3、xx浙江溫州市第二次適應(yīng)測(cè)試)若實(shí)數(shù)x,y滿足不等式組且z=y-2x的最小值等于-2,則實(shí)數(shù)m的值等于( A )
(A)-1 (B)1 (C)-2 (D)2
解析:由z=y-2x,得y=2x+z,
作出不等式對(duì)應(yīng)的可行域,平移直線y=2x+z,
由平移可知當(dāng)直線y=2x+z經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),直線y=2x+z的截距最小,此時(shí)z取得最小值為-2,
即y-2x=-2,
由
解得
即A(1,0),
點(diǎn)A也在直線x+y+m=0上,
則m=-1.
故選A.
6.(xx貴州遵義市第二次聯(lián)考)若則目標(biāo)函數(shù)z=的取值范圍是( A )
(A)[2,5] (B)[1,5] (C)[,2] (
4、D)[2,6]
解析:z==1+2,
可理解為求斜率的最值問題,畫出可行域如圖陰影部分,
可知k=在(1,2)點(diǎn)處最大,最大為2;
在(2,1)點(diǎn)處最小,最小為,
所以z的取值范圍為[2,5].故選A.
7.(xx重慶卷)若不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?且其面積等于,則m的值為( B )
(A)-3 (B)1 (C) (D)3
解析:作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,
由圖可知,要使不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?
則m>-1.
由
解得即A(1-m,1+m).
由
解得
即B(-m,+m).
因?yàn)镾△ABC=S△ADC-S△BDC
=
5、(2+2m)[(1+m)- (+m)]
=(m+1)2=,
所以m=1或m=-3(舍去),故選B.
8.(xx河南開封市模擬)設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)镈,若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點(diǎn),則a的取值范圍是 .?
解析:作出區(qū)域D的圖象,聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象,能夠看出,當(dāng)圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點(diǎn)C(2,9)時(shí),a可以取到最大值3,而顯然只要a大于1,圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn).則a的取值范圍是10,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny-
6、1=0(mn>0)上,則+的最小值為( B )
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
解析:函數(shù)y=a1-x(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(1,1),
又點(diǎn)A在直線mx+ny-1=0(mn>0)上,
所以m+n=1,
所以+=(m+n) (+ )
=2++
≥2+2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)m=n=時(shí)取等號(hào).
故選B.
10.(xx河南鄭州市第一次質(zhì)量預(yù)測(cè))某三棱錐的三視圖如圖所示,且三個(gè)三角形均為直角三角形,則xy的最大值為( C )
(A)32 (B)32 (C)64 (D)64
解析:設(shè)該三棱錐的高為h,由三視圖知,
兩式相減并整理得x2+y2=128.
7、
又因?yàn)閤y≤==64(僅當(dāng)x=y時(shí)取等號(hào)).
11.(xx福建卷)要制作一個(gè)容積為4 m3,高為1 m的無蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元,則該容器的最低總造價(jià)是( C )
(A)80元 (B)120元 (C)160元 (D)240元
解析:設(shè)該容器的總造價(jià)為y元,長(zhǎng)方體的底面矩形的長(zhǎng)為x m,因?yàn)闊o蓋長(zhǎng)方體的容積為4 m3,高為1 m,所以長(zhǎng)方體的底面矩形的寬為 m,依題意,得y=20×4+
10(2x+)=80+20(x+)≥80+20×2=160(當(dāng)且僅當(dāng)x=,即x=2時(shí)取等號(hào)).所以該容器的最低總造價(jià)為160元.故選C.
12.
8、(xx廣東深圳市第一次調(diào)研考試)已知向量a=(-1,1),b=(1, ) (x>0,y>0),若a⊥b,則x+4y的最小值為 .?
解析:由a⊥b得-1+=0,+=1,
(x+4y)·(+)=5++≥2+5=9. (當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí)取等號(hào))
答案:9
一、選擇題
1.(xx四川資陽市三模)已知loa
(C)ln(a-b)>0 (D)3a-b<1
解析:因?yàn)閥=lox是定義域上的減函數(shù),
且loab>0.
又因?yàn)閥=()
9、x是定義域R上的減函數(shù),
所以()a<()b;
又因?yàn)閥=xb在(0,+∞)上是增函數(shù),
所以()b<()b;所以()a<()b,選項(xiàng)A正確.
2.(xx湖南卷)若變量x,y滿足約束條件則z=3x-y的最小值為( A )
(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2
解析:畫出可行域如圖所示.當(dāng)直線y=3x-z過點(diǎn)C(-2,1)時(shí),z取最小值,故zmin=3×(-2)-1=-7.故選A.
3.(xx廣西柳州市、北海市、欽州市1月份模擬)設(shè)變量x,y滿足約束條件則z=2x×的最小值為( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:可得z=2x-2y,
設(shè)m=x-2y,
10、不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分,
平移直線l:y=x,
由圖象可知直線l經(jīng)過點(diǎn)A時(shí),其截距最大,m最小,z最小,
解方程組
得A(2,2),
則z最小=.
4.(xx江西南昌市第一次模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足若目標(biāo)函數(shù)z=2x+y的最大值與最小值的差為2,則實(shí)數(shù)m的值為( C )
(A)4 (B)3 (C)2 (D)-
解析:作出可行域如圖,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可轉(zhuǎn)化為直線y=-2x+z的截距,可知在N點(diǎn)z取最小值,在M點(diǎn)z取最大值.
因?yàn)镹(m-1,m),M(4-m,m),
所以2(4-m)+m-2(m-1)-m=10-4m=2,
所以m=2.
5.(x
11、x甘肅省河西五地市高三第一次聯(lián)考)已知集合{(x,y)︱}表示的平面區(qū)域?yàn)棣?若在區(qū)域Ω內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),則點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2的概率為( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖,則對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰽OB.
由解得
即B(4,-4).
由解得
即A(,).
直線2x+y-4=0與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),
則△OAB的面積S=×2×+×2×4=.
點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2區(qū)域面積S=×π×()2=,
由幾何概型的概率公式得點(diǎn)P的坐標(biāo)滿足不等式x2+y2≤2的概率為=.故選D.
6.設(shè)f(x)=ln x
12、,0p
(C)p=rq
解析:由題意得p=ln ,q=ln ,r=(ln a+ln b)=ln =p,
因?yàn)?,
所以ln >ln ,
所以p=r0,b>0)滿足約束條件且最大值為40,則+的最小值為( B )
(A) (B) (C)1 (D)4
解析:不等式表示的平面區(qū)域?yàn)槿鐖D陰影部分,
當(dāng)直線z=ax+by(a>
13、0,b>0)過直線x-y+2=0與直線2x-y-6=0的交點(diǎn)(8,10)時(shí),
目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值40,
即8a+10b=40,即4a+5b=20,
而+=(+)
=+(+)≥+1
=.
故選B.
8.(xx山東卷)已知x,y滿足約束條件當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)在該約束條件下取到最小值2時(shí), a2+b2的最小值為( B )
(A)5 (B)4 (C) (D)2
解析:不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知,目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A(2,1)處取得最小值,故2a+b=2.
法一 將2a+b=2兩邊分別平方
14、得4a2+b2+4ab=20,而4ab=2×a×2b≤a2+4b2,當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,
即a=,b=時(shí)取等號(hào).
所以20≤4a2+b2+a2+4b2=5(a2+b2),
所以a2+b2≥4,
即a2+b2的最小值為4.故選B.
法二 將2a+b=2看作平面直角坐標(biāo)系aOb中的直線,則a2+b2的幾何意義是直線上的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)距離的平方,故其最小值為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線2a+b=2距離的平方,即()2=4.故選B.
9.(xx四川宜賓市二診)已知集合A={x∈R|x4+mx-2=0},滿足a∈A的所有點(diǎn)M(a, )均在直線y=x的同側(cè),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( A )
(A)(-∞,-)∪
15、(,+∞)
(B)(-,-1)∪(1,)
(C)(-5,-)∪(,6)
(D)(-∞,-6)∪(6,+∞)
解析:因?yàn)榧螦={x∈R|x4+mx-2=0},
所以方程的根顯然x≠0,原方程等價(jià)于x3+m=,
原方程的實(shí)根是曲線y=x3+m與曲線y=的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),
而曲線y=x3+m是由曲線y=x3向上或向下平移|m|個(gè)單位而得到的,
若交點(diǎn)(xi, ) (i=1,2)均在直線y=x的同側(cè),
因直線y=x與y=交點(diǎn)為(-,-),(,);
所以結(jié)合圖象可得
或
解得m>或m<-.故選A.
10.已知函數(shù)f(x)=x+sin x(x∈R),且f(y2-2y+3)+
16、f(x2-4x+1)≤0,則當(dāng)y≥1時(shí),的取值范圍是( A )
(A)[,] (B)[0,] (C)[,] (D)[0,]
解析:因?yàn)閒(-x)=-x+sin(-x)=-f(x),
且f′(x)=1+cos x≥0,
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù),且在R上是增函數(shù).
所以由f(y2-2y+3)+f(x2-4x+1)≤0,
得f(y2-2y+3)≤f(-x2+4x-1),
所以y2-2y+3≤-x2+4x-1,
即(x-2)2+(y-1)2≤1,
其表示圓(x-2)2+(y-1)2=1及其內(nèi)部.
表示滿足的點(diǎn)P與定點(diǎn)A(-1,0)連線的斜率.
結(jié)合圖形分析可知,直線AC的斜
17、率=最小,
切線AB的斜率tan∠BAX=tan 2∠PAX
=
=
=最大.
故選A.
二、填空題
11.(xx江蘇卷)不等式<4的解集為 .?
解析:不等式<4可轉(zhuǎn)化為<22,由指數(shù)函數(shù)y=2x為增函數(shù)知x2-x<2,解得-10恒成立,則實(shí)數(shù)m
18、的取值范圍是 .?
解析:不等式+-m>0恒成立,
即3(+)>3m恒成立.
又正數(shù)a,b滿足a+2b=3,
(a+2b) (+)=+++2≥,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取“=”,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是(-∞, ).
答案: (-∞, )
14.(xx浙江卷)已知函數(shù)f(x)=則f(f(-3))= ,f(x)的最小值是 .?
解析:因?yàn)?3<1,所以f(-3)=lg[(-3)2+1]=lg 10=1,
所以f(f(-3))=f(1)=1+-3=0.
當(dāng)x≥1時(shí),f(x)=x+-3≥2-3(當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí),取“=”),當(dāng)x<1時(shí),x2+1≥1,
所以f(x)=lg(x2+1)≥0,
又因?yàn)?-3<0,
所以f(x)min=2-3.
答案:0 2-3
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