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1、2022年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽教材講義 第十四章 極限與導(dǎo)數(shù) 一、 基礎(chǔ)知識(shí) 1．極限定義：（1）若數(shù)列{un}滿足，對(duì)任意給定的正數(shù)ε，總存在正數(shù)m，當(dāng)n>m且n∈N時(shí)，恒有|un-A|<ε成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時(shí)f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時(shí)f(x)的左極限。 2．極限的四則運(yùn)算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么[f(x)±g(x)]=a±b, [f(x)?g(x)]=ab, 3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f

2、(x)在x=x0處連續(xù)。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．導(dǎo)數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得一個(gè)增量Δx時(shí)（Δx充分?。蜃兞縴也隨之取得增量Δy(Δy=f(x0+Δx)-f(x0)).若存在，則稱f(x)在x0處可導(dǎo)，此極限值稱為f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)是f(x)在x0可導(dǎo)的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點(diǎn)可導(dǎo)，則稱它在此敬意上可導(dǎo)。導(dǎo)數(shù)的幾何意義是：f(x)在點(diǎn)x0處導(dǎo)數(shù)(x0)等于曲線y=f(x

3、)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率。 6．幾個(gè)常用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）=0（c為常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8） 7．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則：若u(x),v(x)在x處可導(dǎo)，且u(x)≠0,則 （1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。 8．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導(dǎo)，f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u(u=(x))處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)y=f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且（f[(x)]=. 9.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a

4、,b)單調(diào)遞增；（3）若對(duì)一切x∈(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。 10．極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處可導(dǎo)，且在x0處取得極值，則 11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)可導(dǎo)，（1）若當(dāng)x∈(x-δ,x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當(dāng)x∈(x0-δ，x0)時(shí)，當(dāng)x∈(x0,x0+δ)時(shí)，則f(x)在x0處取得極大值。 12．極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-δ,x0+δ)內(nèi)一階可導(dǎo)，在x=x0處二階可導(dǎo)，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，

5、則f(x)在x0處取得極大值。 13．羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使 [證明] 若當(dāng)x∈(a,b)，f(x)≡f(a)，則對(duì)任意x∈(a,b)，.若當(dāng)x∈(a,b)時(shí)，f(x)≠f(a)，因?yàn)閒(x)在[a,b]上連續(xù)，所以f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，必有一個(gè)不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c∈(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。 14．Lagrange中值定理：若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，則存在ξ∈(a,b)，使 [證明] 令F

6、(x)=f(x)-,則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，且F(a)=F(b)，所以由13知存在ξ∈(a,b)使=0，即 15．曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開(kāi)區(qū)間I內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，（1）如果對(duì)任意x∈I,,則曲線y=f(x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對(duì)任意x∈I,,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。 16．琴生不等式：設(shè)α1,α2,…,αn∈R+，α1+α2+…+αn=1。（1）若f(x)是[a,b]上的凸函數(shù)，則x1,x2,…,xn∈[a,b]有f(a1x1+a2x2+…+anxn)≤a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(x

7、n). 二、方法與例題 1．極限的求法。 例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4） [解]（1）=； （2）當(dāng)a>1時(shí)， 當(dāng)0

8、的連續(xù)性。 [解] 當(dāng)x∈[0,1)時(shí)，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因?yàn)閠-1∈[0,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t∈[1,2)時(shí),有f(t)=2(t-1)?(2-t)2；同理，當(dāng)x∈[1,2)時(shí)，令x+1=t，則當(dāng)t∈[2,3)時(shí)，有f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。 3．

9、利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。 [解] 因?yàn)辄c(diǎn)(2,0)不在曲線上，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因?yàn)榇饲芯€過(guò)點(diǎn)（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0. 4．導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。 例5 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。 [解] （1）3cos(3x+1). (2) （3） （4） （5） 5．用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。 例6 設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)

10、(x∈(0,+∞))的單調(diào)區(qū)間。 [解] ，因?yàn)閤>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0. （1）當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；（2）當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)x≠1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+∞）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+∞)內(nèi)遞增；（3）當(dāng)00，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+∞)內(nèi)也單

11、調(diào)遞增，而當(dāng)2-a-2x. [證明] 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當(dāng)時(shí)，（因?yàn)?f(0)=0，即sinx+tanx>2x. 7.利用導(dǎo)數(shù)討論極值。 例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時(shí)

12、f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。 [解] 因?yàn)閒(x)在(0,+∞)上連續(xù)，可導(dǎo)，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得 所以. 所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，，所以f(x)在(0,1]上遞減； 當(dāng)x∈(1,2)時(shí)，，所以f(x)在[1，2]上遞增； 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)，，所以f(x)在[2，+∞）上遞減。 綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。 例9 設(shè)x∈[0,π],y∈[0,1]，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x的最小值。 [解] 首先，當(dāng)x∈[0,π],y

13、∈[0,1]時(shí)， f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=, 當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx>0,tanx>x，所以； 當(dāng)時(shí)，因?yàn)閏osx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以； 又因?yàn)間(x)在(0,π)上連續(xù)，所以g(x)在(0,π)上單調(diào)遞減。 又因?yàn)?<(1-y)xg(x)，即， 又因?yàn)?，所以?dāng)x∈(0,π),y∈(0,1)時(shí)，f(x,y)>0. 其次，當(dāng)x=0時(shí)，f(x,y)=0；當(dāng)x=π時(shí)，f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π≥0. 當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=-

14、sinx+sinx=0；當(dāng)y=1時(shí)，f(x,y)=sinx≥0. 綜上，當(dāng)且僅當(dāng)x=0或y=0或x=π且y=1時(shí)，f(x,y)取最小值0。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1．=_________. 2．已知，則a-b=_________. 3．_________. 4．_________. 5．計(jì)算_________. 6．若f(x)是定義在(-∞,+∞)上的偶函數(shù)，且存在，則_________. 7．函數(shù)f(x)在(-∞,+∞)上可導(dǎo)，且，則_________. 8．若曲線f(x)=x4-x在點(diǎn)P處的切線平行于直線3x-y=0，則點(diǎn)P坐標(biāo)為_(kāi)________. 9．函數(shù)f(x)=x-

15、2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_________. 10．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)________. 11．若曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，求實(shí)數(shù)a. 12.求sin290的近似值。 13．設(shè)0

16、點(diǎn)(x0,y0)的切線方程為_(kāi)________. 8．當(dāng)x>0時(shí)，比較大?。簂n(x+1) _________x. 9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x∈[-1,2]的最大值為_(kāi)________，最小值為_(kāi)________. 10．曲線y=e-x(x≥0)在點(diǎn)M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_(kāi)________. 11．若x>0，求證：(x2-1)lnx≥(x-1)2. 12．函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo)。導(dǎo)函數(shù)是減函數(shù)，且>0，x0∈(0,+∞).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切

17、線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，g(x)≥f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1≥ax+b≥在(0,+∞)上恒成立，其中a,b為實(shí)數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。 13.設(shè)各項(xiàng)為正的無(wú)窮數(shù)列{xn}滿足lnxn+,證明：xn≤1(n∈N+). 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1．設(shè)Mn={（十進(jìn)制）n位純小數(shù)0?只取0或1（i=1,2,…,n-1），an=1}，Tn是Mn中元素的個(gè)數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，則_________. 2．若(1-2x)9展開(kāi)式的第3項(xiàng)為288，則_________. 3．設(shè)f(x)

18、,g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)， ，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_(kāi)________. 4．曲線與的交點(diǎn)處的切線夾角是_________. 5．已知a∈R+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_(kāi)________. 6．已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_________. 7．當(dāng)x∈(1,2]時(shí)，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_(kāi)________. 8．已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若對(duì)任意x∈[ln(3a),ln(4a)]，不等式|m-f-1(x)|+ln[]<0恒成立，則實(shí)數(shù)

19、m取值范圍是_________. 9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)01.