《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線教學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7講 雙曲線教學(xué)案 理 北師大版（26頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　雙曲線 一、知識(shí)梳理 1．雙曲線的定義 平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)(小于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0. (1)當(dāng)2a<|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線． (2)當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是兩條射線． (3)當(dāng)2a>|F1F2|時(shí)，P點(diǎn)不存在． 2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì) 標(biāo)準(zhǔn)方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 圖形

2、 性質(zhì) 范圍 x≥a或x≤－a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 對(duì)稱性 對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸，對(duì)稱中心：原點(diǎn) 頂點(diǎn) A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 漸近線 y＝±x y＝±x 離心率 e＝，e∈(1，＋∞) 實(shí)虛軸 線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長 a、b、c的關(guān)系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 3.等軸雙曲線及性質(zhì) (1)等軸雙曲線：實(shí)軸長和虛軸長相等的雙曲線叫做等軸雙曲線，其標(biāo)準(zhǔn)

3、方程可寫作：x2－y2＝λ(λ≠0)． (2)等軸雙曲線?離心率e＝?兩條漸近線y＝±x互相垂直． 常用結(jié)論 1．雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b. 2．若P是雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a. 3．同支的焦點(diǎn)弦中最短的為通徑(過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦)，其長為，異支的弦中最短的為實(shí)軸，其長為2a. 4．設(shè)P，A，B是雙曲線上的三個(gè)不同的點(diǎn)，其中A，B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為. 5．P是雙曲線上不同于實(shí)軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則

4、S△PF1F2＝b2·，其中θ為∠F1PF2. 二、教材衍化 1．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，則該雙曲線的離心率為________． 解析：由題意知焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長，雙曲線的漸近線方程為±＝0，即bx±ay＝0， 所以2a＝＝b. 又a2＋b2＝c2，所以5a2＝c2. 所以e2＝＝5，所以e＝. 答案： 2．經(jīng)過點(diǎn)A(3，－1)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為________． 解析：設(shè)雙曲線的方程為－＝±1(a＞0)， 把點(diǎn)A(3，－1)代入，得a2＝8(舍負(fù))， 故所求方程為－＝1. 答案：－＝1 3．

5、以橢圓＋＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為________． 解析：設(shè)要求的雙曲線方程為－＝1(a＞0，b＞0)，由橢圓＋＝1，得焦點(diǎn)為(±1，0)，頂點(diǎn)為(±2，0)．所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1，0)，焦點(diǎn)為(±2，0)．所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－＝1. 答案：x2－＝1 一、思考辨析 判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線．(　　) (2)橢圓的離心率e∈(0，1)，雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)．(　　) (3)方

6、程－＝1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線．(　　) (4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 二、易錯(cuò)糾偏 (1)忽視雙曲線的定義； (2)忽視雙曲線焦點(diǎn)的位置； (3)忽視雙曲線的漸近線與離心率的關(guān)系． 1．平面內(nèi)到點(diǎn)F1(0，4)，F(xiàn)2(0，－4)的距離之差等于6的點(diǎn)的軌跡是________． 解析：由|PF1|－|PF2|＝6＜|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，則b2＝c2－a2＝7，所以所求點(diǎn)的軌跡是雙曲線－＝1的下支． 答案：雙曲線－＝1的下支 2．坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心，兩坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的雙曲線

7、的一條漸近線的傾斜角為，則雙曲線的離心率為________． 解析：若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝1，則漸近線的方程為y＝±x，由題意可得＝tan ＝，b＝a，可得c＝2a，則e＝＝2；若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為－＝1，則漸近線的方程為y＝±x，由題意可得＝tan ＝，a＝b，可得c＝a，則e＝.綜上可得e＝2或e＝. 答案：2或 3．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________． 解析：由條件知y＝－x過點(diǎn)(3，－4)，所以＝4，即3b＝4a，所以9b2＝16a2，所以9c2－9a2＝16a2，所以2

8、5a2＝9c2，所以e＝. 答案： 　　　　　　雙曲線的定義(多維探究) 角度一　利用定義求軌跡方程 已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為____________． 【解析】　如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和點(diǎn)B.根據(jù)兩圓外切的條件，得 |MC1|－|AC1|＝|MA|， |MC2|－|BC2|＝|MB|， 因?yàn)閨MA|＝|MB|，所以 |MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|， 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以點(diǎn)M到兩定

9、點(diǎn)C1、C2的距離的差是常數(shù)且小于|C1C2|＝6. 又根據(jù)雙曲線的定義，得動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大，與C1的距離小)， 其中a＝1，c＝3，則b2＝8. 故點(diǎn)M的軌跡方程為x2－＝1(x≤－1)． 【答案】　x2－＝1(x≤－1) 角度二　利用定義解決“焦點(diǎn)三角形”問題 已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，|PF1|＝2|PF2|，則cos∠F1PF2＝________． 【解析】　由雙曲線的定義有 |PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2， 所以|PF1|＝2|PF2|＝4， 則cos∠F1PF2＝ ＝＝.

10、【答案】　 【遷移探究1】　(變條件)將本例中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“∠F1PF2＝60°”，求△F1PF2的面積是多少？ 解：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則|PF1|－|PF2|＝2a＝2，在△F1PF2中，由余弦定理，得 cos∠F1PF2＝＝， 所以|PF1|·|PF2|＝8， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|sin 60°＝2. 【遷移探究2】　(變條件)將本例中的條件“|PF1|＝2|PF2|”改為“·＝0”，求△F1PF2的面積是多少？ 解：不妨設(shè)點(diǎn)P在雙曲線的右支上，則 |PF1|－|PF2|＝2a＝2，由于·＝0， 所以⊥，所以在△F

11、1PF2中，有 |PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， 即|PF1|2＋|PF2|2＝16，所以|PF1|·|PF2|＝4， 所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝2. 角度三　利用定義求解最值問題 若雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，A(1，4)，則|PF|＋|PA|的最小值是(　　) A．8　　　　　　　　　 B．9 C．10 D．12 【解析】　由題意知，雙曲線－＝1的左焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－4，0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為B，則B(4，0)，由雙曲線的定義知|PF|＋|PA|＝4＋|PB|＋|PA|≥4＋|AB|＝4＋＝4＋5＝9，當(dāng)且僅當(dāng)A

12、，P，B三點(diǎn)共線且P在A，B之間時(shí)取等號(hào)． 所以|PF|＋|PA|的最小值為9. 【答案】　B 雙曲線定義的應(yīng)用 (1)判定滿足某條件的平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程． (2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合||PF1|－|PF2||＝2a，運(yùn)用平方的方法，建立|PF1|與|PF2|的關(guān)系． [提醒]　在應(yīng)用雙曲線定義時(shí)，要注意定義中的條件，搞清所求軌跡是雙曲線，還是雙曲線的一支，若是雙曲線的一支，則需確定是哪一支．　 1．(2020·河南非凡聯(lián)盟4月聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，一條漸

13、近線與直線4x＋3y＝0垂直，點(diǎn)M在C上，且|MF2|＝6，則|MF1|＝(　　) A．2或14 B．2 C．14 D．2或10 解析：選C.由題意知＝，故a＝4，則c＝5.由|MF2|＝6＜a＋c＝9，知點(diǎn)M在C的右支上，由雙曲線的定義知|MF1|－|MF2|＝2a＝8，所以|MF1|＝14. 2．(2020·河北廊坊省級(jí)示范學(xué)校聯(lián)考)設(shè)F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線交雙曲線C的左支于A，B兩點(diǎn)，且|AF2|＝3，|BF2|＝5，|AB|＝4，則△BF1F2的面積為________． 解析：因?yàn)閨AF2|＝3，|BF2|＝5， |

14、AF2|－|AF1|＝2a，|BF2|－|BF1|＝2a， 所以|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4a＝3＋5－4＝4， 所以a＝1，所以|BF1|＝3，又|AF2|2＋|AB|2＝|BF2|2， 所以∠F2AB＝90°，所以sin B＝， 所以S△BF1F2＝×5×3×sin B＝×5×3×＝. 答案： 　　　　　　雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(師生共研) (1)(一題多解)與橢圓＋y2＝1共焦點(diǎn)且過點(diǎn)P(2，1)的雙曲線方程是(　　) A.－y2＝1 B．－y2＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 (2)(一題多解)若雙曲線的漸近線方程為y＝±x，且經(jīng)過點(diǎn)(4，)，則雙曲

15、線的方程為________． 【解析】　(1)法一：橢圓＋y2＝1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(±，0)．設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，所以－＝1，a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求雙曲線方程是－y2＝1. 法二：設(shè)所求雙曲線方程為＋＝1(1<λ<4)，將點(diǎn)P(2，1)的坐標(biāo)代入可得＋＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求雙曲線方程為－y2＝1. (2)法一：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±x， 所以可設(shè)雙曲線的方程為x2－4y2＝λ(λ≠0)． 因?yàn)殡p曲線過點(diǎn)(4，)，所以λ＝16－4×()2＝4， 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 法二：因?yàn)闈u近線y＝x過點(diǎn)(4，

16、2)，而<2， 所以點(diǎn)(4，)在漸近線y＝x的下方，在y＝－x的上方(如圖)． 所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，故可設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)． 由已知條件可得解得 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－y2＝1. 【答案】　(1)B　(2)－y2＝1 (1)求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的答題模板 (2)利用待定系數(shù)法求雙曲線方程的常用方法 ①與雙曲線－＝1共漸近線的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ②若雙曲線的漸近線方程為y＝±x，則雙曲線的方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； ③若雙曲線過兩個(gè)已知點(diǎn)，則雙曲線的方程可設(shè)為＋＝1(mn<0)或mx2＋ny2＝1(mn<0)．　 1．(

17、2020·安陽模擬)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(c，0)作其漸近線y＝x的垂線，垂足為M，若S△OMF＝4(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：選C.由題意易得解得 所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，故選C. 2．過雙曲線C：－＝1的右頂點(diǎn)作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點(diǎn)A.若以C的右焦點(diǎn)F為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－＝1 D．－＝1 解析：選A.因?yàn)闈u近線y＝x與直線x＝a交于點(diǎn)A(a，b)，c＝4且＝4，

18、解得a2＝4，b2＝12，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 3．經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)，Q(－6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 解析：設(shè)雙曲線的方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P(3，2)，Q(－6，7)，所以解得故所求雙曲線方程為－＝1. 答案：－＝1 　　　　　　雙曲線的幾何性質(zhì)(多維探究) 角度一　求雙曲線的焦點(diǎn)(距)、實(shí)、虛軸長 已知離心率為的雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C的一條漸近線上的點(diǎn)，且OM⊥MF2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若S△OMF2＝16，則雙曲線的實(shí)軸長是(　　) A．32 B．

19、16 C．84 D．4 【解析】　由題意知F2(c，0)，不妨令點(diǎn)M在漸近線y＝x上，由題意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以雙曲線C的實(shí)軸長為16.故選B. 【答案】　B 角度二　求雙曲線的漸近線方程 (1)(2020·福建廈門一模)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A，B是C的一條漸近線上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓過F且交C的左支于M，N兩點(diǎn)，若|MN|＝2，△ABF的面積為8，則C的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y

20、＝±x C．y＝±2x D．y＝±x (2)過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F作圓O：x2＋y2＝a2的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，雙曲線的左頂點(diǎn)為C，若∠ACB＝120°，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 【解析】　(1)設(shè)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)為F′，由雙曲線的對(duì)稱性，可得四邊形AFBF′是矩形， 所以S△ABF＝S△ABF′， 即bc＝8， 由可得y＝±， 則|MN|＝＝2，即b2＝c， 所以b＝2，c＝4， 所以a＝＝2， 所以C的漸近線方程為y＝±x， 故選B. (2)如圖所示，連接OA，OB，

21、 設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的焦距為2c(c>0)，則C(－a，0)，F(xiàn)(－c，0)． 由雙曲線和圓的對(duì)稱性知，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱，則∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°. 因?yàn)閨OA|＝|OC|＝a，所以△ACO為等邊三角形，所以∠AOC＝60°. 因?yàn)镕A與圓O相切于點(diǎn)A，所以O(shè)A⊥FA， 在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a， 所以b＝＝＝a， 故雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線方程為 y＝±x，即y＝±x. 【答案】　(1)B　(2)A 角度三　求雙曲線的離心率(或范

22、圍) (2019·高考全國卷Ⅱ)設(shè)F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2交于 P，Q兩點(diǎn)．若|PQ|＝|OF|，則C的離心率為(　　) A. B． C．2 D． 【解析】　如圖，由題意，知以O(shè)F為直徑的圓的方程為＋y2＝①，將x2＋y2＝a2記為②式，①－②得x＝，則以O(shè)F為直徑的圓與圓x2＋y2＝a2的相交弦所在直線的方程為x＝，所以|PQ|＝2.由|PQ|＝|OF|，得2＝c，整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，解得e＝，故選A. 【答案】　A 與雙曲線幾何性質(zhì)有關(guān)問題的解題策略

23、 (1)求雙曲線的離心率(或范圍)：依據(jù)題設(shè)條件，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的等式(或不等式)，解方程(或不等式)即可求得． (2)求雙曲線的漸近線方程：依據(jù)題設(shè)條件，求雙曲線中a，b的值或a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程． (3)求雙曲線方程：依據(jù)題設(shè)條件，求出a，b的值或依據(jù)雙曲線的定義，即可求雙曲線的方程． (4)求雙曲線焦點(diǎn)(焦距)、實(shí)虛軸的長：依題設(shè)條件及a，b，c之間的關(guān)系求解．　 1．(2019·高考全國卷Ⅲ)雙曲線C：－＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若|PO|＝|PF|，則△PFO的面積為(　　) A. B． C．2 D．3

24、 解析：選A.不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)題意可知c2＝6，所以|OF|＝. 又tan∠POF＝＝，所以等腰三角形POF的高h(yuǎn)＝×＝，所以S△PFO＝××＝. 2．(2020·廣東汕尾一模)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，A是雙曲線C的右頂點(diǎn)，過F作x軸的垂線，交雙曲線于M，N兩點(diǎn)．若tan∠MAN＝－，則雙曲線C的離心率為(　　) A．3 B．2 C. D． 解析：選B.由題意可知 tan∠MAN＝－＝， 解得tan∠MAF＝3， 可得＝3，可得c2＋2a2－3ac＝0，e2＋2－3e＝0， 因?yàn)閑＞1，所以解得e＝2. 故選B.

25、[基礎(chǔ)題組練] 1．“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A.因?yàn)榉匠蹋?表示雙曲線，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25， 所以“k<9”是“方程＋＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A. 2．雙曲線－＝1(a>0，b>0)的離心率為，則其漸近線方程為(　　) A．y＝±x　　　　 B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選A.法一：由題意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A. 法二

26、：由e＝＝＝，得＝，所以該雙曲線的漸近線方程為y＝±x＝±x，故選A. 3．(2020·廣東揭陽一模)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與雙曲線的四個(gè)交點(diǎn)組成一個(gè)正方形，則該雙曲線的離心率為(　　) A.－1 B． C. D．2 解析：選B.將x＝±c代入雙曲線的方程得y2＝?y＝±，則2c＝，即有ac＝b2＝c2－a2，由e＝，可得e2－e－1＝0，解得e＝(舍負(fù))．故選B. 4．設(shè)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)是F，左、右頂點(diǎn)分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)．若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線方程為(　　) A．

27、y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：選C. 如圖，不妨令B在x軸上方，因?yàn)锽C過右焦點(diǎn)F(c，0)，且垂直于x軸，所以可求得B，C兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.又A1，A2的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)． 所以＝，＝. 因?yàn)锳1B⊥A2C，所以·＝0， 即(c＋a)(c－a)－·＝0， 即c2－a2－＝0， 所以b2－＝0，故＝1，即＝1. 又雙曲線的漸近線的斜率為±， 故該雙曲線的漸近線的方程為y＝±x. 5．(2020·河北衡水三模)過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F(，0)作斜率為k(k＜－1)的直線與雙曲線過第一象限的漸近線垂直，

28、且垂足為A，交另一條漸近線于點(diǎn)B，若S△BOF＝(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則k的值為(　　) A．－ B．－2 C．－ D．－ 解析：選B.由題意得雙曲線過第一象限的漸近線方程為y＝－x，過第二象限的漸近線的方程為y＝x，直線FB的方程為y＝k(x－)，聯(lián)立方程得?x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝. 令＝，得k＝－2或k＝(舍)．故選B. 6．(2020·黃山模擬)過雙曲線E：－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)(－，0)，作圓(x－)2＋y2＝4的切線，切點(diǎn)在雙曲線E上，則E的離心率等于(　　) A．2 B． C. D． 解析：選B.設(shè)圓的圓心為G，雙曲

29、線的左焦點(diǎn)為F.由圓的方程(x－)2＋y2＝4，知圓心坐標(biāo)為G(，0)，半徑R＝2，則FG＝2. 設(shè)切點(diǎn)為P， 則GP⊥FP，PG＝2，PF＝2＋2a， 由|PF|2＋|PG|2＝|FG|2， 即(2＋2a)2＋4＝20， 即(2＋2a)2＝16，得2＋2a＝4，a＝1，又c＝， 所以雙曲線的離心率e＝＝，故選B. 7．設(shè)F為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，若線段OF的垂直平分線與雙曲線的漸近線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)到另一條漸近線的距離為|OF|，則雙曲線的離心率為(　　) A．2 B． C．2 D．3 解析：選B.雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±

30、x，線段OF的垂直平分線為直線x＝，將x＝代入y＝x，則y＝，則交點(diǎn)坐標(biāo)為， 點(diǎn)到直線y＝－x，即bx＋ay＝0的距離d＝＝|OF|＝，得c＝2b＝2，即4a2＝3c2， 所以雙曲線的離心率e＝＝，故選B. 8．已知雙曲線C：－y2＝1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則|MN|＝(　　) A. B．3 C．2 D．4 解析：選B.因?yàn)殡p曲線－y2＝1的漸近線方程為y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨設(shè)過點(diǎn)F的直線與直線y＝x交于點(diǎn)M，由△OMN為直角三角形，不妨設(shè)∠OMN＝90°，則∠MFO＝60°，又直線M

31、N過點(diǎn)F(2，0)，所以直線MN的方程為y＝－(x－2)， 由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故選B. 9．(2020·湛江模擬)設(shè)F為雙曲線E：－＝1(a，b＞0)的右焦點(diǎn)，過E的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與E的漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OAFB為菱形，圓x2＋y2＝c2(c2＝a2＋b2)與E在第一象限的交點(diǎn)是P，且|PF|＝－1，則雙曲線E的方程是(　　) A.－＝1 B．－＝1 C.－y2＝1 D．x2－＝1 解析：選D.雙曲線E：－＝1的漸近線方程為y＝±x， 因?yàn)樗倪呅蜲AFB為菱形， 所以對(duì)角線互相垂直平分，所以c＝2a，∠AO

32、F＝60°， 所以＝. 則有 解得P. 因?yàn)閨PF|＝－1， 所以＋＝(－1)2，解得a＝1， 則b＝， 故雙曲線E的方程為x2－＝1. 故選D. 10．已知雙曲線－＝1(b＞0)的左頂點(diǎn)為A，虛軸長為8，右焦點(diǎn)為F，且⊙F與雙曲線的漸近線相切，若過點(diǎn)A作⊙F的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，則|MN|＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．4 解析：選D.因?yàn)殡p曲線－＝1(b＞0)的虛軸長為8， 所以2b＝8，解得b＝4， 因?yàn)閍＝3， 所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x，c2＝a2＋b2＝25，A(－3，0)，所以c＝5，所以F(5，0)， 因?yàn)椤袴與

33、雙曲線的漸近線相切， 所以⊙F的半徑為＝4， 所以|MF|＝4， 因?yàn)閨AF|＝a＋c＝3＋5＝8， 所以|AM|＝＝4， 因?yàn)镾四邊形AMFN＝2×|AM|·|MF|＝|AF|·|MN|， 所以2××4×4＝×8|MN|， 解得|MN|＝4，故選D. 11．(2020·開封模擬)過雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線FM(切點(diǎn)為M)，交y軸于點(diǎn)P，若＝2，則雙曲線的離心率為(　　) A. B． C. D．2 解析：選B.設(shè)P(0，3m)，由＝2，可得點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)镺M⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2，所以M，由|OM|2＋|

34、MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e＝＝，故選B. 12．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，D為虛軸上的一個(gè)端點(diǎn)，且△ABD為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為(　　) A．(1，) B．(，) C．(，2) D．(1，)∪(，＋∞) 解析：選D.設(shè)雙曲線：－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F1(－c，0)， 令x＝－c，可得y＝±，可設(shè)A，B. 又設(shè)D(0，b)，可得＝，＝， ＝，＝. 由△ABD為鈍角三角形，可得∠DAB為鈍角或∠ADB為鈍角． 當(dāng)∠DAB為鈍角時(shí)，

35、可得·<0，即為0－·<0，化為a>b，即有a2>b2＝c2－a2.可得c2<2a2，即e＝<.又e>1，可得10，由e＝， 可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>. 綜上可得，e的范圍為(1，)∪(，＋∞)．故選D. 13．焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且與雙曲線－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是________． 解析：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 答案：－＝1 14．過雙曲線－＝

36、1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F1作圓x2＋y2＝a2的切線交雙曲線的右支于點(diǎn)P，且切點(diǎn)為T，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為線段PF1的中點(diǎn)(點(diǎn)M在切點(diǎn)T的右側(cè))，若△OTM的周長為4a，則雙曲線的漸近線方程為________． 解析：連接OT，則OT⊥F1T， 在直角三角形OTF1中，|F1T|＝＝＝b. 設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為F2，連接PF2，M為線段F1P的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)， 所以O(shè)M＝PF2， 所以|MO|－|MT|＝|PF2|－ ＝(|PF2|－|PF1|)＋b＝×(－2a)＋b＝b－a. 又|MO|＋|MT|＋|TO|＝4a，即|MO|＋|MT|＝3a， 故|MO|＝，|MT|

37、＝， 由勾股定理可得a2＋＝，即＝， 所以漸近線方程為y＝±x. 答案：y＝±x 15．已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)．若·<0，則y0的取值范圍是________． 解析：由題意知a＝，b＝1，c＝， 設(shè)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， 則＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． 因?yàn)椤?0， 所以(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0，y0)在雙曲線C上， 所以－y＝1，即x＝2＋2y， 所以2＋2y－3＋y<0，所以－

38、＝1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若直線y＝x與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且四邊形PF1QF2為矩形，則雙曲線的離心率為________． 解析：由題意可得，矩形的對(duì)角線長相等，將直線y＝x代入雙曲線C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因?yàn)閑>1，所以e2＝2＋，所以e＝. 答案： [綜合題組練] 1．過雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)F(－c，0)作圓O：x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，延長FE交雙曲線于點(diǎn)P，若E為線段FP的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為(　　) A. B． C

39、.＋1 D． 解析：選A. 法一：如圖所示，不妨設(shè)E在x軸上方，F(xiàn)′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接OE，PF′， 因?yàn)镻F是圓O的切線，所以O(shè)E⊥PE，又E，O分別為PF，F(xiàn)F′的中點(diǎn)，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根據(jù)雙曲線的性質(zhì)，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故選A. 法二：連接OE，因?yàn)閨OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，設(shè)F′為雙曲線的右焦點(diǎn)，連接PF′，因?yàn)镺，E分別為線段FF′，F(xiàn)P的中點(diǎn)，所以|PF|

40、＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝. 2．(2020·漢中模擬)設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)是雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是C右支上異于頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，PQ是∠F1PF2的平分線，過點(diǎn)F1作PQ的垂線，垂足為Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則|OQ|(　　) A．為定值a B．為定值b C．為定值c D．不確定，隨P點(diǎn)位置變化而變化 解析：選A.延長F1Q，PF2交于點(diǎn)M，則三角形PF1M為等腰三角形，可得Q為F1M的中點(diǎn)，由雙曲線的定義可得|PF1|－|PF2|＝|F2M|＝2a，由三角形中位線定理可得|OQ|＝|F

41、2M|＝a，故選A. 3．以橢圓＋＝1的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的雙曲線C，其左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2.已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，1)，雙曲線C上的點(diǎn)P(x0，y0)(x0>0，y0>0)滿足＝，則S△PMF1－S△PMF2＝(　　) A．2 B．4 C．1 D．－1 解析：選A.由題意，知雙曲線方程為－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2. 又結(jié)合平面幾何知識(shí)可得，△F1PF2的內(nèi)心在直線x＝2上，所以點(diǎn)M(2，1)就是△F1PF2的內(nèi)心． 故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2. 4．(2019·高

42、考全國卷Ⅰ)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)．若＝，·＝0，則C的離心率為________． 解析：通解：因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B，如圖． 所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因?yàn)椋剑渣c(diǎn)A為F1B的中點(diǎn)，又點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥BF2，所以F1B⊥OA，因?yàn)橹本€OA，OB為雙曲線C的兩條漸近線，所以tan ∠BF1O＝，tan ∠BOF2＝.因?yàn)閠an ∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，

43、即2a＝c，所以雙曲線的離心率e＝＝2. 優(yōu)解：因?yàn)椤ぃ?，所以F1B⊥F2B， 在Rt△F1BF2中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A為F1B的中點(diǎn)，所以O(shè)A∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2為等邊三角形．由F2(c，0)可得B，因?yàn)辄c(diǎn)B在直線y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2. 答案：2 5．已知雙曲線C：－y2＝1，直線l：y＝kx＋m與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)(A，B均異于左、右頂點(diǎn))，且以線段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D，則直線l所過定點(diǎn)為________． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B

44、(x2，y2)， 聯(lián)立 得(1－4k2)x2－8kmx－4(m2＋1)＝0， 所以Δ＝64m2k2＋16(1－4k2)(m2＋1)＞0，x1＋x2＝＞0，x1x2＝＜0，所以y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝. 因?yàn)橐跃€段AB為直徑的圓過雙曲線C的左頂點(diǎn)D(－2，0)，所以kAD·kBD＝－1， 即·＝－1， 所以y1y2＋x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝0， 即＋＋＋4＝0， 所以3m2－16mk＋20k2＝0，解得m＝2k或m＝. 當(dāng)m＝2k時(shí)，l的方程為y＝k(x＋2)，直線過定點(diǎn)(－2，0)，與已知矛盾； 當(dāng)m＝時(shí)，l的

45、方程為y＝k，直線過定點(diǎn)，經(jīng)檢驗(yàn)符合已知條件． 故直線l過定點(diǎn). 答案： 6．已知P為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)右支上的任意一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P的直線與雙曲線C的兩條漸近線分別相交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)A，B分別位于第一、四象限，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)＝時(shí)，△AOB的面積為2b，則雙曲線C的實(shí)軸長為________． 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，由＝，得(x－x1，y－y1)＝(x2－x，y2－y)， 則x＝x1＋x2，y＝y(tǒng)1＋y2， 所以－＝1. 由題意知A在直線y＝x上，B在y＝－x上，則y1＝x1，y2＝－x2. 所以－＝1，即b2(x1＋x2)2－a2(x1－x2)2＝a2b2， 化簡得：a2＝x1x2， 由漸近線的對(duì)稱性可得sin∠AOB＝sin 2∠AOx ＝＝＝＝. 所以△AOB的面積為|OA||OB|sin∠AOB＝··sin∠AOB ＝·· ＝x1x2··· ＝a2··[1＋()2]＝ab＝2b，解得a＝.所以雙曲線C的實(shí)軸長為. 答案： 26