2、 .?
3.已知sin 2α=sin α,α∈(0,π),則sin 2α= ▲ .?
4.設a=(,cos θ)與b=(-1,2cos θ)垂直,則cos 2θ= ▲ .?
5.在正三角形ABC中,AB=3,D是BC上一點,且=3,則·= ▲ .?
6.設函數(shù)f(x)=的最小值為-1,則實數(shù)a的取值范圍是 ▲ .?
7.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B的一部分圖象如右圖所示,如果A>0,ω>0,|φ|<,則φ= ▲ .?
8.若四邊形ABCD滿足:+=0,(+)·=0,則該四邊形的形狀是 ▲ .?
9.設△ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊長分別為a
3、,b,c,且atan B=,bsin A=4,則a= ▲ .?
10.已知非零向量a,b的夾角為60°,且滿足|a-2b|=2,則a·b的最大值為 ▲ .?
11.若函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(x∈R,ω>0),又f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值為,則函數(shù)g(x)=f(x)-1在[-2π,0]上零點的個數(shù)為 ▲ .?
12.已知△ABC各角的對應邊分別為a,b,c,且滿足+ ≥ 1,則角A的取值范圍是 ▲ .?
13.已知函數(shù)f(x)=,函數(shù)g(x)=asin(x)-2a+2(a>0),若存在x1∈[0,1],對任意x2∈[0,1]都有f
4、(x1)=g(x2)成立,則實數(shù)a的取值范圍是 ▲ .?
14.已知△ABC的三邊a,b,c和其面積S滿足S=c2-(a-b)2,則tan C= ▲ .?
二、解答題:本大題共6小題,共90分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.(本小題滿分14分)
已知兩個集合A={x|m<},B={x|lox>2},p:實數(shù)m為小于5的正整數(shù),q:“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件.
(1)若p是真命題,求A∩B;
(2)若p且q為真命題,求m的值.
16.(本小題滿分14分)
已知向量m=(sin ωx,cos ωx),n=(cos ωx,-cos ω
5、x)(ω>0),函數(shù)f(x)=m·n的最小正周期為.
(1)求ω的值;
(2)設△ABC的三邊a、b、c滿足:b2=ac,且邊b所對的角為x,若關于x的方程f(x)=k有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍.
17.(本小題滿分14分)
已知在△ABC中,a、b、c分別為角A、B、C所對的邊,△ABC的面積S=,且bc=1.
(1)求b2+c2的最大值;
(2)當b2+c2最大時,若bsin(-C)-csin(-B)=a,求角B和C.
18.(本小題滿分16分)
在平行四邊形ABCD中,E是DC的中點,AE交BD于點M,||=4,||=2,,的夾角為.
(1)若=λ+μ,
6、求λ+3μ的值;
(2)當點P在平行四邊形ABCD的邊BC和CD上運動時,求·的取值范圍.
19.(本小題滿分16分)
已知函數(shù)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)cos(x-),x∈R.
(1)若對任意x∈[-,],都有f(x)≥a成立,求a的取值范圍;
(2)若先將y=f(x)的圖象上每個點縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,然后再向左平移個單位得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)-在區(qū)間[-2π,4π]內(nèi)的所有零點之和.
20.(本小題滿分16分)
已知函數(shù)φ(x)=,a為常數(shù).
(1)若a=,求函數(shù)f(x)=ln x+φ(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)
7、若g(x)=|ln x|+φ(x),對任意x1,x2∈(0,2],且x1≠x2,都有<-1,求a的取值范圍.
xx屆高三第二次聯(lián)考·數(shù)學試卷
參 考 答 案
1.[0,) 由已知得:N={x|0≤x≤1},所以M∩N={x|0≤x<}.
2.x+y-3=0 y'=-2,y'=-1,所以切線方程為y-2=-(x-1),化簡為x+y-3=0.
3. 由已知得2sin αcos α=sin α,即cos α=,
∵α∈(0,π),∴sin α=,sin 2α=2××
8、=.
4.- 根據(jù)題意得-+2cos2θ=0,∴cos2θ=,則cos 2θ=2cos2θ-1=2×-1=-.
5. 因為=3,所以=,
所以·=·(+)=+·=32+×32cos 120°=.
6.[-,+∞) 當x≥時,4x-3≥-1,∴當x<時,f(x)=-x+a≥-1,即-+a≥-1,得a≥-.
7. 由圖知A=2,B=2.T=(π-)×4=π,則ω==2,將(,4)代入y=2sin(2x+φ)+2得φ=.
8.菱形 ∵+=0,∴AB∥DC且AB=DC,即四邊形ABCD是平行四邊形,
又∵(+)·=0,∴·=0,即BD⊥AC,∴四邊形ABCD是菱形.
9.5 ∵atan
9、 B=,bsin A=4,∴=,即=cos B=,則tan B=,
∴a=?a=5.
10.1 ∵a,b的夾角為60°,且|a-2b|=2,∴a2+4b2-4a·b=|a|2+4|b|2-2|a|·|b|=4≥4|a|·|b|-2|a|·|b|=2|a|·|b|,即|a|·|b|≤2,∴a·b=|a|·|b|≤1.
11.1 ∵|α-β|的最小值為,∴=,則T=3π,又∵ω>0,∴ω==.令g(x)=f(x)-1=2sin(x+)-1=0,得x+=2kπ+或x+=2kπ+(k∈Z),即x=3kπ-或x=3kπ+(k∈Z).當且僅當k=0時,有x=-符合題意.
12.(0,] 由已知得:
10、b(a+b)+c(a+c)≥(a+c)(a+b),即b2+c2-a2≥bc,將不等式兩邊同除以2bc得≥,即cos A≥(00,所以asin(x2)∈[0,a],所以g(x2)∈[2-2a,2-a],因為若存在x1∈[0,1],對任意x2∈[0,1]都有f(x1)=g(x2)成立,所以解得a∈[,1].
14. S=c2-(a2+b2)+2ab=-2abcos C+2ab=2ab(1-cos C)=absin C,
=,∴=,∴ta
11、n=,tan C===.
15.解:(1)由p為真命題,得02}={x|0且0
12、s2ωx=sin 2ωx-=sin(2ωx-)-,∴T==,ω=2.6分
(2)由余弦定理得cos x==≥=,
∴0
13、(-C)-csin(-B)=a,根據(jù)正弦定理得sin Bsin(-C)-sin Csin(-B)=sin A.
∴sin B(cos C-sin C)-sin C(cos B-sin B)=,即sin Bcos C-cos Bsin C=1,
∴sin(B-C)=1.
∵0
14、=,∴λ+3μ=+3×=1.6分
(2)如圖所示,以A為原點,AB所在直線為x軸,建立直角坐標系.
則A(0,0),B(4,0),C(5,),D(1,),E(3,).
∴=(4,0)=,=(1,)=,=(3,),8分
①當點P位于邊BC上時,設=m(0≤m≤1).
則=+=+m=(4,0)+m(1,)=(4+m,m).
∴·=(4+m,m)·(3,)=3(4+m)+3m=6m+12,
∵0≤m≤1,∴12≤6m+12≤18,∴·的取值范圍[12,18].12分
②當點P位于邊CD上時,設=n(0≤n≤1).
=+=+n=(1,)+n(4,0)=(1+4n,),
∴·=(
15、1+4n,)·(3,)=3(1+4n)+3=12n+6.
∵0≤n≤1,∴6≤12n+6≤18.∴·的取值范圍是[6,18].
綜上①②可知:·的取值范圍是[6,18].16分
19.解:(1)f(x)=cos(2x-)+2sin(x-)cos(x-)
=cos(2x-)+sin(2x-) =cos 2x+sin 2x-cos 2x
=sin 2x-cos 2x=sin(2x-).4分
若對任意x∈[-,],都有f(x)≥a成立,則只需fmin(x)≥a即可.
∵-≤x≤,∴ -≤2x-≤,
∴當2x-=-,即x=-時,f(x)有最小值 -,故a≤-.8分
(2)依題意可得g
16、(x)=sin x,由g(x)-=0得sin x=,由圖可知,sin x=在[-2π,4π]上有6個零點:x1,x2,x3,x4,x5,x6.根據(jù)對稱性有=-,=,=,
從而所有零點和為x1+x2+x3+x4+x5+x6=3π.16分
20.解:(1)由a=得f(x)=ln x+,
f'(x)=-==,(x>0),
令f'(x)>0,得x>2,或0
17、 x++x,h'(x)=-+1,
令h'(x)≤0,得a≥+(x+1)2=x2+3x++3對x∈[1,2]恒成立,
設m(x)=x2+3x++3,則m'(x)=2x+3-,
∵1≤x≤2,∴m'(x)=2x+3->0,
∴m(x)在[1,2]上是增函數(shù),m(x)的最大值為m(2)=,∴a≥.10分
②當00,∴t(x)在(0,1]上是增函數(shù),
∴t(x)≤t(1)=0,∴a≥0.
綜合①②,知a≥.16分
2022年高三數(shù)學第二次聯(lián)考試題 文(I)
