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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 第40課 等比數(shù)列要點導(dǎo)學(xué) 等比數(shù)列的基本量運算 例1　在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=10,a4+a6=,求an. [思維引導(dǎo)]由a1+a3=10,a4+a6=的比得q=,再代入a1+a3=10,得a1=8,從而求出數(shù)列{an}的通項公式. [解答]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比是q, 由a1+a3=10,a4+a6=, 得a4+a6=(a1+a3)q3=10q3=, 解得q=,代入a1+a3=10中, 得a1+a1q2=a1=10,得a1=8, 所以an=a1·qn-1=. [精要點評]此題主要考查等比數(shù)列的通項公式.求等比數(shù)列的通

2、項就是要求基本量a1和q,要注意q=1的情況. 【題組強化·重點突破】 1. 等比數(shù)列x,3x+3,6x+6,…的第四項為　　　　. [答案]-24 [解析]易求得x=-3. 2.(xx·江蘇卷)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是　　　. [答案]4 [解析]設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由a8=a6+2a4,得q4-q2-2=0,解得q2=2,所以a6=a2q4=4. 3.(xx·全國卷)在等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=5,則數(shù)列{lgan}的前8項和等于　　　　　　. [答案]4 [解析]設(shè)等比數(shù)列{an}

3、的公比為q,則q==,所以a1==2÷=,所以lg a1=lg.因為{an}為等比數(shù)列,所以lg an-lg an-1=lg=lg(n≥2),所以{lg an}為等差數(shù)列,所以所求和為8lg+lg=8(4lg 2-3lg 5)+28(lg 5-lg 2)=4lg 2+4lg 5=4. 4. 已知等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且a1,a3,2a2成等差數(shù)列,那么=　　　　. [答案]3+2 [解析]依題意可得2×=a1+2a2,即a3=a1+2a2,則有a1q2=a1+2a1q,可得q2=1+2q,解得q=1+或1-(舍去),所以===q2=3+2. 5. 已知在等差數(shù)列{an

4、}中,a3+a1=8,且a4為a2和a9的等比中項,求數(shù)列{an}的首項、公差及前n項和. [解答]設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,前n項和為Sn. 由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d). 所以a1+d=4,d(d-3a1)=0, 解得a1=4,d=0或a1=1,d=3, 即當(dāng)數(shù)列{an}的首項為4,公差為0時,數(shù)列{an}的前n項和為Sn=4n.當(dāng)首項為1,公差為3時,數(shù)列{an}的前n項和為Sn=. 等比數(shù)列的通項公式 例2　設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*),若bn=an+1-2an,求bn.

5、 [思維引導(dǎo)]由Sn+2=4an+1+2,an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an),得an+2-2an+1=2(an+1-2an),所以bn+1=2bn,再求出首項b1=3≠0,判定{bn}是公比為2的等比數(shù)列. [解答]因為a1=1,Sn+1=4an+2(n∈N*), 所以Sn+2=4an+1+2, 則an+2=Sn+2-Sn+1=4(an+1-an), 所以an+2-2an+1=2(an+1-2an), 即bn+1=2bn, 所以{bn}是公比為2的等比數(shù)列,且b1=a2-2a1. 因為a1=1,a2+a1=S2,即a2+a1=4a1+2, 所以a2=3a1+2

6、=5,所以b1=5-2=3. 所以bn=3·2n-1. [精要點評]判斷一個數(shù)列是不是等比數(shù)列,根據(jù)定義,看前一項與后一項的比是不是同一個常數(shù),同時還要求b1≠0. 等比數(shù)列的求和問題 例3　已知公比不為1的等比數(shù)列{an}的首項a1=,前n項和為Sn,且a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列. (1)求等比數(shù)列{an}的通項公式及前n項和Sn; (2)對n∈N*,在an與an+1之間插入3n個數(shù),使這3n+2個數(shù)成等差數(shù)列,記插入的這3n個數(shù)的和為bn,求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. [思維引導(dǎo)](1)由等比數(shù)列的通項公式可求得數(shù)列{an}的通項公式.(2)由等差數(shù)列

7、的前n項和公式可得,插入的3n個數(shù)的和為bn=·3n,由(1)可求得bn的表達(dá)式,再根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式即可得到結(jié)論. [解答](1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因為a4+S4,a5+S5,a6+S6成等差數(shù)列, 所以a5+S5-a4-S4=a6+S6-a5-S5, 即2a6-3a5+a4=0,所以2q2-3q+1=0,因為q≠1,所以q=, 所以等比數(shù)列{an}的通項公式為an=. Sn==1-. (2)bn=·3n=, Tn==. [精要點評]本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式的運用,同時考查構(gòu)造新數(shù)列求通項、求和的方法. 變式　已知a1=2,點(an,an+1

8、)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中n=1,2,3,…. (1)求證:數(shù)列{lg(1+an)}是等比數(shù)列; (2)設(shè)Tn=(1+a1)(1+a2)·…·(1+an),求Tn及數(shù)列{an}的通項公式. [解答](1)由已知得an+1=+2an, 所以an+1+1=(an+1)2. 因為a1=2,所以an+1>1,兩邊取對數(shù)得lg(1+an+1)=2lg(1+an),即=2, 所以{lg(1+an)}是公比為2的等比數(shù)列. (2)由(1)知lg(1+an)=2n-1·lg(1+a1)=2n-1·lg 3=lg , 所以1+an=,所以an=-1, 所以Tn=(1+a1)(1

9、+a2)·…·(1+an)==. 等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問題 例4　在數(shù)列{an}中,奇數(shù)項a1,a3,a5,…成等差數(shù)列{a2n-1}(n∈N*),偶數(shù)項a2,a4,a6,…成等比數(shù)列{a2n}(n∈N*),且a1=1,a2=2,a2,a3,a4,a5成等差數(shù)列,數(shù)列{an}的前n項和為Sn. (1)求通項an; (2)求Sn. [思維引導(dǎo)](1)分奇偶討論,分別求出奇數(shù)項a2n-1=2n-1,和偶數(shù)項a2n=2n,再寫出通項an=(2)分別求出當(dāng)n為偶數(shù)時Sn=+-2,及當(dāng)n為奇數(shù)時Sn=Sn-1+an=+-2+n=+,再用分段函數(shù)形式表示結(jié)果. [解答](1)設(shè)等差數(shù)列

10、{a2n-1}(n∈N*)的公差為d,等比數(shù)列{a2n}(n∈N*)的公比為q,則a3=1+d,a4=2q,a5=1+2d, 因為a2,a3,a4,a5成等差數(shù)列, 所以2(1+d)=2+2q,4q=(1+d)+(1+2d),解得q=d=2. 于是a2n-1=2n-1,a2n=2n, 即an= (2)當(dāng)n為偶數(shù)時,奇數(shù)項的和為×=, 偶數(shù)項的和為=-2, 故Sn=+-2. 當(dāng)n為奇數(shù)時, Sn=Sn-1+an=+-2+n=+. 綜上,Sn= [精要點評]要注意當(dāng)n為奇數(shù)時,an是奇數(shù)項數(shù)列的第項,當(dāng)n為偶數(shù)時,an是偶數(shù)項數(shù)列的第項. 1. 若等比數(shù)列{an}滿

11、足a2a4=,則a1a5=　　　　. [答案] 2.在正項等比數(shù)列{an}中,a3a11=16,則log2a2+log2a12=　　　　　　. [答案]4 [解析]因為等比數(shù)列{an}中,a3a11=16,所以a2a12=a3a11=16,所以log2a2+log2a12=log2(a2a12)=log216=4. 3.在等比數(shù)列{an}中,若S5=4,S10=12,則S15=牋 . [答案]28 [解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)知S5,S10-S5,S15-S10成等比數(shù)列,S5=4,S10-S5=8,所以S15-S10=16,則S15=28. 4.在數(shù)列{

12、an}中,若a1=1,an+1=3an+2,則an=牋 . [答案]2×3n-1-1 [解析]由an+1=3an+2,得an+1+1=3(an+1),即=3,所以{an+1}是首項為2、公比為3的等比數(shù)列,所以an+1=2×3n-1,則an=2×3n-1-1. 5.若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}的首項均為1,且公差d>0,公比q>1,則集合{n|an=bn,n∈N*}中的元素個數(shù)最多是　　　　　. [答案]2 [解析]當(dāng)an=bn時,1+(n-1)d=qn-1,設(shè)y=qx-1-(x-1)d-1,則y'=qx-1ln q-d,令y'=0,得x0=1+logq,當(dāng)logq≤0時,y=qx-1-(x-1)d-1在[1,+∞)上單調(diào)遞增,方程1+(x-1)d=qx-1有且僅有一解;當(dāng)logq>0時,y=qx-1-(x-1)d-1在[1,x0)上單調(diào)遞減,在[x0,+∞)上單調(diào)遞增.所以方程1+(x-1)d=qx-1至多有兩解.所以滿足題意的n至多有2個. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學(xué)們完成《配套檢測與評估》中的練習(xí)第79~80頁.