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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第2講 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.直接考查“若p，則q”形式的四種命題及其真假性的判定.2.以函數(shù)、方程、不等式等知識(shí)為載體，考查充分必要條件的判定方式.3.借助充要條件探索命題成立的依據(jù)． 一、四種命題及其關(guān)系 1．四種命題間的相互關(guān)系： 2．四種命題的真假關(guān)系 (1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性； (2)兩個(gè)命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系． 二、充分條件與必要條件 1．如果p?q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． 2．如果p?q，那么p與q互為充要條件． 3

2、．如果pD/?q，且qD/?p，則p是q的既不充分又不必要條件． 充分條件與必要條件的兩個(gè)特征 (1)對(duì)稱性：若p是q的充分條件，則q是p的必要條件，即“p?q”?“q?p”； (2)傳遞性：若p是q的充分(必要)條件，q是r的充分(必要)條件，則p是r的充分(必要)條件． 注意區(qū)分“p是q的充分不必要條件”與“p的一個(gè)充分不必要條件是q”兩者的不同，前者是“p?q”而后者是“q?p”． 1．已知a，b，c∈R，命題“若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋c2≥3”的否命題是(　　) A．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3 B．若a＋b＋c＝3，則a2＋b2＋

3、c2＜3 C．若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2≥3 D．若a2＋b2＋c2≥3，則a＋b＋c＝3 【解析】　命題“若p，則q”的否命題是“若綈p，則綈q”，將條件與結(jié)論進(jìn)行否定． ∴否命題是：若a＋b＋c≠3，則a2＋b2＋c2＜3. 【答案】　A 2．命題“若α＝，則tan α＝1”的逆否命題是(　　) A．若α≠，則tan α≠1　　 B．若α＝，則tan α≠1 C．若tan α≠1，則α≠ D．若tan α≠1，則α＝ 【解析】　由命題與其逆否命題之間的關(guān)系可知，原命題的逆否命題是：若tan α≠1，則α≠. 【答案】　C 3．命題“若a＞－3，則a＞－6

4、”以及它的逆命題、否命題、逆否命題中假命題的個(gè)數(shù)為(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 【解析】　原命題正確，從而其逆否命題正確；其逆命題為“若a＞－6，則a＞－3”是假命題，從而其否命題也是假命題，故選B. 【答案】　B 4．下列命題正確的有________． ①“a＞b”是“a2＞b2”的充分條件； ②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的充要條件； ③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要條件； ④“a＞b”是“ac2＞bc2”的充要條件． 【解析】　由于|a|＞|b|?a2＞b2，a＞b?a＋c＞b＋c，故②③正確．由于a＞bD/?a2＞b2，且a2

5、＞b2D/?a＞b，故①錯(cuò)；當(dāng)c2＝0時(shí)，a＞bD/?ac2＞bc2，故④錯(cuò)． 【答案】　②③ 5．(xx·安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 【解析】　當(dāng)x＝0時(shí)，顯然(2x－1)x＝0；當(dāng)(2x－1)x＝0時(shí)，x＝0或x＝，所以“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的必要不充分條件． 【答案】　B 6．(xx·湖南高考)“1

6、　設(shè)A＝{x|1

7、(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)”是真命題； ②命題“若a＝0，則ab＝0”的否命題是“若a≠0，則ab≠0”； ③命題“正多邊形都相似”的逆命題為真命題； ④命題“若a∈M，則b?M”與命題“若b∈M，則a?M”等價(jià)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)直接根據(jù)逆否命題的定義寫(xiě)出，但應(yīng)注意“都是”的否定是“不都是”． (2)借助命題真假的判斷方式逐一辨析即可． 【嘗試解答】　(1)“x＋y是偶數(shù)”的否定為“x＋y不是偶數(shù)”，“x，y都是偶數(shù)”的否定為“x，y不都是偶數(shù)”．因此其逆否命題為“若x＋y不是偶數(shù)，則x，y不都是偶數(shù)”．故選C. (2)①由log2a＞0可知a＞1，故函數(shù)f(x

8、)＝logax(a＞0，a≠1)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，故①錯(cuò)誤． ②正確． ③的逆命題為“相似的多邊形是正多邊形”是假命題，故③錯(cuò)誤． ④正確．原命題與其逆否命題是等價(jià)命題． 【答案】　(1)C　(2)②④ 規(guī)律方法1　1.(1)在判斷四種命題之間的關(guān)系時(shí)，首先要分清命題的條件與結(jié)論，再考查每個(gè)命題的條件與結(jié)論之間的關(guān)系．(2)當(dāng)一個(gè)命題有大前提而需寫(xiě)出其他三種命題時(shí)，必須保留大前提不變． 2．判定命題為真，必須推理證明；若說(shuō)明為假，只需舉出一個(gè)反例．互為逆否命題是等價(jià)命題，根據(jù)需要，可相互轉(zhuǎn)化． 考向二 [005]　充分條件與必要條件的判定 　(1)(xx·北京高考)“φ＝π

9、”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的(　　) A．充分而不必要條件　　　 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(xx·山東高考)給定兩個(gè)命題p，q.若綈p是q的必要而不充分條件，則p是綈q的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【思路點(diǎn)撥】　(1)根據(jù)曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)原點(diǎn)時(shí)sin φ＝0以及舉反例法求解． (2)借助原命題與逆否命題的等價(jià)判斷． 【嘗試解答】　(1)當(dāng)φ＝π時(shí)，y＝sin(2x＋φ)＝sin(2x＋π)＝－sin 2x，此時(shí)曲線y＝sin

10、(2x＋φ)必過(guò)原點(diǎn)，但曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的充分而不必要條件． (2)若綈p是q的必要不充分條件，則q?綈p但綈pD/?q，其逆否命題為p?綈q但綈qD/?p，∴p是綈q的充分不必要條件． 【答案】　(1)A　(2)A 規(guī)律方法2　充分、必要條件的三種判斷方法 1．定義法：直接判斷“若p則q”、“若q則p”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“p?q”為真，則p是q的充分條件． 2．等價(jià)法：利用p?q與綈q?綈p，q?p與綈p?綈q，p?q與綈q?綈p的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命

11、題，一般運(yùn)用等價(jià)法． 3．集合法：若A?B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A＝B，則A是B的充要條件． 考向三 [006]　充分條件與必要條件的應(yīng)用 　(xx·保定模擬)設(shè)命題p：2x2－3x＋1≤0； 命題q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 【思路點(diǎn)撥】　思路一：求綈p及綈q，由綈q?綈p，但綈pD/?綈q建立實(shí)數(shù)a的不等關(guān)系，解不等式便可． 思路二：由先解不等式把命題p、q具體化，再由互為逆否命題的等價(jià)性確定p、q之間的關(guān)系，最后根據(jù)集合的關(guān)系列不等式求解． 【嘗試解答】　方法一：由2x2

12、－3x＋1≤0得≤x≤1， 即命題p：≤x≤1， 所以命題綈p：x＜或x＞1. 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得a≤x≤a＋1， 即命題q：a≤x≤a＋1. 所以命題綈q：x＜a或x＞a＋1 因?yàn)榻恜是綈q的必要不充分條件，所以綈q?綈p，但綈pD/?綈q. 如圖所示： 故，即0≤a≤. 方法二：由2x2－3x＋1≤0得≤x≤1， 由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0得 a≤x≤a＋1，由綈p是綈q的必要不充分條件知，p是q的充分不必要條件，即{x|a≤x≤a＋1}， ∴∴0≤a≤. 【答案】　 規(guī)律方法3　1.借助命題間的等價(jià)關(guān)系直接建立參數(shù)a

13、的不等關(guān)系，避免了繁瑣轉(zhuǎn)換計(jì)算，將失誤降到最低. 2.解決此類問(wèn)題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式求解. 3.注意利用轉(zhuǎn)化的方法理解充分必要條件：若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)條件，則p是q的必要不充分(充分不必要、充要)條件. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　已知命題p：命題q：1－m≤x≤1＋m，m＞0，若q是p的必要而不充分條件，則m的取值范圍為_(kāi)_______． 【解析】　命題p：－2≤x≤10，由q是p的必要不充分條件知， {x|－2≤x≤10}{x|1－m≤x≤1＋m，m＞0}， ∴或， ∴m≥9，即m的取

14、值范圍是[9，＋∞)． 【答案】　[9，＋∞) 易錯(cuò)易誤之一　“條件”與“結(jié)論”顛倒黑白釀失誤 ————　[1個(gè)示范例]　————　[1個(gè)防錯(cuò)練]　———— 　　　(xx·濟(jì)南模擬)下面四個(gè)條件中，使a＞b成立的充分而不必要的條件是(　　) A．a(chǎn)＞b＋1　　　　　　　 B．a(chǎn)＞b－1 C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)3＞b3 【解析】　要求a＞b成立的充分不必要條件，必須滿足 由選項(xiàng)能推出a＞b，而由a＞b推不出選項(xiàng)． 此處在求解中，常誤認(rèn)為“由a＞b推出選項(xiàng)，而由選項(xiàng)推不出a＞b”而錯(cuò)選B.出錯(cuò)的原因是“分不清哪個(gè)是條件，哪個(gè)是結(jié)論”．在選項(xiàng)A中，a＞b＋1能使a＞b成

15、立，而a＞b時(shí)a＞b＋1不一定成立，故A正確；在選項(xiàng)B中a＞b－1時(shí)a＞b不一定成立，故B錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，a2＞b2時(shí)a＞b也不一定成立，因?yàn)閍，b不一定均為正值，故C錯(cuò)誤；在選項(xiàng)D中，a3＞b3是a＞b成立的充要條件，故D也錯(cuò)誤． 【防范措施】　充分條件、必要條件是相對(duì)的概念，在進(jìn)行判斷時(shí)一定要注意哪個(gè)是“條件”，哪個(gè)是“結(jié)論”，如“A是B成立的……條件”，其中A是條件；“A成立的……條件是B”，其中B是條件. 　設(shè)集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，則B是A的真子集的一個(gè)充分不必要條件是________． 【解析】　A＝{－3,2}，當(dāng)B＝?時(shí)，BA，此時(shí)m＝0， 當(dāng)B≠?時(shí)，B＝，則－＝－3或－＝2， ∴m＝或m＝－. 故B是A的真子集的一個(gè)充分不必要條件是m＝0(答案不唯一)． 【答案】　m＝0(答案不唯一)