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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練70 直線與圓的位置關(guān)系 理 新人教版
一、選擇題
1.(xx·北京高考)如圖40所示,∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與BC交于點(diǎn)E,則( )
圖40
A.CE·CB=AD·DB
B.CE·CB=AD·AB
C.AD·AB=CD2
D.CE·EB=CD2
【解析】 在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,CD⊥AB,
∴CD2=AD·DB.又CD是圓的切線,
故CD2=CE·CB.∴CE·CB=AD·DB.
【答案】 A
2.如圖41所示,在△ABC中,AD是高,△ABC的外接圓直徑AE交BC邊于點(diǎn)G,有下列四個(gè)
2、結(jié)論:①AD2=BD·CD;②BE2=EG·AE;③AE·AD=AB·AC;④AG·EG=BG·CG.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
圖41
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】?、僦袃H當(dāng)∠BAC為直角時(shí)才成立;在②中僅當(dāng)BG⊥AE時(shí)才成立;由△AEB∽△ACD,故=,即AE·AD=AB·AC,故③正確;由相交弦定理知④正確.故選B.
【答案】 B
3.如圖42所示,AB是⊙O的直徑,P是AB延長線上的一點(diǎn),過P作⊙O的切線,切點(diǎn)為C,PC=2,若∠CAP=30°,則⊙O的直徑AB等于( )
圖42
A.2 B.4
C.6 D.2
【解析
3、】 連結(jié)OC,則由PC是切線知OC⊥PC.
由∠CAP=30°,知∠COP=60°,
故∠CPA=30°.
因?yàn)镻C=2.
∴OC=2,∴AB=4.故選B.
【答案】 B
4.圓內(nèi)接三角形ABC的角平分線CE延長后交外接圓于點(diǎn)F,若FB=2,EF=1,則CE=( )
A.3 B.2 C.4 D.1
【解析】 ∵∠ACF=∠ABF,∠ACF=∠FCB,
∴∠EBF=∠FCB,又∠EFB=∠BFC,∴△FBE∽△FCB,則=,即=,∴CF=4,∴CE=3.
【答案】 A
5.如圖43,AD,AE,BC分別與圓O切于點(diǎn)D,E,F(xiàn),延長AF與圓O交
4、于另一點(diǎn)G.給出下列三個(gè)結(jié)論:
圖43
①AD+AE=AB+BC+CA;
②AF·AG=AD·AE;
③△AFB∽△ADG.
其中正確結(jié)論的序號是( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【解析】 由圓的切線長定理可知:BC=BF+FC=BD+CE,∴AD+AE=AB+BC+CA,①正確;由切割線定理可知AF·AG=AD2,又∵AD=AE,∴AF·AG=AD·AE,②正確;若△AFB∽△ADG,則=,則AF·AG=AB·AD.這與AF·AG=AD2矛盾,③錯(cuò)誤.故選A.
【答案】 A
圖44
6.(xx·天津高考)如圖44,△ABC是圓的內(nèi)接三角形,
5、∠BAC的平分線交圓于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,過點(diǎn)B的圓的切線與AD的延長線交于點(diǎn)F.在上述條件下,給出下列四個(gè)結(jié)論:
圖43
①BD平分∠CBF;②FB2=FD·FA;③AE·CE=BE·DE;④AF·BD=AB·BF.則所有正確結(jié)論的序號是( )
A.①② B.③④ C.①②③ D.①②④
【解析】 對于①,∵BF是圓的切線,
∴∠CBF=∠BAC,∠4=∠1.
又∵AD平分∠BAC,
∴∠1=∠2.
又∠2=∠3,∴∠3=∠4,
即BD平分∠CBF,故①正確;
對于②,根據(jù)切割線定理有FB2=FD·FA,
故②正確;
對于③,∵∠3=∠2,∠BED=∠A
6、EC,∴△BDE≌△ACE.
∴=,即AE·DE=BE·CE,故③錯(cuò)誤;
對于④,∵∠4=∠1,∠BFD=∠AFB,
∴△BFD∽△AFB,∴=,
即AF·BD=AB·BF,故④正確.
【答案】 D
二、填空題
7.(xx·湖北高考)如圖45,P為⊙O外一點(diǎn),過P點(diǎn)作⊙O的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B.過PA的中點(diǎn)Q作割線交⊙O于C,D兩點(diǎn).若QC=1,CD=3,則PB=________.
圖45
【解析】 由切線長定理得QA2=QC·QD=4,解得QA=2.則PB=PA=2QA=4.
【答案】 4
8.(xx·湖南高考)如圖46,已知AB,BC是⊙O的兩條弦,AO⊥B
7、C,AB=,BC=2,則⊙O的半徑等于________.
圖46
【解析】 如圖,延長AO交圓O于點(diǎn)D,
連結(jié)BD,則AB⊥BD.
在Rt△ABD中,AB2=AE·AD.
∵BC=2,AO⊥BC,∴BE=.
∵AB=,∴AE=1,
∴AD=3,∴r=.
【答案】
9.(xx·重慶高考)如圖47,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AB=20,過C作△ABC的外接圓的切線CD,BD⊥CD,BD與外接圓交于點(diǎn)E,則DE的長為________.
圖47
【解析】 在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=60°,
∴∠ABC=30°.
∵AB=20,∴A
8、C=10,BC=10.
∵CD為切線,∴∠BCD=∠A=60°.
∵∠BDC=90°,∴BD=15,CD=5.
由切割線定理得
DC2=DE·DB,即(5)2=15DE,∴DE=5.
【答案】 5
三、解答題
10.(xx·鄭州模擬)如圖48所示,AB為圓O的直徑,CD為垂直于AB的一條弦,垂足為E,弦BM與CD交于點(diǎn)F.
圖48
(1)證明:A、E、F、M四點(diǎn)共圓;
(2)若MF=4BF=4,求線段BC的長.
【解】 (1)如圖所示,連結(jié)AM,由AB為直徑可知∠AMB=90°,
又CD⊥AB,所以∠AEF=∠AMB=90°,
因此A、E、F、M四點(diǎn)共圓.
9、(2)連結(jié)AC,由A、E、F、M四點(diǎn)共圓,可知BF·BM=BE·BA,
在Rt△ABC中,BC2=BE·BA,
又由MF=4BF=4知BF=1,BM=5,所以BC2=5,BC=.
11.(xx·遼寧高考)如圖49,AB為⊙O的直徑,直線CD與⊙O相切于E,AD垂直CD于D,BC垂直CD于C,EF垂直AB于F,連結(jié)AE,BE.
圖49
證明:(1)∠FEB=∠CEB;
(2)EF2=AD·BC.
【證明】 (1)由直線CD與⊙O相切,得∠CEB=∠EAB.
由AB為⊙O的直徑,得AE⊥EB,從而∠EAB+∠EBF=;
又EF⊥AB,得∠FEB+∠EBF=.
從而∠FEB=
10、∠EAB.故∠FEB=∠CEB.
(2)由BC⊥CE,EF⊥AB,∠FEB=∠CEB,BE是公共邊,得Rt△BCE≌Rt△BFE,所以BC=BF.
類似可證Rt△ADE≌Rt△AFE,得AD=AF.
又在Rt△AEB中,EF⊥AB,故EF2=AF·BF,
所以EF2=AD·BC.
12.(xx·太原模擬)如圖50所示,AB為⊙O的直徑,過點(diǎn)B作⊙O的切線BC,OC交⊙O于點(diǎn)E,AE的延長線交BC于點(diǎn)D.
圖50
(1)求證:CE2=CD·CB;
(2)若AB=BC=2,求CE和CD的長.
【解】 (1)證明:連結(jié)BE.
∵BC為⊙O的切線,
∴∠ABC=90°,∠CBE=∠A.
∵OA=OE,
∴∠A=∠AEO.
∵∠AEO=∠CED,
∴∠CED=∠CBE,
∵∠C=∠C,
∴△CED∽△CBE,
∴=,
∴CE2=CD·CB.
(2)由題題得OB=1,BC=2,
∴OC=,
∴CE=OC-OE=-1.
由(1)得(-1)2=2CD,
∴CD=3-.