A. B. C.

6、 D. 【知識(shí)點(diǎn)】解三角形C8 【答案】【解析】A 解析:由得,又A為三角形內(nèi)角,所以A=120°,則,所以選A. 【思路點(diǎn)撥】在解三角形中,若遇到邊角混合條件,通常先利用正弦定理或余弦定理轉(zhuǎn)化為單一的角的關(guān)系或單一的邊的關(guān)系,再進(jìn)行解答. 【題文】7.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S10:S5=1:2,則 ( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列D3 【答案】【解析】B 解析:因?yàn)镾10:S5=1:2,所以,由等比數(shù)列的性質(zhì)得成

7、等比數(shù)列,所以,得,所以,則選B. 【思路點(diǎn)撥】在等比數(shù)列中,若遇到等距的和時(shí),可考慮利用等比數(shù)列的性質(zhì)成等比數(shù)列進(jìn)行解答.. 【題文】8.已知x,y滿足則的取值范圍是 ( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃E5 【答案】【解析】C 解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖,因?yàn)?,而為區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)(4,2)連線的斜率,顯然斜率的最小值為0,點(diǎn)(-3,-4)與點(diǎn)(4,2)連線的斜率最大為,所以的取值范圍為,則選C. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到由兩個(gè)變量滿足的不等式組求范圍問(wèn)題,通常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義

8、,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答. 【題文】9.已知橢圓C:,點(diǎn)為其長(zhǎng)軸的6等分點(diǎn),分別過(guò)這五點(diǎn)作斜率為的一組平行線,交橢圓C于,則直線這10條直線的斜率乘積為 ( ) A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 橢圓的性質(zhì)H5 【答案】【解析】B 解析:由橢圓的性質(zhì)可得,由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得,同理可得,則直線這10條直線的斜率乘積為,所以選B. . 【思路點(diǎn)撥】抓住橢圓上的點(diǎn)與長(zhǎng)軸端點(diǎn)的連線的斜率為定值是本題的關(guān)鍵. 【題文】10.已知為線段上一點(diǎn),為直線外一點(diǎn),為上一點(diǎn),滿足,,,且,則的值為( ) A.

9、 B. 3 C. 4 D. 【知識(shí)點(diǎn)】向量的數(shù)量積F3 【答案】【解析】B 解析:,而,,, 又,即, 所以I在∠BAP的角平分線上,由此得I是△ABP的內(nèi)心,過(guò)I作IH⊥AB于H,I為圓心,IH為半徑,作△PAB的內(nèi)切圓,如圖,分別切PA,PB于E、F,, ,, 在直角三角形BIH中,,所以,所以選B . 【思路點(diǎn)撥】理解向量是與向量共線同向的單位向量即可確定I的位置,再利用向量的減法及數(shù)量積計(jì)算公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解. 第Ⅱ卷 【題文】二.填空題(本大題5個(gè)小題,每題5分,共25分,請(qǐng)把答案

10、填在答題卷上) 【題文】11.若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的值為   ?。? 【知識(shí)點(diǎn)】程序框圖L1 【答案】【解析】 解析:第一次執(zhí)行循環(huán)體得s=1,i=2; 第二次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=3; 第三次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=4; 第四次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=5; 第五次執(zhí)行循環(huán)體得s=,i=6; 第六次執(zhí)行循環(huán)體得s= 此時(shí)不滿足判斷框跳出循環(huán),所以輸出的值為.. 【思路點(diǎn)撥】一般遇到循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問(wèn)題,當(dāng)運(yùn)行次數(shù)較少時(shí)就能達(dá)到目的,可依次執(zhí)行循環(huán)體,直到跳出循環(huán),若運(yùn)行次數(shù)較多時(shí),可結(jié)合數(shù)列知識(shí)進(jìn)行解答. . (第11題) 【

11、題文】12.若非零向量,滿足,, 則   . 【知識(shí)點(diǎn)】向量的模,向量垂直的充要條件F3 【答案】【解析】2 解析:由得,由得,解得. 【思路點(diǎn)撥】由向量的模的關(guān)系尋求向量的關(guān)系,通常利用性質(zhì):向量的模的平方等于向量的平方進(jìn)行轉(zhuǎn)化. 【題文】13.已知函數(shù)的最大值為1, 則   ?。? 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的性質(zhì)C3 【答案】【解析】0或 解析:因?yàn)榈淖畲笾禐?,所以,解得a=0或. 【思路點(diǎn)撥】研究三角函數(shù)的性質(zhì),一般先化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答,本意注意應(yīng)用asinx+bcosx的最值的結(jié)論進(jìn)行作答. 【題文】14.過(guò)點(diǎn)作圓的弦, 其中

12、弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有 條。 【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程H3 【答案】【解析】32 解析:由題意可知過(guò)點(diǎn)的最短的弦長(zhǎng)為10,最長(zhǎng)的弦長(zhǎng)為26,所以共有弦長(zhǎng)為整數(shù)有2+2×(26-10-1)=32. 【思路點(diǎn)撥】可先求出弦長(zhǎng)的范圍,弦與點(diǎn)A與圓心連線垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短,弦過(guò)圓心時(shí)弦長(zhǎng)為圓的直徑,此時(shí)長(zhǎng)度最大,取得最值的兩個(gè)位置只有一條,中間的整數(shù)值都有兩條. 【題文】15.已知兩個(gè)正數(shù),可按規(guī)律推廣為一個(gè)新數(shù),在三個(gè)數(shù)中取兩個(gè)較大的數(shù),按上述規(guī)則擴(kuò)充到一個(gè)新數(shù),依次下去,將每擴(kuò)充一次得到一個(gè)新數(shù)稱(chēng)為一次操作。若,經(jīng)過(guò)五次操作后擴(kuò)充得到的數(shù)為為正整數(shù)),則 【

13、知識(shí)點(diǎn)】歸納推理M1 【答案】【解析】13 解析:因?yàn)閜>q>0 第一次得:c1=pq+p+q=(q+1)(p+1)-1,因?yàn)閏>p>q,所以第二次得:c2=(c1+1)(p+1)-1=(pq+p+q)p+p+(pq+p+q)=(p+1)2(q+1)-1,所得新數(shù)大于任意舊數(shù),所以第三次可得c3=(c2+1)(c1+1)-1=(p+1)3(q+1)2-1,第四次可得:c4=(c3+1)(c2-1)-1=(p+1)5(q+1)3-1,故經(jīng)過(guò)5次擴(kuò)充,所得數(shù)為:(q+1)8(p+1)5-1,∴m=8,n=5,則13. 【思路點(diǎn)撥】可通過(guò)逐步擴(kuò)充發(fā)現(xiàn)每次擴(kuò)充得到的數(shù)的規(guī)律,即可解答.

14、【題文】三.解答題(本大題6個(gè)小題,共75分,請(qǐng)把答案填在答題卷上) 【題文】16.(本題滿分12分)一個(gè)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè),從中任取2個(gè)球,記隨機(jī)變量為取出2球中白球的個(gè)數(shù),已知. (Ⅰ)求袋中白球的個(gè)數(shù); (Ⅱ)求隨機(jī)變量的分布列及其數(shù)學(xué)期望. 【知識(shí)點(diǎn)】古典概型 離散型隨機(jī)變量及其分布列K2 K6 【答案】【解析】(Ⅰ)6;(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)設(shè)袋中有白球n個(gè),則, 解得n=6. (Ⅱ)因?yàn)?所以隨機(jī)變量X的分布列如下: X 0 1 2 P 得 . 【思路點(diǎn)撥】一般遇到求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望,通常先確定隨機(jī)變量的取值,再計(jì)算

15、各個(gè)取值的概率,即可列表得分布列,用公式求期望. 【題文】17、(本小題滿分12分)已知函數(shù)。 (1)若,求函數(shù)的最大值和最小值,并寫(xiě)出相應(yīng)的x的值; (2)設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,滿足且, 求的值。 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)性質(zhì),解三角形C3 C8 【答案】【解析】(1)時(shí)函數(shù)得最小值為;(2)a=1,b=2. 解析:(1),因?yàn)?,所以,則當(dāng)時(shí),函數(shù)得最大值為0,當(dāng)時(shí)函數(shù)得最小值為; (2)因?yàn)閒(C)=sin(2C-)-1=0,則sin(2C-)=1, ∵0<C<π,∴0<2C>2π,∴<2C-<,∴2C-=,∴C=,∵sinB=2sinA,∴由正弦定理得b=2a ①,由

16、余弦定理得c2=a2+b2-ab=3 ②,由①②解得:a=1,b=2. 【思路點(diǎn)撥】一般研究三角函數(shù)的性質(zhì),通常先利用公式把函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)再進(jìn)行解答,在解三角形時(shí),注意利用正弦定理和余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化和求值. 【題文】18.(本題滿分12分)如圖,在四棱錐中,四邊形是正方形,,,分別為的中點(diǎn). (Ⅰ)求證:平面平面; (Ⅱ)求二面角的平面角的大小. (第18題) 【知識(shí)點(diǎn)】平行關(guān)系 二面角G4 G11 【答案】【解析】(Ⅰ) 略;(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以, 又因?yàn)槭钦叫?,所以,所以平面. 因?yàn)榉謩e為中點(diǎn),所以,所以平面. 所以平面

17、平面. (Ⅱ)法1.易知,又,故平面 分別以為軸和軸,建立空間直角坐標(biāo)系(如圖) 不妨設(shè) 則, 所以 設(shè)是平面的法向量,則 所以取,即 設(shè)是平面的法向量,則 所以取 設(shè)二面角的平面角的大小為 所以,二面角的平面角的大小為. 法2. 取中點(diǎn),聯(lián)結(jié)則,又平面,,所以平面,所以平面,所以,. 因?yàn)?則,所以 平面. 又因?yàn)?所以 所以就是二面角的平面角的補(bǔ)角. 不妨設(shè),則 ,,. 所以二面角的平面角的大小為. 【思路點(diǎn)撥】證明面面平行一般利用面面平行的判定定理進(jìn)行證明,求二面角可以建立適當(dāng)坐標(biāo)系利用平面的法向量求解,也可以尋求二面角的

18、平面角求解. 【題文】19.(本題滿分12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且. (Ⅰ)求; (Ⅱ)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)列的通項(xiàng)公式,數(shù)列求和D1 D4 【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ) 解析:(Ⅰ)時(shí), 所以 (Ⅱ) . 【思路點(diǎn)撥】一般遇到數(shù)列求和問(wèn)題,通常先求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再結(jié)合通項(xiàng)公式特征確定求和思路. 【題文】20.(本題滿分13分) 已知橢圓:的左焦點(diǎn),離心率為, (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)設(shè),,過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn),求的最小值,并求此時(shí)的的值.

19、【知識(shí)點(diǎn)】橢圓,直線與橢圓位置關(guān)系H5 H8 【答案】【解析】(Ⅰ);(Ⅱ)最小值為,此時(shí). 解析:(Ⅰ),由得,橢圓方程為 (Ⅱ)若直線斜率不存在,則= 設(shè)直線, 由得 所以 故的最小值為,此時(shí). 【思路點(diǎn)撥】在圓錐曲線與向量的綜合應(yīng)用中,出現(xiàn)向量關(guān)系,一般把向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系,再通過(guò)聯(lián)立方程,利用韋達(dá)定理轉(zhuǎn)化為系數(shù)關(guān)系進(jìn)行解答. 【題文】21、(本小題滿分14分)已知二次函數(shù),關(guān)于的不等式的解集為,其中為非零常數(shù),設(shè)。 (1)求的值; (2)如何取值時(shí),函數(shù)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn)。 (3)若,且,求證:。 【知識(shí)點(diǎn)】一

20、元二次不等式 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 二項(xiàng)式定理 基本不等式E3 E6 B12 J3 【答案】【解析】(1)-2;(2)當(dāng)m>0時(shí),k取任意實(shí)數(shù),函數(shù)φ(x)有極小值點(diǎn)x2;當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)φ(x)有極小值點(diǎn)x2,有極大值點(diǎn)x1. (其中);(3)略 解析:(1)∵關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),即不等式x2+(a+1-2m)x+m2+m<0的解集為(m,m+1),∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=(x-m)(x-m-1).∴x2+(a+1-2m)x+m2+m=x2-(2m+1)x+m(m+1).∴a+1-2m=-(2m+1).∴a=-2. (2)

21、由(1)得 . ∴φ(x)=g(x)-kln(x-1)=-kln(x-1)的定義域?yàn)椋?,+∞).∴. 方程x2-(2+k)x+k-m+1=0(*)的判別式△=(2+k)2-4(k-m+1)=k2+4m, 當(dāng)m>0時(shí),△>0,方程(*)的兩個(gè)實(shí)根為,則x∈(1,x2)時(shí),;x∈(x2,+∞)時(shí),.∴函數(shù)φ(x)在(1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.∴函數(shù)φ(x)有極小值點(diǎn)x2, 當(dāng)m<0時(shí),由△>0,得或,若,則,故x∈(1,+∞)時(shí),,∴函數(shù)φ(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增.∴函數(shù)φ(x)沒(méi)有極值點(diǎn).若時(shí),,則x∈(1,x1)時(shí),; x∈(x1,x2)時(shí),;x∈(x

22、2,+∞)時(shí),.∴函數(shù)φ(x)在(1,x1)上單調(diào)遞增,在(x1,x2)上單調(diào)遞減,在(x2,+∞)上單調(diào)遞增.∴函數(shù)φ(x)有極小值點(diǎn)x2,有極大值點(diǎn)x1. 綜上所述,當(dāng)m>0時(shí),k取任意實(shí)數(shù),函數(shù)φ(x)有極小值點(diǎn)x2;當(dāng)m<0時(shí),函數(shù)φ(x)有極小值點(diǎn)x2,有極大值點(diǎn)x1. (其中) (3)證明:∵m=1,∴g(x)=. ∴ = = ,令T=,則T= ,∵x>0, ∴2T=≥ ==2(2n-2). ∴T≥2n-2,即[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2. 【思路點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)、一元二次不等式、一元二次方程、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、均值不等式等,其中利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)應(yīng)注意在其定義域內(nèi)解答,對(duì)于第三問(wèn)也可以用數(shù)學(xué)歸納法證明.

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