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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練60 幾何概型 理 新人教版 一、選擇題 1．在區(qū)間[0，π]上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則事件“sin x≥cos x”發(fā)生的概率為(　　) A.　　　 B.　　 　C.　 　　D．1 【解析】　∵sin x≥cos x，x∈[0，π]， ∴≤x≤π， ∴事件“sin x≥cos x”發(fā)生的概率為＝. 【答案】　C 2．(文)(xx·長(zhǎng)沙聯(lián)考)點(diǎn)P在邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為(　　) A. B. C. D.π 【解析】　如圖，滿(mǎn)足|PA|≤1的點(diǎn)P在如圖所示陰影部

2、分運(yùn)動(dòng)，則動(dòng)點(diǎn)P到頂點(diǎn)A的距離|PA|≤1的概率為＝＝. 【答案】　C 2．(理)(xx·西城模擬)在區(qū)間[0,2]上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)的概率是(　　) A. B. C. D. 【解析】　∵a∈[0,2]，∴f′(x)＝3x2＋a≥0，∴f(x)是增函數(shù)．若f(x)在[－1,1]上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則f(－1)·f(1)≤0，即(－1－a－b)(1＋a－b)≤0，則(1＋a＋b)·(1＋a－b)≥0.由題意知全部事件的面積為2×2＝4，滿(mǎn)足條件的面積為4－×1×1＝，∴所求概率P

3、＝＝，故選D. 【答案】　D 圖10-6-8 3．如圖10-6-8所示，墻上掛有一邊長(zhǎng)為a的正方形木板，它的四個(gè)角的空白部分都是以正方形的頂點(diǎn)為圓心，為半徑的扇形，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個(gè)點(diǎn)的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是(　　) A．1－ B. C．1－ D.與a的取值有關(guān) 【解析】　由題意知，陰影部分的面積為a2－4××π2＝a2，故概率為1－. 【答案】　A 4．(xx·阜陽(yáng)模擬)一艘輪船從O點(diǎn)的正東方向10 km處出發(fā)，沿直線向O點(diǎn)的正北方向10 km處的

4、港口航行，某臺(tái)風(fēng)中心在點(diǎn)O，距中心不超過(guò)r km的位置都會(huì)受其影響，且r是區(qū)間[5,10]內(nèi)的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，則輪船在航行途中會(huì)遭受臺(tái)風(fēng)影響的概率是(　　) A. B.1－ C.－1 D.2－ 【解析】　以O(shè)為圓心，r為半徑作圓，易知當(dāng)r＞5時(shí)，輪船會(huì)遭受臺(tái)風(fēng)影響，所以P＝＝＝2－. 【答案】　D 5．如圖10-6-9，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　) 圖10-6-9 A．1－ B.－ C. D. 【解析】　法一　設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連

5、接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝＋×1×1－＝1，所以整體圖形中空白部分面積S2＝2.又因?yàn)镾扇形OAB＝×π×22＝π，所以陰影部分面積為S3＝π－2. 所以P＝＝1－. 法二　設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，令OA＝2. 如圖，連接AB，由題意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC， 所以S空白＝S△OAB＝×2×2＝2. 又因?yàn)镾扇形OAB＝×π×22＝π，所以S陰影＝π－2. 所以P＝＝＝1－. 【答案】　A 6．(xx·嘉興模擬)在區(qū)間[－π，π]內(nèi)隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，則

6、使得函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)的概率為(　　) A. B. C. D. 【解析】　建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)榫匦蜛BCD及其內(nèi)部． 要使函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零點(diǎn)，則必須有Δ＝4a2＋4b2－4π≥0，即a2＋b2≥π，其表示的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分．故所求概率P＝＝＝. 【答案】　B 二、填空題 7．如圖10-6-10所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線OT落在30°角的終 圖10-6-10 邊上，任作一條射線OA，則射線OA落在∠yOT內(nèi)的概率為_(kāi)_______． 【解析】　如題圖，因?yàn)樯渚€OA在坐標(biāo)系內(nèi)是等可能

7、分布的，則OA落在∠yOT內(nèi)的概率為＝. 【答案】　 8．點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，則劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為_(kāi)_______． 【解析】　如圖可設(shè)與的長(zhǎng)度等于1， 則由幾何概型可知其整體事件是其周長(zhǎng)3，則其概率是. 【答案】　 9．某校航模小組在一個(gè)棱長(zhǎng)為6米的正方體房間內(nèi)試飛一種新型模型飛機(jī)，為保證模型飛機(jī)安全，模型飛機(jī)在飛行過(guò)程中要始終保持與天花板、地面和四周墻壁的距離均大于1米，則模型飛機(jī)“安全飛行”的概率為_(kāi)_______． 【解析】　依題意得，模型飛行“安全飛行”的概率為3＝. 【答案】　 三、解答題 10．設(shè)關(guān)于x的

8、一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.若a是從區(qū)間[0,3]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，求方程有實(shí)根的概率． 【解】　記事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”，當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. 試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}，構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)閧(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}，根據(jù)條件畫(huà)出構(gòu)成的區(qū)域(略)，可得所求的概率為P(A)＝＝. 11．在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P落在單位圓x2＋y2＝1內(nèi)的概率． 【解】　如圖所示，不等式 表示的平面區(qū)域是△ABC的內(nèi)部及其

9、邊界， 又圓x2＋y2＝1的圓心(0,0)到x＋y－＝0與x－y＋＝0的距離均為1， ∴直線x＋y－＝0與x－y＋＝0均與單位圓x2＋y2＝1相切，記“點(diǎn)P落在x2＋y2＝1內(nèi)”為事件A， ∵事件A發(fā)生時(shí)，所含區(qū)域面積S＝π，且S△ABC＝×2×＝2， 故所求事件的概率P(A)＝＝. 12．已知袋子中放有大小和形狀相同的小球若干，其中標(biāo)號(hào)為0的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為1的小球1個(gè)，標(biāo)號(hào)為2的小球n個(gè)．若從袋子中隨機(jī)抽取1個(gè)小球，取到標(biāo)號(hào)為2的小球的概率是. (1)求n的值； (2)從袋子中不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)小球，記第一次取出的小球標(biāo)號(hào)為a，第二次取出的小球標(biāo)號(hào)為b. ①記“a＋b＝2

10、”為事件A，求事件A的概率； ②在區(qū)間[0,2]內(nèi)任取2個(gè)實(shí)數(shù)x，y，求事件“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”的概率． 【解】　(1)依題意＝，得n＝2. (2)①記標(biāo)號(hào)為0的小球?yàn)閟，標(biāo)號(hào)為1的小球?yàn)閠，標(biāo)號(hào)為2的小球?yàn)閗，h，則取出2個(gè)小球的可能情況有：(s，t)，(s，k)，(s，h)，(t，s)，(t，k)，(t，h)，(k，s)，(k，t)，(k，h)，(h，s)，(h，t)，(h，k)，共12種，其中滿(mǎn)足“a＋b＝2”的有4種：(s，k)，(s，h)，(k，s)，(h，s)．所以所求概率為P(A)＝＝. ②記“x2＋y2＞(a－b)2恒成立”為事件B，則事件B等價(jià)于“x2＋y2＞4恒成立”，(x，y)可以看成平面中的點(diǎn)的坐標(biāo)，則全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)棣福絳(x，y)|0≤x≤2,0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)锽＝{(x，y)|x2＋y2＞4，(x，y)∈Ω}．所以所求的概率為P(B)＝1－.