《2021高考數(shù)學一輪復習 第13章 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明教學案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2021高考數(shù)學一輪復習 第13章 選修4-5 第2節(jié) 不等式的證明教學案 理 北師大版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第二節(jié)　不等式的證明 [最新考綱]　通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法． 1．基本不等式 定理1：對任意實數(shù)a，b，有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時取等號． 定理2：對任意兩個正數(shù)a，b，有≥，當且僅當a＝b時取等號． 公理3：對任意三個正數(shù)a，b，c，有a3＋b3＋c3≥3abc，當且僅當a＝b＝c時取等號． 定理4：對任意三個正數(shù)a，b，c，有≥，當且僅當a＝b＝c時，等號成立． 推廣：(一般形式的算術—幾何平均不等式)如果a1，a2，…，an為n個正數(shù)，則≥，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立． 2．柯西不等式 (1)柯

2、西不等式的代數(shù)形式：設a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(當且僅當ad＝bc時，等號成立)． (2)柯西不等式的向量形式：設α，β是兩個向量，則|α||β|≥|α·β|，當且僅當α或β是零向量，或存在實數(shù)k，使α＝kβ(α，β為非零向量)時，等號成立． (3)柯西不等式的三角不等式：設x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R， 則＋≥. (4)柯西不等式的一般形式：設a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是實數(shù)，則(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，當且僅當bi＝0(i＝1,2，…，n)或存

3、在一個數(shù)k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)時，等號成立． 3．不等式的證明方法 (1)比較法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0?a>b；a－b<0?a0，b>0)：>1?a>b；<1?a

4、即“執(zhí)果索因”的證明方法． (3)放縮法 證明不等式時，有時我們要把所證不等式中的某些部分的值放大或縮小，簡化不等式，從而達到證明的目的．這種方法稱為放縮法． (4)反證法的步驟 ①作出否定結論的假設； ②進行推理，導出矛盾； ③否定假設，肯定結論. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)比較法最終要判斷式子的符號得出結論．(　　) (2)綜合法是從原因推導到結果的思維方法，它是從已知條件出發(fā)，經過逐步推理，最后達到待證的結論．(　　) (3)分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是從待證結論出發(fā)，一步一步地尋求結論成立的必要條件，最后達到題設的已知條件或

5、已被證明的事實．(　　) (4)使用反證法時，“反設”不能作為推理的條件應用．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．不等式：①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③＋≥2，其中恒成立的是(　　) A．①③　　　　　　 B．②③ C．①②③ D．①② D　[由①得x2＋3－3x＝2＋＞0，所以x2＋3＞3x；對于②，因為a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，所以不等式成立；對于③，因為當ab＜0時，＋－2＝＜0，即＋＜2，故選D.] 2．已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，則M，N的大

6、小關系為________． M≥N　[2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)． 因為a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 從而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b.] 3．已知a，b，c是正實數(shù)，且a＋b＋c＝1，則＋＋的最小值為________． 9　[∵a＋b＋c＝1， ∴＋＋ ＝3＋＋＋ ≥3＋2＋2＋2 ＝3＋6＝9， 當且僅當a＝b＝c時等號成立．] 4．設a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，則的最

7、小值為________． 　[根據柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)， 即m2＋n2≥5， 所以的最小值為.] 考點1　用綜合法與分析法證明不等式 　用綜合法證明不等式是“由因導果”，用分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法．綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關系，可以開闊解題思路，開闊視野． 　1.已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x＋≥2y＋3； [證明]　

8、因為x>0，y>0，x－y>0， 2x＋－2y＝2(x－y)＋ ＝(x－y)＋(x－y)＋ ≥3＝3(當且僅當x－y＝1時，等號成立)，所以2x＋≥2y＋3. 2．設a，b，c>0且ab＋bc＋ca＝1，求證：a＋b＋c≥. [證明]　因為a，b，c>0，所以要證a＋b＋c≥， 只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故需證明a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)， 即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而ab＋bc＋ca≤＋＋ ＝a2＋b2＋c2(當且僅當a＝b＝c時等

9、號成立)成立， 所以原不等式成立． 3．(2019·全國卷Ⅰ)已知a，b，c為正數(shù)，且滿足abc＝1.證明： (1)＋＋≤a2＋b2＋c2； (2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24. [解]　(1)因為a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，且abc＝1，故有 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca＝＝＋＋. 所以＋＋≤a2＋b2＋c2. (2)因為a，b，c為正數(shù)且abc＝1，故有 (a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥3 ＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)≥3×(2)×(2)×(2) ＝24. 所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋

10、a)3≥24. 　(1)利用綜合法證明不等式時，常用的不等式有：① a2≥0；②|a|≥0；③a2＋b2≥2ab，它的變形形式又有(a＋b)2≥4ab，≥2等；④≥(a>0，b>0)，它的變形形式又有a＋≥2(a>0)，＋≥2(ab>0)，＋≤－2(ab<0)等． (2)用分析法證明不等式時，不要把“逆求”錯誤地作為“逆推”，分析的過程是尋求結論成立的充分條件，而不一定是充要條件，同時要正確使用“要證”“只需證”這樣的“關鍵詞”． [教師備選例題] (2017·全國卷Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2.證明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [證明

11、]　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋(a＋b)＝2＋， 所以(a＋b)3≤8，因此a＋b≤2. 考點2　放縮法證明不等式 　(1)在不等式的證明中，“放”和“縮”是常用的證明技巧，常見的放縮方法有： ①變換分式的分子和分母，如<，>，<，>，上面不等式中k∈N＋，k>1； ②利用函數(shù)的單調性； ③利用結論，如“若00，則<”． (2)

12、使用絕對值不等式的性質證明不等式時，常與放縮法結合在一起應用，利用放縮法時要目標明確，通過添、拆項后，適當放縮． 　(1)設a>0，<，|y－2|<，求證：|2x＋y－4|0，|x－1|<，可得|2x－2|<， 又|y－2|<， ∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)| ≤|2x－2|＋|y－2|<＋＝a. 即|2x＋y－4|

13、拆項放縮的技巧，放縮拆項時，不一定從第一項開始，須根據具體題型分別對待，即不能放的太寬，也不能縮的太窄，真正做到恰到好處． 　1.設n是正整數(shù)，求證： ≤ ＋＋…＋＜1. [證明]　由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得 ≤ ＜. 當k＝1時， ≤ ＜； 當k＝2時， ≤ ＜； … 當k＝n時， ≤ ＜， ∴＝ ≤ ＋＋…＋＜＝1. ∴原不等式成立． 2．若a，b∈R，求證：≤＋. [證明]　當|a＋b|＝0時，不等式顯然成立． 當|a＋b|≠0時， 由0＜|a＋b|≤|a|＋|b|? ≥ ， 所以＝ ≤ ＝＝＋ ≤ ＋. 考點3　柯西不等式的應用

14、 　柯西不等式的解題策略 (1)利用柯西不等式證明不等式，先使用拆項重組、添項等方法構造符合柯西不等式的形式及條件，再使用柯西不等式解決有關問題． (2)利用柯西不等式求最值，實質上就是利用柯西不等式進行放縮，放縮不當則等號可能不成立，因此一定不能忘記檢驗等號成立的條件. 　(2019·全國卷Ⅲ)設x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1. (1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值； (2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，證明：a≤－3或a≥－1. [解]　(1)由于 [(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2 ＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋

15、1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)] ≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]， 故由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，當且僅當x＝，y＝－，z＝－時等號成立． 所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值為. (2)由于[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2 ＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)(z－a)＋(z－a)(x－2)] ≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]， 故由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，當且僅當x＝，y＝，z＝時

16、等號成立． 因此(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值為. 由題設知≥，解得a≤－3或a≥－1. 　利用柯西不等式證明不等式或求解某些含有約束條件的多變量的最值問題，解決的關鍵是構造兩組數(shù)，并向柯西不等式的形式進行轉化． 　1.已知a，b，c∈R，且滿足a＋2b＋3c＝6，求a2＋2b2＋3c2的最小值． [解]　由柯西不等式，得(1＋2＋3)(a2＋2b2＋3c2)≥(1·a＋·b＋·c)2. 得6(a2＋2b2＋3c2)≥(a＋2b＋3c)2＝36. 所以a2＋2b2＋3c2≥6. 當且僅當＝＝，即a＝b＝c＝1時，上式等號成立．所以a2＋2b2＋3c2的最小值為6. 2．設x，y，z∈R，且＋＋＝1，求x＋y＋z的取值范圍． [解]　由柯西不等式，得 [42＋()2＋22] ≥2， 即25×1≥(x＋y＋z)2. 所以5≥|x＋y＋z|，所以－5≤x＋y＋z≤5. 即x＋y＋z的取值范圍是[－5,5]． 3．(2017·江蘇高考)已知a，b，c，d為實數(shù)，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，證明：ac＋bd≤8. [證明]　由柯西不等式，得(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)．因為a2＋b2＝4，c2＋d2＝16， 所以(ac＋bd)2≤64， 因此ac＋bd≤8. 8