8、△OAB的直觀圖O′A′B′(如圖).D′為O′A′的中點.易知D′B′＝DB(D為OA的中點)，∴S△O′A′B′＝×S△OAB＝×a2＝a2.
答案 a2
考點一 簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征
【例1】 (1)給出下列命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓柱的母線；
②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；
③棱臺的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長一定相等.
其中正確命題的個數(shù)是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
(2)以下命題：
①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；
②圓柱、圓錐、圓臺
9、的底面都是圓面；
③一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺.
其中正確命題的個數(shù)為( )
A.0 B.1 C.2 D.3
解析 (1)①不一定，只有當(dāng)這兩點的連線平行于軸時才是母線；
②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個同底圓錐組成的幾何體；③錯誤，棱臺的上、下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.
(2)由圓臺的定義可知①錯誤，②正確.對于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，③不正確.
答案 (1)A (2)B
規(guī)律方法 1.關(guān)
10、于簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征辨析關(guān)鍵是緊扣各種簡單幾何體的概念，要善于通過舉反例對概念進(jìn)行辨析，即要說明一個命題是錯誤的，只需舉一個反例.
2.圓柱、圓錐、圓臺的有關(guān)元素都集中在軸截面上，解題時要注意用好軸截面中各元素的關(guān)系.
3.既然棱(圓)臺是由棱(圓)錐定義的，所以在解決棱(圓)臺問題時，要注意“還臺為錐”的解題策略.
【訓(xùn)練1】 給出下列命題：
①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；
②在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；
③存在每個面都是直角三角形的四面體；
④棱臺的側(cè)棱延長后交于一點.
其中正確命題的序號是________.
解
11、析?、俨徽_，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個面都是直角三角形；
④正確，由棱臺的概念可知.
答案?、冖邰?
考點二 簡單幾何體的三視圖(多維探究)
命題角度1 由簡單幾何體的直觀圖判斷三視圖
【例2－1】 “牟合方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個和諧優(yōu)美的幾何體.它由完全相同的四個曲面構(gòu)成，相對的兩個曲面在同一個圓柱的側(cè)面上，好似兩個扣合(牟合)在一起的方形傘(方蓋).其直觀圖如圖，圖中四邊形是為
12、體現(xiàn)其直觀性所作的輔助線.當(dāng)其主視圖和左視圖完全相同時，它的俯視圖可能是( )
解析 由直觀圖知，俯視圖應(yīng)為正方形，又上半部分相鄰兩曲面的交線為可見線，在俯視圖中應(yīng)為實線，因此，選項B可以是幾何體的俯視圖.
答案 B
命題角度2 由三視圖判斷幾何體
【例2－2】 (1)(2014·全國Ⅰ卷)如圖，網(wǎng)格紙的各小格都是正方形，粗實線畫出的是一個幾何體的三視圖，則這個幾何體是( )
A.三棱錐 B.三棱柱
C.四棱錐 D.四棱柱
(2)(2017·北京卷)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為( )
A.3 B.2 C.2
13、D.2
解析 (1)由題知，該幾何體的三視圖為一個三角形、兩個四邊形，經(jīng)分析可知該幾何體為三棱柱.
(2)由三視圖知可把四棱錐放在一個正方體內(nèi)部，四棱錐為D－BCC1B1，最長棱為DB1，且DB1＝
＝＝2.
答案 (1)B (2)B
規(guī)律方法 1.由直觀圖確定三視圖，一要根據(jù)三視圖的含義及畫法和擺放規(guī)則確認(rèn).二要熟悉常見幾何體的三視圖.
2.由三視圖還原到直觀圖的思路
(1)根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面.
(2)根據(jù)主視圖或左視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實線和虛線所對應(yīng)的棱、面的位置.
(3)確定幾何體的直觀圖形狀.
【訓(xùn)練2】 (1)(2018·惠州模擬)如圖，
14、在底面邊長為1，高為2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點，則三棱錐P－BCD的主視圖與左視圖的面積之和為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2017·浙江卷)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是( )
A.＋1 B.＋3 C.＋1 D.＋3
解析 (1)設(shè)點P在平面A1ADD1的射影為P′，在平面C1CDD1的射影為P″，如圖所示.
∴三棱錐P－BCD的主視圖與左視圖分別為△P′AD與△P″CD，
因此所求面積S＝S△P′AD＋S△P″CD
＝×1×2＋×1
15、×2＝2.
(2)由三視圖可知，該幾何體是半個圓錐和一個三棱錐的組合體，半圓錐的底面半徑為1，高為3，三棱錐的底面積為×2×1＝1，高為3.
故原幾何體體積為：V＝×π×12×3×＋1×3×＝＋1.
答案 (1)B (2)A
考點三 簡單幾何體的直觀圖
【例3】 有一塊多邊形的菜地，它的水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形(如圖所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，則這塊菜地的面積為________.
解析 如圖1，在直觀圖中，過點A作AE⊥BC，垂足為E.
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.
又四邊形AECD為矩形，AD＝EC＝
16、1.
∴BC＝BE＋EC＝＋1.
由此還原為原圖形如圖2所示，是直角梯形A′B′C′D′.
在梯形A′B′C′D′中，A′D′＝1，B′C′＝＋1，A′B′＝2.
∴這塊菜地的面積S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′
＝××2＝2＋.
答案 2＋
規(guī)律方法 1.畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測”(平行于y軸的線段長度減半，平行于x軸和z軸的線段長度不變)來掌握.對直觀圖的考查有兩個方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量.
2.按照斜二測畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)
17、系：S直觀圖＝S原圖形.
【訓(xùn)練3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為________.
解析 如圖所示，作出等腰梯形ABCD的直觀圖.
因為OE＝＝1，所以O(shè)′E′＝，E′F＝.
則直觀圖A′B′C′D′的面積S′＝×＝.
答案
基礎(chǔ)鞏固題組
(建議用時：25分鐘)
一、選擇題
1.某簡單幾何體的主視圖是三角形，則該幾何體不可能是( )
A.圓柱 B.圓錐 C.四面體 D.三棱柱
解析 由三視圖知識知圓錐、四面體、三棱柱(放倒看)都能使其
18、主視圖為三角形，而圓柱的主視圖不可能為三角形.
答案 A
2.(2018·衡水中學(xué)月考)將長方體截去一個四棱錐后得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的左視圖為( )
解析 易知左視圖的投影面為矩形，又AF的投影線為虛線，即為左下角到右上角的對角線，∴該幾何體的左視圖為選項D.
答案 D
3.(2017·北京卷)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為( )
A.60 B.30 C.20 D.10
解析 由三視圖知可把三棱錐放在一個長方體內(nèi)部，即三棱錐A1－BCD，VA1－BCD＝××3×5×4＝10.
答案 D
4.如圖是一幾何體的直觀圖、主視
19、圖和俯視圖，該幾何體的左視圖為( )
解析 由直觀圖和主視圖、俯視圖可知，該幾何體的左視圖應(yīng)為面PAD，且EC投影在面PAD上且為實線，點E的投影點為PA的中點，故B正確.
答案 B
5.下列結(jié)論正確的是( )
A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐
B.夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體還是一個旋轉(zhuǎn)體
C.棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐
D.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線都是母線
解析 如圖1知，A不正確.如圖2，兩個平行平面與底面不平行時，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，則B不正確.
若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由
20、幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，C錯誤.由母線的概念知，選項D正確.
答案 D
6.某幾何體的主視圖和左視圖均為如圖所示的圖形，則在下圖的四個圖中可以作為該幾何體的俯視圖的是( )
A.①③ B.①④
C.②④ D.①②③④
解析 由主視圖和左視圖知，該幾何體為球與正四棱柱或球與圓柱體的組合體，故①③正確.
答案 A
7.(2015·全國Ⅱ卷)一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( )
A. B.
C. D.
解析 由已知三視圖知該幾何體是由一個正方體截去
21、了一個“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個三棱錐.設(shè)正方體的棱長為1，則三棱錐的體積為V1＝××1×1×1＝.
剩余部分的體積V2＝13－＝，因此，＝.
答案 D
8.(2018·上饒模擬)某三棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖為直角三角形，則該三棱錐最長的棱長等于( )
A.4 B.
C. D.5
解析 根據(jù)幾何體的三視圖，知該幾何體是底面為直角三角形，兩側(cè)面垂直于底面，高為5的三棱錐P－ABC(如圖所示).
棱錐最長的棱長PA＝＝.
答案 C
二、填空題
9.(2018·龍巖聯(lián)考)一水平放置的平面四邊形OABC，用斜二測畫法畫出它的直觀圖O′
22、A′B′C′如圖所示，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面四邊形OABC面積為________.
解析 因為直觀圖的面積是原圖形面積的倍，且直觀圖的面積為1，所以原圖形的面積為2.
答案 2
10.已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，左視圖是一個面積為的矩形，則該正方體的主視圖的面積等于________.
解析 由題知此正方體的主視圖與左視圖是一樣的，主視圖的面積與左視圖的面積相等為.
答案
11.(2018·蘭州模擬)正四棱錐的底面邊長為2，側(cè)棱長均為，其主視圖和左視圖是全等的等腰三角形，則主視圖的周長為________.
解析 由題意知，主視圖就是
23、如圖所示的截面PEF，其中E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，連接AO，易得AO＝，又PA＝，于是解得PO＝1，所以PE＝，故其主視圖的周長為2＋2.
答案 2＋2
12.(2017·山東卷)由一個長方體和兩個圓柱構(gòu)成的幾何體的三視圖如圖，則該幾何體的體積為________.
解析 該幾何體由一個長、寬、高分別為2，1，1的長方體和兩個半徑為1，高為1的圓柱體構(gòu)成.
所以V＝2×1×1＋2××π×12×1＝2＋.
答案 2＋
能力提升題組
(建議用時：10分鐘)
13.(2018·石家莊質(zhì)檢)一個三棱錐的主視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的左視圖可能為( )
解析 由
24、題圖可知，該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.所以該三棱錐的左視圖可能為選項D.
答案 D
14.如圖是一個體積為10的簡單幾何體的三視圖，則圖中x的值為( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 根據(jù)給定的三視圖可知，該幾何體對應(yīng)的直觀圖是一個長方體和四棱錐的組合體，所以幾何體的體積V＝3×2×1＋×3×2×x＝10，解之得x＝2.
答案 A
15.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為________.
解析 由題中三視圖可知，三棱錐的直觀圖如圖所示，其中PA⊥平面ABC，M為AC的中點，且BM⊥AC.故該三棱錐的最長棱為PC.在Rt△PAC中，PC＝＝＝2.
答案 2
16.(2016·北京卷)某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________.
解析 由題中三視圖可畫出長為2、寬為1、高為1的長方體，將該幾何體還原到長方體中，如圖所示，該幾何體為四棱柱ABCD－A′B′C′D′.
故該四棱柱的體積
V＝Sh＝×(1＋2)×1×1＝.
答案
15
2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何初步 第1節(jié) 簡單幾何體的結(jié)構(gòu)、三視圖和直觀圖學(xué)案 北師大版
