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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題能力訓(xùn)練15 橢圓、雙曲線與拋物線 文 一、選擇題 1.(xx四川內(nèi)江四模)雙曲線=1的離心率e=(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B. C. D.3 2.(xx河北唐山二模)已知橢圓C1:=1(a>b>0)與圓C2:x2+y2=b2,若在橢圓C1上存在點(diǎn)P,使得由點(diǎn)P所作的圓C2的兩條切線互相垂直,則橢圓C1的離心率的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 3.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的兩條漸近線均和圓C:x2+y2-6x+5=0相切,且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓C的圓心,則該雙曲線的方程為(　　) A.=1 B.=

2、1 C.=1 D.=1 4.(xx課標(biāo)全國(guó)Ⅰ高考,文10)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 5.已知實(shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,則圓錐曲線+y2=1的離心率為(　　) A. B. C. D. 6.(xx四川涼山州第二次診斷)若F1,F2是雙曲線=1的兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P是該雙曲線上一點(diǎn),滿足|PF1|+|PF2|=9,則|PF1|·|PF2|=(　　) A.4 B.5 C.1 D. 二、填空題 7.(xx四川資陽(yáng)模擬)頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸,并且經(jīng)過點(diǎn)P(-4,-2)的拋物

3、線方程是　　　　　.? 8.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為.過F1的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為16,那么橢圓C的方程為　　　　　.? 9.(xx山東高考,文15)已知雙曲線=1(a>0,b>0)的焦距為2c,右頂點(diǎn)為A,拋物線x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)為F,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為2c,且|FA|=c,則雙曲線的漸近線方程為　　　　　.? 三、解答題 10.已知橢圓C:=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)F及點(diǎn)A(0,b),原點(diǎn)O到直線FA的距離為b. (1)求橢圓C的離心率e; (2)若點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=

4、0的對(duì)稱點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上,求橢圓C的方程及點(diǎn)P的坐標(biāo). 11.(xx福建高考,文21)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程; (2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論. 12.過橢圓=1(a>b>0)的左頂點(diǎn)A作斜率為2的直線,與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為B,與y軸的交點(diǎn)為C,已知. (1)求橢圓的離心率;

5、(2)設(shè)動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線x=4相交于點(diǎn)Q,若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0),使得PM⊥QM,求橢圓的方程. 專題能力訓(xùn)練15　橢圓、雙曲線與拋物線 1.A　解析:由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知c2=16+48=64, ∴c=8,a=4.∴e==2. 2.C　解析:從橢圓上長(zhǎng)軸端點(diǎn)向圓引兩條切線P'A,P'B, 則兩切線形成的角∠AP'B最小. 若橢圓C1上存在點(diǎn)P',令切線互相垂直, 則只需∠AP'B≤90°, 即α=∠AP'O≤45°, ∴sinα=≤sin45°=. 又b2=a2

6、-c2,∴a2≤2c2, ∴e2≥,即e≥.又∵00,b>0)的兩條漸近線的方程為y=±x,即bx±ay=0. 又圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+y2=4, 半徑為2,圓心坐標(biāo)為(3,0), ∴a2+b2=9,且=2, 解得a2=5,b2=4. ∴該雙曲線的方程為=1. 4.A　解析:由拋物線方程y2=x知,2p=1,, 即其準(zhǔn)線方程為x=-. 因?yàn)辄c(diǎn)A在拋物線上,由拋物線的定義知 |AF|=x0+=x0+, 于是x0=x0+, 解得x0=1,故選A. 5.C　解析:因?yàn)橐阎獙?shí)數(shù)4,m,9構(gòu)成一

7、個(gè)等比數(shù)列, 所以可得m2=36,解得m=6或m=-6. 當(dāng)圓錐曲線為橢圓時(shí), 即+y2=1的方程為+y2=1. 所以a2=6,b2=1,則c2=a2-b2=5. 所以離心率e=. 當(dāng)是雙曲線時(shí)可求得離心率為. 故選C. 6.D　解析:由題意結(jié)合雙曲線的定義知 ||PF1|-|PF2||=4. 則由 可解得|PF1|·|PF2|=. 故選D. 7.=1　解析:由橢圓的第一定義可知△ABF2的周長(zhǎng)為4a=16,得a=4, 又離心率為,即, 所以c=2. 故a2=16,b2=a2-c2=16-8=8, 橢圓C的方程為=1. 8.y=±x　解析:由已知得|OA|=

8、a. ∵|AF|=c, ∴|OF|==b, ∴b=. ∴拋物線的準(zhǔn)線y=-=-b. 把y=-b代入雙曲線=1得x2=2a2, ∴直線y=-被雙曲線截得的線段長(zhǎng)為2a, 從而2a=2c. ∴c=a,∴a2+b2=2a2,∴a=b, ∴漸近線方程為y=±x. 9.解:(1)由點(diǎn)F(-ae,0),點(diǎn)A(0,b),及b=,得直線FA的方程為=1, 即x-ey+ae=0. ∵原點(diǎn)O到直線FA的距離為b=ae, ∴·a=ae, 解得e=. (2)設(shè)橢圓C的左焦點(diǎn)F關(guān)于直線l:2x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)為P(x0,y0), 則有 解得x0=a,y0=a. ∵點(diǎn)P在圓x2+y

9、2=4上, ∴=4. ∴a2=8,b2=(1-e2)a2=4. 故橢圓C的方程為=1, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 10.解法一:(1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn), 依題意,點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等, 所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線, 所以曲線Γ的方程為x2=4y. (2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變.證明如下: 由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2, 設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=, 由y'=x,得切線l的斜率k=y'x0, 所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0), 即y=x0x

10、-. 由得A. 由 得M. 又N(0,3),所以圓心C, 半徑r=|MN|=, |AB|= = =. 所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)時(shí), 線段AB的長(zhǎng)度不變. 解法二:(1)設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn), 則|y-(-3)|-=2, 依題意,點(diǎn)S(x,y)只能在直線y=-3的上方, 所以y>-3, 所以=y+1, 化簡(jiǎn)得,曲線Γ的方程為x2=4y. (2)同解法一. 11.解:(1)由題意可知A(-a,0), 設(shè)直線方程為y=2(x+a),B(x1,y1). 令x=0,得y=2a,∴C(0,2a). ∴=(x1+a,y1), =(-x1,2a-y1).

11、 ∵, ∴x1+a=(-x1),y1=(2a-y1), 整理得x1=-a,y1=a. ∵B點(diǎn)在橢圓上, ∴=1. ∴.∴,即1-e2=,∴e=. (2)∵,可設(shè)b2=3t,a2=4t(t>0), ∴橢圓的方程為3x2+4y2-12t=0, 由 得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12t=0. ∵動(dòng)直線y=kx+m與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P, ∴Δ=0,即64k2m2-4(3+4m2)(4m2-12t)=0,整理得m2=3t+4k2t. 設(shè)P(x1,y1),則有x1=-=-, y1=kx1+m=, ∴P. 又M(1,0),Q(4,4k+m), 若x軸上存在一定點(diǎn)M(1,0), 使得PM⊥QM, 則=0, 即·(-3,-(4k+m))=0恒成立, 整理得3+4k2=m2, ∴3+4k2=3t+4k2t恒成立. ∴t=1,故所求橢圓方程為=1.