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1、2022年高中數(shù)學(xué) 專題突破四 集合簡易邏輯教案 北師大版必修1 一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)： 二、考點(diǎn)回顧 1、集合的含義及其表示法，子集，全集與補(bǔ)集，子集與并集的定義； 2、集合與其它知識(shí)的聯(lián)系，如一元二次不等式、函數(shù)的定義域、值域等； 3、邏輯聯(lián)結(jié)詞的含義，四種命題之間的轉(zhuǎn)化，了解反證法； 4、含全稱量詞與存在量詞的命題的轉(zhuǎn)化，并會(huì)判斷真假，能寫出一個(gè)命題的否定； 5、充分條件，必要條件及充要條件的意義，能判斷兩個(gè)命題的充要關(guān)系； 6、學(xué)會(huì)用定義解題，理解數(shù)形結(jié)合，分類討論及等價(jià)變換等思想方法。 三、經(jīng)典例題剖析 考點(diǎn)

2、1、集合的概念 1、集合的概念： （1） 集合中元素特征，確定性，互異性，無序性； （2） 集合的分類： ① 按元素個(gè)數(shù)分：有限集，無限集； ②按元素特征分；數(shù)集，點(diǎn)集。如數(shù)集{y|y=x2}，表示非負(fù)實(shí)數(shù)集，點(diǎn)集{(x，y)|y=x2}表示開口向上，以y軸為對(duì)稱軸的拋物線； （3） 集合的表示法： ①列舉法：用來表示有限集或具有顯著規(guī)律的無限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。 2、兩類關(guān)系： （1） 元素與集合的關(guān)系，用或表示； （2）集合與集合的關(guān)系，用，，=表示，當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的子集；當(dāng)AB時(shí)，稱A是B的真子集。 3、解答集合問

3、題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對(duì)于用描述法給出的集合{x|x∈P},要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題 4、注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時(shí)，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A≠兩種可能，此時(shí)應(yīng)分類討論 例1、下面四個(gè)命題正確的是 （A）10以內(nèi)的質(zhì)數(shù)集合是{1，3，5，7}　?。˙）方程x2－4x＋4＝0的解集是{2，2} （C）0與{0}表示同一個(gè)集合　（D）由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1} 解：選（D），最小的質(zhì)數(shù)是2，不是1，

4、故（A）錯(cuò)；由集合的定義可知（B）（C）都錯(cuò)。 例2、已知集合A＝－1，3，2－1，集合B＝3，．若BA，則實(shí)數(shù)＝ ． 解：由BA，且不可能等于－1，可知＝2－1，解得：＝1。 考點(diǎn)2、集合的運(yùn)算 1、交，并，補(bǔ)，定義：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集； 2、運(yùn)算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）， CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。 3、學(xué)會(huì)畫Venn圖，并會(huì)用Venn圖來解決問題。 例3、設(shè)集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝

5、{x|－3＜x＜2}，則AB等于（ ） 圖1 (A) {x|－3＜x＜1} (B) {x|1＜x＜2} (C)｛x|x>－3｝ (D) ｛x|x<1｝ 解：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝｛x|x<1｝，集合A和集合B在數(shù)軸上表示如圖1所示，AB是指集合A和集合B的公共部分，故選（A）。 圖2 例4、經(jīng)統(tǒng)計(jì)知，某村有電話的家庭有35家,有農(nóng)用三輪車的家庭有65家,既有電話又有農(nóng)用三輪車的家庭有20家，則電話和農(nóng)用三輪車至少有一種的家庭數(shù)為 ( ) A. 60 B. 70

6、C. 80 D. 90 解：畫出Venn圖，如圖2，畫圖可得到有一種物品的家庭數(shù)為：15+20+45=80.故選（C）。 例5、（xx廣東卷）第二十九屆夏季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)將于2008年8月8日在北京舉行，若集合A={參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的運(yùn)動(dòng)員}，集合B={參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的男運(yùn)動(dòng)員}。集合C={參加北京奧運(yùn)會(huì)比賽的女運(yùn)動(dòng)員}，則下列關(guān)系正確的是（　　） A.AB????? B.BC C.A∩B=C D.B∪C=A 解：由題意可知，應(yīng)選（D）。 考點(diǎn)3、邏輯聯(lián)結(jié)詞與四種命題 1、命題分類：真命題與假命

7、題，簡單命題與復(fù)合命題； 2、復(fù)合命題的形式：p且q，p或q，非p； 3、復(fù)合命題的真假：對(duì)p且q而言，當(dāng)q、p為真時(shí)，其為真；當(dāng)p、q中有一個(gè)為假時(shí)，其為假。對(duì)p或q而言，當(dāng)p、q均為假時(shí)，其為假；當(dāng)p、q中有一個(gè)為真時(shí)，其為真；當(dāng)p為真時(shí)，非p為假；當(dāng)p為假時(shí)，非p為真。 4、四種命題：記“若q則p”為原命題，則否命題為“若非p則非q”，逆命題為“若q則p“，逆否命題為”若非q則非p“。其中互為逆否的兩個(gè)命題同真假，即等價(jià)。因此，四種命題為真的個(gè)數(shù)只能是偶數(shù)個(gè)。 例6、（xx廣東高考）命題“若函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，則”的逆否命題是（ ） A、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不

8、是減函數(shù) B、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)不是減函數(shù) C、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù) D、若，則函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù) 解：逆否命題是將原命題的結(jié)論的否定作為條件，原命題的條件的否定作為結(jié)論，故應(yīng)選（A）。 例7、已知命題方程有兩個(gè)不相等的負(fù)數(shù)根；方程無實(shí)根．若“或”為真，“且”為假，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 解：． ， ． 或?yàn)檎?，且為假? 真，假或假，真． 或，故或． 考點(diǎn)4、全稱量詞與存在量詞 1．全稱量詞與存在量詞 （1）全稱量詞：對(duì)應(yīng)日常語言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任給”、“對(duì)每一個(gè)”等詞，用符號(hào)“”表示。 （2）存在量詞：對(duì)應(yīng)日常語

9、言中的“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”、“有個(gè)”、“某個(gè)”、“有些”、“有的”等詞，用符號(hào)“”表示。 2．全稱命題與特稱命題 （1）全稱命題：含有全稱量詞的命題?！皩?duì)xM，有p（x）成立”簡記成“xM，p（x）”。 （2）特稱命題：含有存在量詞的命題?！皒M，有p（x）成立” 簡記成“xM，p（x）”。3． 同一個(gè)全稱命題、特稱命題，由于自然語言的不同，可以有不同的表述方法，現(xiàn)列表如下，供參考。 1) 命題 2) 全稱命題xM，p（x） 3) 特稱命題xM，p（x） 4) 5) 表述 6) 方法 7) ①所有的xM，使p（x）成立 8) ①存在xM，使p（x）成立 9) ②

10、對(duì)一切xM，使p（x）成立 10) ②至少有一個(gè)xM，使p（x）成立 11) ③對(duì)每一個(gè)xM，使p（x）成立 12) ③對(duì)有些xM，使p（x）成立 13) ④任給一個(gè)xM，使p（x）成立 14) ④對(duì)某個(gè)xM，使p（x）成立 15) ⑤若xM，則p（x）成立 16) ⑤有一個(gè)xM，使p（x）成立 4．常見詞語的否定如下表所示： 17) 詞語 18) 是 19) 一定是 20) 都是 21) 大于 22) 小于 23) 詞語的否定 24) 不是 25) 一定不是 26) 不都是 27) 小于或等于 28) 大于或等于 29) 詞語 30) 且 31)

11、 必有一個(gè) 32) 至少有n個(gè) 33) 至多有一個(gè) 34) 所有x成立 35) 詞語的否定 36) 或 37) 一個(gè)也沒有 38) 至多有n-1個(gè) 39) 至少有兩個(gè) 40) 存在一個(gè)x不成立 例8、（xx山東）命題“對(duì)任意的”的否定是（ ） A.不存在 B.存在 C.存在 D. 對(duì)任意的 解：命題的否定與否命題不同，命題的否定是將全稱量詞改為特稱量詞，或?qū)⑻胤Q量詞改為全稱量詞，再否定結(jié)論即可，故選（C）。 例9、命題“，有”的否定是 ． 解：將“存在”改為“任意”，再否定結(jié)論，注意存在與任意的數(shù)學(xué)符號(hào)表示法，答案： 考點(diǎn)5、充分

12、條件與必要條件 1、定義：對(duì)命題“若p則q”而言，當(dāng)它是真命題時(shí)，p是q的充分條件，q是p的必要條件，當(dāng)它的逆命題為真時(shí)，q是p的充分條件，p是q的必要條件，兩種命題均為真時(shí)，稱p是q的充要條件； 2、在判斷充分條件及必要條件時(shí)，首先要分清哪個(gè)命題是條件，哪個(gè)命題是結(jié)論，其次，結(jié)論要分四種情況說明：充分不必要條件，必要不充分條件，充分且必要條件，既不充分又不必要條件。從集合角度看，若記滿足條件p的所有對(duì)象組成集合A，滿足條件q的所有對(duì)象組成集合q，則當(dāng)AB時(shí)，p是q的充分條件。BA時(shí)，p是q的充分條件。A=B時(shí)，p是q的充要條件； 3、當(dāng)p和q互為充要時(shí)，體現(xiàn)了命題等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想。 4

13、、.要理解“充分條件”“必要條件”的概念，當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假 5、要理解“充要條件”的概念，對(duì)于符號(hào)“”要熟悉它的各種同義詞語“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“……，反之也真”等 6、.數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì)7、從集合觀點(diǎn)看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件 8、證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性)

14、. 例10、（xx安徽卷）是方程至少有一個(gè)負(fù)數(shù)根的（ ） A．必要不充分條件 B．充分不必要條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解：當(dāng)，得a<1時(shí)方程有根。a<0時(shí)，，方程有負(fù)根，又a=1時(shí)，方程根為，所以選（B）。 例11、（xx湖北卷）若集合,則：（　?。? A. 是的充分條件，不是的必要條件 B. 不是的充分條件，是的必要條件 C是的充分條件，又是的必要條件. D.既不是的充分條件，又不是的必要條件 解：反之不然故選A 四、方法總結(jié)與xx年高考預(yù)測(cè) （一）思想方法總結(jié) 1. 數(shù)形結(jié)合 2. 分類討論

15、（二）xx年高考預(yù)測(cè) 1．集合是每年高考必考的知識(shí)點(diǎn)之一。題型一般是選擇和填空的形式，主要考查集合的運(yùn)算和求有限集合的子集及其個(gè)數(shù)． 2．簡易邏輯是一個(gè)新增內(nèi)容，據(jù)其內(nèi)容的特點(diǎn)，在高考中應(yīng)一般在選擇題、填空題中出現(xiàn)，如果在解答題中出現(xiàn)，則只會(huì)是中低檔題． 3．集合、簡易邏輯知識(shí)，作為一種數(shù)學(xué)工具，在函數(shù)、方程、不等式、排列組合及曲線與方程等方面都有廣泛的運(yùn)用，高考題中常以上面內(nèi)容為載體，以集合的語言為表現(xiàn)形式，結(jié)合簡易邏輯知識(shí)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)能力，題型常以解答題的形式出現(xiàn)． 五、復(fù)習(xí)建議 1．在復(fù)習(xí)中首先把握基礎(chǔ)性知識(shí)，深刻理解本單元的基本知識(shí)點(diǎn)、基本數(shù)學(xué)思

16、想和基本數(shù)學(xué)方法．重點(diǎn)掌握集合、充分條件與必要條件的概念和運(yùn)算方法．要真正掌握數(shù)形結(jié)合思想——用文氏圖解題． 2．涉及本單元知識(shí)點(diǎn)的高考題，綜合性大題不多．所以在復(fù)習(xí)中不宜做過多過高的要求，只要靈活掌握小型綜合題型(如集合與映射，集合與自然數(shù)集，集合與不等式，集合與方程等，充分條件與必要條件與三角、立幾、解幾中的知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合等) 映射的概念以選擇題型出現(xiàn)，難度不大。就可以了 3．活用“定義法”解題。定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn)。利用定義，可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足映射或函數(shù)的條件，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等。 4．重視“數(shù)形結(jié)

17、合”滲透?！皵?shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”。當(dāng)你所研究的問題較為抽象時(shí)，當(dāng)你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無章的條件感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議便是：畫個(gè)圖!利用圖形的直觀性，可迅速地破解問題，乃至最終解決問題。 5．實(shí)施“定義域優(yōu)先”原則。函數(shù)的定義域是函數(shù)最基本的組成部分，任何對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究都離不開函數(shù)的定義域。例如，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，必須在定義域范圍內(nèi)；通過求出反函數(shù)的定義域，可得到原函數(shù)的值域；定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件。為此，應(yīng)熟練掌握求函數(shù)定義域的原則與方法，并貫徹到解題中去。 6．強(qiáng)化“分類思想”應(yīng)用。指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)均與其底數(shù)是否大于1有關(guān)；對(duì)于根式的意義及其性質(zhì)的討論要分清n是奇數(shù)還是偶數(shù)等。