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1、高考數(shù)學二輪復習 專題訓練九 第3講 分類討論思想 理 1．分類討論思想是一種重要的數(shù)學思想方法．其基本思路是將一個較復雜的數(shù)學問題分解(或分割)成若干個基礎性問題，通過對基礎性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的思想策略．對問題實行分類與整合，分類標準等于增加一個已知條件，實現(xiàn)了有效增設，將大問題(或綜合性問題)分解為小問題(或基礎性問題)，優(yōu)化解題思路，降低問題難度． 2．分類討論的常見類型 (1)由數(shù)學概念引起的分類討論．有的概念本身是分類的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等． (2)由性質、定理、公式的限制引起的分類討論．有的數(shù)學定理、公式、性質是分類給出的，在不同的條件下結論

2、不一致，如等比數(shù)列的前n項和公式、函數(shù)的單調性等． (3)由數(shù)學運算要求引起的分類討論．如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． (4)由圖形的不確定性引起的分類討論．有的圖形類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限；點、線、面的位置關系等． (5)由參數(shù)的變化引起的分類討論．某些含有參數(shù)的問題，如含參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導致所得結果不同，或對于不同的參數(shù)值要運用不同的求解或證明方法． (6)由實際意義引起的討論．此類問題在應用題中，特別是在解決排列、組合中的計數(shù)問題時常用

3、． 3．分類討論的原則 (1)不重不漏． (2)標準要統(tǒng)一，層次要分明． (3)能不分類的要盡量避免或盡量推遲，決不無原則地討論． 4．解分類問題的步驟 (1)確定分類討論的對象，即對哪個變量或參數(shù)進行分類討論． (2)對所討論的對象進行合理的分類． (3)逐類討論，即對各類問題詳細討論，逐步解決． (4)歸納總結，將各類情況總結歸納. 熱點一　由數(shù)學概念、性質、運算引起的分類討論 例1　(1)(xx·浙江)設函數(shù)f(x)＝若f(f(a))≤2，則實數(shù)a的取值范圍是________． (2)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝________. 答案

4、　(1)a≤　(2)或6 解析　(1)f(x)的圖象如圖，由圖象知，滿足f(f(a))≤2時，得f(a)≥－2，而滿足f(a)≥－2時，得a≤. (2)當q＝1時，a1＝a2＝a3＝， S3＝3a1＝，顯然成立； 當q≠1時，由題意，得 所以 由①②，得＝3，即2q2－q－1＝0， 所以q＝－或q＝1(舍去)． 當q＝－時，a1＝＝6.綜上可知，a1＝或a1＝6. 思維升華　(1)由數(shù)學概念引起的討論要正確理解概念的內涵與外延，合理進行分類；(2)運算引起的分類討論有很多，如除法運算中除數(shù)不為零，偶次方根為非負，對數(shù)運算中真數(shù)與底數(shù)的要求，指數(shù)運算中底數(shù)的要求，不等式兩邊

5、同乘以一個正數(shù)、負數(shù)，三角函數(shù)的定義域等． 　(1)已知函數(shù)f(x)＝滿足f(a)＝3，則f(a－5)的值為(　　) A．log23 B. C. D．1 (2)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝pn－1(p是常數(shù))，則數(shù)列{an}是(　　) A．等差數(shù)列 B．等比數(shù)列 C．等差數(shù)列或等比數(shù)列 D．以上都不對 答案　(1)C　(2)D 解析　(1)分兩種情況分析，①或者②，①無解，由②得，a＝7，所以f(a－5)＝22－3＋1＝，故選C. (2)∵Sn＝pn－1， ∴a1＝p－1，an＝Sn－Sn－1＝(p－1)pn－1(n≥2)， 當p≠1且p≠0時，{an}是等比

6、數(shù)列； 當p＝1時，{an}是等差數(shù)列； 當p＝0時，a1＝－1，an＝0(n≥2)，此時{an}既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列． 熱點二　由圖形位置或形狀引起的討論 例2　(1)不等式組表示的平面區(qū)域內有________個整點(把橫、縱坐標都是整數(shù)的點稱為整點)． (2)設圓錐曲線T的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線T上存在點P滿足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線T的離心率為________． 答案　(1)20　(2)或 解析　(1)畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖)． 結合圖中的可行域可知 x∈[－，2]，y∈[－2,5]． 由圖形及不等式組，知

7、 當x＝－1時，1≤y≤2，有2個整點； 當x＝0時，0≤y≤3，有4個整點； 當x＝1時，－1≤y≤4，有6個整點； 當x＝2時，－2≤y≤5，有8個整點； 所以平面區(qū)域內的整點共有2＋4＋6＋8＝20(個)． (2)不妨設|PF1|＝4t，|F1F2|＝3t，|PF2|＝2t，若該圓錐曲線為橢圓，則有|PF1|＋|PF2|＝6t＝2a，|F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝；若該圓錐曲線是雙曲線，則有|PF1|－|PF2|＝2t＝2a， |F1F2|＝3t＝2c，e＝＝＝＝. 所以圓錐曲線T的離心率為或. 思維升華　求解有關幾何問題時，由于幾何元素的形狀、位置變化的不確定

8、性，所以需要根據(jù)圖形的特征進行分類討論． 一般由圖形的位置或形狀變化引發(fā)的討論包括：二次函數(shù)對稱軸位置的變化；函數(shù)問題中區(qū)間的變化；函數(shù)圖象形狀的變化；直線由斜率引起的位置變化；圓錐曲線由焦點引起的位置變化或由離心率引起的形狀變化． 　(1)已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù)k等于(　　) A．－ B. C．0 D．－或0 (2)設F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，則的值為________． 答案　(1)D　(2)2或 解析　(1)不等式組表示的可

9、行域如圖(陰影部分)所示，由圖可知若不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有直線y＝kx＋1與直線x＝0垂直(如圖①)或直線y＝kx＋1與直線y＝2x垂直(如圖②)時，平面區(qū)域才是直角三角形． 由圖形可知斜率k的值為0或－. (2)若∠PF2F1＝90°， 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2， ∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝，∴＝. 若∠F2PF1＝90°， 則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2 ＝|PF1|2＋(6－|PF1|)2， 解得|PF1|＝4，|PF2|＝2， ∴＝2.綜上所述，＝2或.

10、熱點三　由參數(shù)引起的分類討論 例3　(xx·四川改編)已知函數(shù)f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…為自然對數(shù)的底數(shù)． 設g(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． 解　由f(x)＝ex－ax2－bx－1， 有g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b. 所以g′(x)＝ex－2a. 因此，當x∈[0,1]時，g′(x)∈[1－2a，e－2a]． 當a≤時，g′(x)≥0， 所以g(x)在[0,1]上單調遞增， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(0)＝1－b； 當a≥時，g′(x)≤0，所以g(x)在[0,

11、1]上單調遞減， 因此g(x)在[0,1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b； 當

12、一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結合參數(shù)的意義及對結果的影響進行分類討論，此種題目為含參型，應全面分析參數(shù)變化引起結論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當?shù)剡\用數(shù)形結合思想，分類要做到分類標準明確，不重不漏． 　已知函數(shù)g(x)＝(a∈R)，f(x)＝ln(x＋1)＋g(x)． (1)若函數(shù)g(x)過點(1,1)，求函數(shù)f(x)的圖象在x＝0處的切線方程； (2)判斷函數(shù)f(x)的單調性． 解　(1)因為函數(shù)g(x)過點(1,1)，所以1＝，解得a＝2，所以f(x)＝ln(x＋1)＋.由f′(x)＝＋＝，則f′(0)＝3，所以所求的切線的斜率為3.又f(0)＝0，所以切點為(

13、0,0)，故所求的切線方程為y＝3x. (2)因為f(x)＝ln(x＋1)＋(x>－1)， 所以f′(x)＝＋＝. ①當a≥0時，因為x>－1，所以f′(x)>0， 故f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增． ②當a<0時，由得－1－1－a， 故f(x)在(－1－a，＋∞)上單調遞增． 綜上，當a≥0時，函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上單調遞增； 當a<0時，函數(shù)f(x)在(－1，－1－a)上單調遞減， 在(－1－a，＋∞)上單調遞增． 分類討論思想的本質是“化整為零，積零為整”．用分類討論的思維策略解

14、數(shù)學問題的操作過程：明確討論的對象和動機→確定分類的標準→逐類進行討論→歸納綜合結論→檢驗分類是否完備(即分類對象彼此交集為空集，并集為全集)．做到“確定對象的全體，明確分類的標準，分類不重復、不遺漏”的分析討論． 常見的分類討論問題有： (1)集合：注意集合中空集?的討論． (2)函數(shù)：對數(shù)函數(shù)或指數(shù)函數(shù)中的底數(shù)a，一般應分a>1和01的討論；等比數(shù)列中分公比q＝1和q≠1的討論． (4)三角函數(shù)：角的象限及函數(shù)值范圍的討論． (5)不等式

15、：解不等式時含參數(shù)的討論，基本不等式相等條件是否滿足的討論． (6)立體幾何：點線面及圖形位置關系的不確定性引起的討論； (7)平面解析幾何：直線點斜式中k分存在和不存在，直線截距式中分b＝0和b≠0的討論；軌跡方程中含參數(shù)時曲線類型及形狀的討論． (8)排列、組合、概率中的分類計數(shù)問題． (9)去絕對值時的討論及分段函數(shù)的討論等． 真題感悟 1．(xx·課標全國Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是，AB＝1，BC＝，則AC等于(　　) A．5 B. C．2 D．1 答案　B 解析　∵S△ABC＝AB·BC·sin B＝×1×sin B＝， ∴sin B＝，∴B＝或.

16、 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2＋2＝5，所以AC＝，此時△ABC為鈍角三角形，符合題意； 當B＝時，根據(jù)余弦定理有AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos B＝1＋2－2＝1，所以AC＝1，此時AB2＋AC2＝BC2，△ABC為直角三角形，不符合題意．故AC＝. 2．(xx·安徽)“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內單調遞增”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　C 解析　當a＝0時，f(x)＝|(ax－1)x|＝|x|在區(qū)

17、間(0，＋∞)上單調遞增； 當a<0時，結合函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的圖象知函數(shù)在(0，＋∞)上單調遞增，如圖(1)所示； 當a>0時，結合函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|的圖象知函數(shù)在(0，＋∞)上先增后減再增，不符合條件，如圖(2)所示． 所以，要使函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在(0，＋∞)上單調遞增只需a≤0. 即“a≤0”是“函數(shù)f(x)＝|(ax－1)x|在區(qū)間(0，＋∞)內單調遞增”的充要條件． 3．(xx·廣東)設集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5}，那么集合A中滿足

18、條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個數(shù)為(　　) A．60 B．90 C．120 D．130 答案　D 解析　在x1，x2，x3，x4，x5這五個數(shù)中，因為xi∈{－1,0,1}，i＝1,2,3,4,5，所以滿足條件1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3的可能情況有“①一個1(或－1)，四個0，有C×2種；②兩個1(或－1)，三個0，有C×2種；③一個－1，一個1，三個0，有A種；④兩個1(或－1)，一個－1(或1)，兩個0，有CC×2種；⑤三個1(或－1)，兩個0，有C×2種．故共有C×2＋C×2＋A＋CC×2＋C×2＝1

19、30(種)，故選D. 押題精練 1．已知函數(shù)f(x)＝為R上的單調函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．(0，＋∞) B．[－2,0) C．[－1,0) D．[－1，＋∞) 答案　C 解析　若a＝0，則f(x)在定義域的兩個區(qū)間內都是常函數(shù)，不具備單調性；若a>0，函數(shù)f(x)在兩段上都是單調遞增的，要使函數(shù)在R上單調遞增，只要(a＋2)e0≤1，即a≤－1，與a>0矛盾，此時無解．若－2

20、0)． 2．等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前3項之和S3＝21，則公比q的值是(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或 答案　C 解析　當公比q＝1時，a1＝a2＝a3＝7，S3＝3a1＝21，符合要求． 當q≠1時，a1q2＝7，＝21，解之得，q＝－或q＝1(舍去)．綜上可知，q＝1或－. 3．拋物線y2＝4px (p>0)的焦點為F，P為其上的一點，O為坐標原點，若△OPF為等腰三角形，則這樣的點P的個數(shù)為(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 答案　C 解析　當|PO|＝|PF|時，點P在線段OF的中垂線上，此時，點P的位置有兩個；當|OP|

21、＝|OF|時，點P的位置也有兩個；對|FO|＝|FP|的情形，點P不存在．事實上，F(xiàn)(p,0)，若設P(x，y)，則|FO|＝p，|FP|＝，若＝p，則有x2－2px＋y2＝0，又∵y2＝4px，∴x2＋2px＝0，解得x＝0或x＝－2p，當x＝0時，不構成三角形．當x＝－2p(p>0)時，與點P在拋物線上矛盾．所以符合要求的點P一共有4個． 4．6位同學在畢業(yè)聚會活動中進行紀念品的交換，任意兩位同學之間最多交換一次，進行交換的兩位同學互贈一份紀念品．已知6位同學之間共進行了13次交換，則收到4份紀念品的同學人數(shù)為(　　) A．1或3 B．1或4 C．2或3 D．2或4 答案　

22、D 解析　設6位同學分別用a，b，c，d，e，f表示． 若任意兩位同學之間都進行交換共進行15次交換，現(xiàn)共進行了13次交換，說明有兩次交換沒有發(fā)生，此時可能有兩種情況： (1)由3人構成的2次交換，如a－b和a－c之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有b，c兩人． (2)由4人構成的2次交換，如a－b和c－e之間的交換沒有發(fā)生，則收到4份紀念品的有a，b，c，e四人．故選D. 5．已知等差數(shù)列{an}的前3項和為6，前8項和為－4. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)設bn＝(4－an)qn－1 (q≠0，n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Sn. 解　(1)設數(shù)列{a

23、n}的公差為d， 由已知，得解得 故an＝3－(n－1)＝4－n. (2)由(1)可得bn＝n·qn－1， 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1. 若q≠1，將上式兩邊同乘q，得 qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn. 兩式相減，得(q－1)Sn＝nqn－1－q1－q2－…－qn－1 ＝nqn－＝. 于是，Sn＝. 若q＝1，則Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝. 綜上，Sn＝ 6．已知函數(shù)f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1，試討論函數(shù)f(x)的單調性． 解　由題意知f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＝. ①當a≥0時，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞增． ②當a≤－1時，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減． ③當－10； 當x∈時，f′(x)<0. 故f(x)在上單調遞增， 在上單調遞減． 綜上，當a≥0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增； 當a≤－1時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞減； 當－1