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2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第6章 數(shù)列 第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和教學(xué)案 理 北師大版

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1、第三節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 [最新考綱] 1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系. 1.等比數(shù)列的有關(guān)概念 (1)定義:如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)(不為零),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比,通常用字母q表示,定義的數(shù)學(xué)表達(dá)式為=q(n∈N+,q為非零常數(shù)). (2)等比中項(xiàng):如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G,使得a,G,b成等比數(shù)列,那么根據(jù)等比數(shù)列的定義,=,G2=ab,G=±

2、,那么G叫作a與b的等比中項(xiàng).即:G是a與b的等比中項(xiàng)?a,G,b成等比數(shù)列?G2=ab. 2.等比數(shù)列的有關(guān)公式 (1)通項(xiàng)公式:an=a1qn-1=amqn-m. (2)前n項(xiàng)和公式: Sn= 等比數(shù)列的常用性質(zhì) 1.在等比數(shù)列{an}中,若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈ N+),則am·an=ap·aq=a. 2.若數(shù)列{an},{bn}(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列,則{λan}(λ≠0),,{a},{an·bn},仍然是等比數(shù)列. 3.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比數(shù)列,其公比為qn,其中當(dāng)公比為-1時(shí),n為偶

3、數(shù)時(shí)除外. 一、思考辨析(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)滿足an+1=qan(n∈N+,q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列.(  ) (2)G為a,b的等比中項(xiàng)?G2=ab.(  ) (3)若{an}為等比數(shù)列,bn=a2n-1+a2n,則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列.(  ) (4)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an=an,則其前n項(xiàng)和為Sn=.(  ) (5)數(shù)列{an}為等比數(shù)列,則S4,S8-S4,S12-S8成等比數(shù)列.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× (5)× 二、教材改編 1.在等比數(shù)列{an}中,a3=2,a7=8,則a5等于( 

4、 ) A.5 B.±5 C.4 D.±4 C [∵a=a3a7=2×8=16,∴a5=±4. 又∵a5=a3q2>0, ∴a5=4.] 2.等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知S3=a2+10a1,a5=9,則a1=(  ) A. B.- C. D.- C [∵S3=a2+10a1,∴a1+a2+a3=a2+10a1,∴a3=9a1, 即公比q2=9,又a5=a1q4, ∴a1===.故選C.] 3.在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn為{an}的前n項(xiàng)和.若Sn=126,則n=________. 6 [∵a1=2,an+1=2an, ∴數(shù)列{an}

5、是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列. 又∵Sn=126,∴=126, 解得n=6.] 4.一種專門占據(jù)內(nèi)存的計(jì)算機(jī)病毒開機(jī)時(shí)占據(jù)內(nèi)存1 MB,然后每3秒自身復(fù)制一次,復(fù)制后所占內(nèi)存是原來(lái)的2倍,那么開機(jī)________秒,該病毒占據(jù)內(nèi)存8 GB(1 GB=210 MB). 39 [由題意可知,病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{an}, 且a1=2,q=2,∴an=2n, 則2n=8×210=213,∴n=13. 即病毒共復(fù)制了13次. ∴所需時(shí)間為13×3=39(秒).] 考點(diǎn)1 等比數(shù)列的基本運(yùn)算  等比數(shù)列基本量運(yùn)算的解題策略 (1)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前

6、n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1,an,q,n,Sn,已知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”). (2)運(yùn)用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí),注意分q=1和q≠1兩類分別討論.  1.設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,已知3S3=a4-2,3S2=a3-2,則公比q=(  ) A.3   B.4     C.5     D.6 B [因?yàn)?S3=a4-2,3S2=a3-2,所以兩式相減,得3(S3-S2)=(a4-2)-(a3-2), 即3a3=a4-a3, 得a4=4a3,所以q==4.] 2.(2019·全國(guó)卷Ⅰ)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1=,a=a6,則S5=_

7、_______.  [設(shè)等比數(shù)列的公比為q,由已知a1=,a=a6,所以2=q5,又q≠0,所以q=3,所以S5===.] 3.等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=,S3=,則a2=________. -3或 [法一:(直接法)∵數(shù)列{an}是等比數(shù)列, ∴當(dāng)q=1時(shí),a1=a2=a3=,顯然S3=3a3=. 當(dāng)q≠1時(shí),由題意可知 解得q=-或q=1(舍去). ∴a2==×(-2)=-3. 綜上可知a2=-3或. 法二:(優(yōu)解法)由a3=得a1+a2=3. ∴+=3, 即2q2-q-1=0, ∴q=-或q=1. ∴a2==-3或.] 4

8、.(2018·全國(guó)卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中,a1=1,a5=4a3. (1)求{an}的通項(xiàng)公式; (2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和,若Sm=63,求m. [解] (1)設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)得an=qn-1. 由已知得q4=4q2, 解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1(n∈N+). (2)若an=(-2)n-1,則Sn=. 由Sm=63得(-2)m=-188, 此方程沒有正整數(shù)解. 若an=2n-1,則Sn=2n-1. 由Sm=63得2m=64,解得m=6. 綜上,m=6.  抓住基本量a1, q,借用方程思想求解是

9、解答此類問(wèn)題的關(guān)鍵,求解中要注意方法的擇優(yōu),如T3,方法二避免了討論. 考點(diǎn)2 等比數(shù)列的判定與證明  判定一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列的常見方法 (1)定義法:若=q(q是不為零的常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (2)等比中項(xiàng)法:若a=anan+2(n∈N+,an≠0),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列; (3)通項(xiàng)公式法:若an=Aqn(A,q是不為零的常數(shù)),則數(shù)列{an}是等比數(shù)列.  設(shè)數(shù)列{an}中,a1=1,a2=,an+2=an+1-an,令bn=an+1-an(n∈N+) (1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. [解] (1)∵an+2=

10、an+1-an, ∴an+2-an+1=(an+1-an),而bn=an+1-an, ∴bn+1=bn,又b1=a2-a1=, ∴{bn}是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn=×n-1=n, ∴an-an-1=n-1, ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=1++2+…+n-1==3-3·n. [逆向問(wèn)題] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2an-3n(n∈N+). (1)求a1,a2,a3的值; (2)是否存在常數(shù)λ,使得{an+λ}為等比數(shù)列?若存在,求出λ的值和通項(xiàng)公式an,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. [解]

11、 (1)當(dāng)n=1時(shí),S1=a1=2a1-3,解得a1=3, 當(dāng)n=2時(shí),S2=a1+a2=2a2-6,解得a2=9, 當(dāng)n=3時(shí),S3=a1+a2+a3=2a3-9,解得a3=21. (2)假設(shè){an+λ}是等比數(shù)列,則(a2+λ)2=(a1+λ)(a3+λ), 即(9+λ)2=(3+λ)(21+λ),解得λ=3. 下面證明{an+3}為等比數(shù)列: ∵Sn=2an-3n,∴Sn+1=2an+1-3n-3, ∴an+1=Sn+1-Sn=2an+1-2an-3,即2an+3=an+1, ∴2(an+3)=an+1+3,∴=2, ∴存在λ=3,使得數(shù)列{an+3}是首項(xiàng)為a1+3=

12、6,公比為2的等比數(shù)列. ∴an+3=6×2n-1,即an=3(2n-1)(n∈N+).  (1)證明一個(gè)數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與通項(xiàng)公式法,其他方法只用于選擇、填空題中的判定;若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列,則只要證明存在連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可. (2) 已知等比數(shù)列求參數(shù)的值,常采用特殊到一般的方法求解,如本例的逆向問(wèn)題. [教師備選例題] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a1=1,Sn+1=4an+2. (1)設(shè)bn=an+1-2an,證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列; (2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. [解] (1)證明:由a1=1及Sn+1=4an+2, 有a1+a2

13、=S2=4a1+2. ∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3. 又 ①-②,得an+1=4an-4an-1(n≥2), ∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2). ∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1(n≥2), 故{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知bn=an+1-2an=3·2n-1, ∴-=, 故是首項(xiàng)為,公差為的等差數(shù)列. ∴=+(n-1)·=, 故an=(3n-1)·2n-2.  (2019·全國(guó)卷Ⅱ)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4. (1)

14、證明:{an+bn}是等比數(shù)列,{an-bn}是等差數(shù)列; (2)求{an}和{bn}的通項(xiàng)公式. [解] (1)證明:由題設(shè)得4(an+1+bn+1)=2(an+bn),即an+1+ bn+1=(an+bn). 又因?yàn)閍1+b1=1,所以{an+bn}是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列. 由題設(shè)得4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,即an+1-bn+1=an-bn+2. 又因?yàn)閍1-b1=1,所以{an-bn}是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列. (2)由(1)知,an+bn=,an-bn=2n-1. 所以an=[(an+bn)+(an-bn)]=+n-, bn=[(an

15、+bn)-(an-bn)]=-n+. 考點(diǎn)3  等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用  等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用可以分為3類 (1)通項(xiàng)公式的變形. (2)等比中項(xiàng)的變形. (3)前n項(xiàng)和公式的變形.根據(jù)題目條件,認(rèn)真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問(wèn)題的突破口.  (1)[一題多解]已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10等于(  ) A.7   B.5      C.-5     D.-7 (2)設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,若=3,則=(  ) A.2 B. C. D.1或2 (3)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng),其和為-240,且奇數(shù)項(xiàng)

16、的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80,則公比q=________. (1)D (2)B (3)2 [(1)法一:(基本量法)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q, 則由題意得 所以或 所以a1+a10=a1(1+q9)=-7. 法二:(性質(zhì)法)由 解得或 所以或 所以a1+a10=a1(1+q9)=-7. (2)設(shè)S2=k,S4=3k,∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列,∴S2,S4-S2,S6-S4也為等比數(shù)列,又S2=k,S4-S2=2k, ∴S6-S4=4k, ∴S6=7k,∴==,故選B. (3)由題意,得解得 所以q===2.]  在解決等比數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題時(shí),要注意挖掘隱含條件,特別關(guān)注項(xiàng)a

17、n或和Sn的下角標(biāo)數(shù)字間的內(nèi)在關(guān)系,活用性質(zhì),減少運(yùn)算量,提高解題速度. [教師備選例題] 數(shù)列{an}是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列,所有項(xiàng)之和是偶數(shù)項(xiàng)之和的4倍,前三項(xiàng)之積為64,則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an=________. 12×n-1 [設(shè)此數(shù)列{an}的公比為q,由題意,知S奇+S偶= 4S偶, 所以S奇=3S偶,所以q==. 又a1a2a3=64,即a1(a1q)(a1q2)=aq3=64, 所以a1q=4.又q=,所以a1=12,所以an=a1qn-1=12×n-1.]  1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,若a2=1,a5=,則a1a2+a2a3+…+anan+1(n∈N+)的最小值為(  ) A. B.1 C.2 D.3 C [由已知得數(shù)列{an}的公比滿足q3==, 解得q=,∴a1=2,a3=,故數(shù)列{anan+1}是以2為首項(xiàng),公比為=的等比數(shù)列, ∴a1a2+a2a3+…+anan+1= =∈,故選C.] 2.等比數(shù)列{an}滿足an>0,且a2a8=4,則log2a1+log2a2+log2a3+…+log2a9=________. 9 [由題意可得a2a8=a=4,a5>0,所以a5=2,則原式=log2(a1a2…a9)=9log2a5=9.] 9

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