《2022年高考數(shù)學專題復習 第25講 平面向量基本定理及坐標表示練習 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數(shù)學專題復習 第25講 平面向量基本定理及坐標表示練習 新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高考數(shù)學專題復習 第25講 平面向量基本定理及坐標表示練習 新人教A版 [考情展望]　1.考查用平面向量的坐標運算進行向量的線性運算.2.考查應用平面向量基本定理進行向量的線性運算.3.以向量的坐標運算及共線向量定理為載體，考查學生分析問題和解決問題的能力． 一、平面向量基本定理 　如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于該平面內任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一組基底． 二、平面向量的坐標運算及向量平行的坐標表示 1．平面向量的坐標運算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(b≠0)，則a±b＝

2、(x1±x2，y1±y2)． (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. (3)若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)． 2．向量平行的坐標表示 (1)如果a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件為x1y2－x2y1＝0. (2)三點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)共線的充要條件為(x2－x1)(y3－y1)－(x3－x1)(y2－y1)＝0. 共線向量的坐標表示 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－

3、x2y1＝0. 1．下列各組向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝(，－)，能作為表示它們所在平面內所有向量基底的是(　　) A．①　　　　B．①③　　　C．②③　　　D．①②③ 【解析】 　②中，e2＝2e1，e1與e2共線；③中e1＝4e2，e1與e2共線，故選A. 【答案】　A 2．若a＝(3,2)，b＝(0，－1)，則2b－a的坐標是(　　) A．(3，－4) B．(－3,4) C．(3,4) D．(－3，－4) 【解析】 　2b－a＝2(0，－1)－(3,2)＝(－3，－4)．

4、【答案】　D 3．已知a＝(4,5)，b＝(8，y)且a∥b，則y等于(　　) A．5 B．10 C. D．15 【解析】 　∵a∥b，∴4y－40＝0，∴y＝10. 【答案】　B 4．在平行四邊形ABCD中，若＝(1,3)，＝(2,5)，則＝________，＝________. 【解析】 ?。剑剑?2,5)－(1,3)＝(1,2)，＝－＝(1,2)－(1,3)＝(0，－1)． 【答案】　(1,2)　(0，－1) 5．(xx·廣東高考)設a是已知的平面向量且a≠0.關于向量a的分解，有如下四個命題： ①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c； ②給定向

5、量b和c，總存在實數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μ c； ③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實數(shù)λ，使a＝λb＋μ c； ④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c. 上述命題中的向量b，c和a在同一平面內且兩兩不共線，則真命題的個數(shù)是(　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4 【解析】 　顯然命題①②是正確的． 對于③，以a的終點作長度為μ的圓，這個圓必須和向量λb有交點，這個不一定能滿足，③是錯的，對于命題④，若λ＝μ＝1，|a|＞2時，與|a|＝|b＋c|≤|b|＋|c|＝2矛盾，則④不正確． 【答案】　B 6．(xx·北京高考)

6、向量a，b，c在正方形 圖4－2－1 網格中的位置如圖4－2－1所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則＝________. 【解析】 　以向量a的終點為原點，過該點的水平和豎直的網格線所在直線為x軸、y軸建立平面直角坐標系，設一個小正方形網格的邊長為1，則a＝(－1,1)，b＝(6,2)，c＝(－1，－3)．由c＝λa＋ μb，即(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)，得－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，故λ＝－2，μ＝－，則＝4. 【答案】　4 考向一 [074]　平面向量基本定理及其應用 　(1)(xx·長春模擬)在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC

7、的中點．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________. 圖4－2－2 (2)如圖4－2－2，在四邊形ABCD中，AC和BD相交于點O，設＝a，＝b，若＝2，則＝________(用向量a和b表示)． 【思路點撥】　(1)以，為基底分別表示，，，根據平面向量基本定理列方程組求解． (2)＝2―→＝―→借助三角形法則表示. 【嘗試解答】　(1)選擇，作為平面向量的一組基底，則＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝(λ＋μ)＋(λ＋μ)， 于是得解得 所以λ＋μ＝. (2)由＝2知，AB∥DC且||＝2||，從而||＝2||.∴＝＝(－)＝(a－b)， ∴＝＋＝b＋(a－

8、b)＝a＋b. 【答案】　(1)　(2)a＋ 規(guī)律方法1　1.解答本例(1)的關鍵是根據平面向量基本定理列出關于λ，μ的方程組． 2．(1)利用平面向量基本定理表示向量時，要選擇一組恰當?shù)幕讈肀硎酒渌蛄?，即用特殊向量表示一般向量．常與待定系數(shù)法、方程思想緊密聯(lián)系在一起解決問題． (2)利用已知向量表示未知向量，實質就是利用三角形法則進行向量的加減運算，在解題時，注意方程思想的運用． 對點訓練　(xx·江蘇高考)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 【解析】 　由題意＝－＝－＝

9、(－)＋＝－＋，于是λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. 【答案】　 考向二 [075]　平面向量的坐標運算 　已知O(0,0)，A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)． 設＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求：3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (3)求M、N的坐標及向量的坐標． 【思路點撥】　利用向量的坐標運算及向量的坐標與其起點、終點坐標的關系求解． 【嘗試解答】　a＝＝(3－(－2)，－1－4)＝(5，－5)， b＝＝(－3－3，－4－(－1))＝(－6，－3)， c＝＝(－2－(－3)，4－(－4))＝(1,8)．

10、(1)3a＋b－3c＝(15，－15)＋(－6，－3)－(3,24) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)由a＝mb＋nc，得(5，－5)＝(－6m，－3m)＋(n,8n) ＝(－6m＋n，－3m＋8n)． ∴解得 (3)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)． ∴＝(9，－18)． 規(guī)律方法2　1.向量的坐標運算主要是利用向量加減、數(shù)乘運算的法則進行.若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標

11、，注意方程思想的應用. 2.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言——“坐標語言”，實質是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結合起來. 對點訓練　如圖4－2－3，已知平行四邊形的三個頂點坐標分別為A(4,3)，B(3，－1)，C(1，－2)，求第四個頂點D的坐標． 圖4－2－3 【解】　設頂點D(x，y)． 若平行四邊形四個頂點的順序為ABCD， 則＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， ＝(1－x，－2－y)． 由＝，得解得 故第四個頂點D的坐標為(2,2)； 若平行四邊形四個頂點的順序

12、為ACBD， 則＝(1－4，－2－3)＝(－3，－5)， ＝(3－x，－1－y)． 由＝，得解得 故第四個頂點D的坐標為(6,4)； 若平行四邊形四個頂點的順序為ABDC， 則＝(3－4，－1－3)＝(－1，－4)， ＝(x－1，y＋2)． 由＝，得解得 故第四個頂點D的坐標為(0，－6)． 綜上，第四個頂點D的坐標是(2,2)或(6,4)或(0，－6)． 考向三 [076]　平面向量共線的坐標表示 　(1)設向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________． (2)(xx·青島期中)向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b

13、，則cos 2α＝(　　) A．－　　　　B.　　　　C．－　　　　D. 【思路點撥】　(1)根據a與b的關系，設出a的坐標，再根據|a|＝2求解； (2)由向量平行關系的坐標表示列出等式，求出sin α后，再利用二倍角公式進行求解． 【嘗試解答】　(1)∵a與b的方向相反且b＝(2,1)， ∴設a＝λb＝(2λ，λ)，λ＜0， 又|a|＝2， ∴4λ2＋λ2＝20，即λ2＝4， 又λ＜0，∴λ＝－2，因此a＝(－4，－2)． (2)∵a＝，b＝(cos α，1)， 又由a∥b可知＝tan αcos α，即sin α＝， ∴cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝. 【答

14、案】　(1)(－4，－2)　(2)D 規(guī)律方法3　1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(a≠0)，則b＝λa. 2．向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數(shù)．當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解． 對點訓練　(1)已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝(　　) A.　　　B.　　　C．1　　　D．2 (2)已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A、B、C能構

15、成三角形，則實數(shù)m滿足的條件是________． 【解析】 　(1)∵a＝(1,2)，b＝(1,0)， ∴a＋λb＝(1,2)＋λ(1,0)＝(1＋λ，2)， 由于(a＋λb)∥c，且c＝(3,4)， ∴4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝. (2)因為＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，所以＝(3,1)，＝(－m－1，－m)．由于點A、B、C能構成三角形，所以與不共線，而當與共線時，有＝，解得m＝， 故當點A、B、C能構成三角形時實數(shù)m滿足的條件是m≠. 【答案】　(1)B　(2)m≠ 思想方法之十二　待定系數(shù)法在向量運算中的應用 根據向量之間的關系，利用

16、待定系數(shù)法列出一個含有待定系數(shù)的恒等式，然后根據恒等式的性質求出各待定系數(shù)的值或消去這些待定系數(shù)，找出原來那些系數(shù)之間的關系，從而使問題得到解決． ————　[1個示范例]　————　[1個對點練]　———— 　　　如圖4－2－4所示，在△OAB中，＝，＝，AD與BC交于點M，設＝a， 圖4－2－4 ＝b，利用a和b表示向量. 【解】　設＝ma＋nb，則＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. ＝－＝－＝b－a.因為A、M、D三點共線，所以存在實數(shù)λ，使 ＝λ，即(m－1)a＋nb＝－λa＋b. 所以消去λ，得m＋2n＝1，① 同理＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb， ＝

17、－＝b－a，因為C、M、B三點共線， 所以存在實數(shù)t，使＝t， 即a＋nb＝t. 所以 消去t，得4m＋n＝1，② 聯(lián)立①②，得m＝，n＝，所以＝a＋b. 圖4－2－5 　如圖4－2－5所示，M是△ABC內一點，且滿足條件＋2＋3＝0，延長CM交AB于N，令＝a，試用a表示. 【解】　因為＝＋，＝＋， 所以由＋2＋3＝0，得 (＋)＋2(＋)＋3＝0， 所以＋3＋2＋3＝0. 又因為A，N，B三點共線，C，M，N三點共線， 由平面向量基本定理，設＝λ，＝μ， 所以λ＋3＋2＋3μ＝0. 所以(λ＋2)＋(3＋3μ)＝0. 由于和不共線，由平面向量基本定理， 得所以 所以＝－＝，＝＋＝2＝2a.