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1、2022年高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 第42講 二項(xiàng)式定理練習(xí) 新人教A版 [考情展望]　1.考查利用通項(xiàng)求展開式中的特定項(xiàng)、特定項(xiàng)的系數(shù)、二項(xiàng)式系數(shù)等.2.考查賦值法與整體法的應(yīng)用.3.多以選擇題、填空題的形式考查． 一、二項(xiàng)式定理 1．(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)． 2．第r＋1項(xiàng)，Tr＋1＝Can－rbr. 3．第r＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為C. 二、二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 1．0≤k≤n時(shí)，C與C的關(guān)系是C＝C. 2．二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大且n為偶數(shù)時(shí)第＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最大值為Cn；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第項(xiàng)和項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，最

2、大值為Cn或Cn. 3．各二項(xiàng)式系數(shù)和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 1．(1＋x)6的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是(　　) A．20x3　　　B．15x2　　　C．15x4　　　D．x6 【解析】　二項(xiàng)展開式中間一項(xiàng)(第4項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)最大， ∴T4＝Cx3＝20x3. 【答案】　A 2.4的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(　　) A．－24 B．－6 C．6 D．24 【解析】　展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝C(2x)4－r·r＝(－1)rC·24－r·x4－2r，令4－2r＝0，得r＝2， ∴展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)2C·22＝2

3、4，故選D. 【答案】　D 3．已知(1＋kx2)6(k為正整數(shù))的展開式中x8的系數(shù)小于120，則k＝________. 【解析】　展開式的通項(xiàng)是Tr＋1＝C(kx2)r， 令2r＝8，得展開式中x8的系數(shù)為C·k4， ∴C·k4＜120，即k4＜8. 又k是正整數(shù)，故k＝1. 【答案】　1 4．(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展開式中x5與x6的系數(shù)相等，則n＝________. 【解析】　Tr＋1＝C(3x)r＝3rCxr. 由已知條件35C＝36C，即C＝3C. ＝3，整理得n＝7. 【答案】　7 5．(xx·大綱全國卷)(x＋2)8的展開式中x6的

4、系數(shù)是(　　) A．28 B．56 C．112 D．224 【解析】　該二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cx8－r2r＝2rCx8－r，令r＝2，得T3＝22Cx6＝112x6，所以x6的系數(shù)是112. 【答案】　C 6．(xx·安徽高考)若8的展開式中，x4的系數(shù)為7，則實(shí)數(shù)a＝________. 【解析】　含x4的項(xiàng)為Cx53＝Ca3x4， ∴Ca3＝7， ∴a＝. 【答案】　 考向一 [178]　通項(xiàng)公式及其應(yīng)用 　已知在n的展開式中，第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)． (1)求含x2的項(xiàng)的系數(shù)； (2)求展開式中所有的有理項(xiàng)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)寫出通項(xiàng)Tr＋1，先

5、求n，再求含x2的項(xiàng)的系數(shù)．(2)尋找使x的指數(shù)為整數(shù)的r值，從而確定有理項(xiàng)． 【嘗試解答】　(1)n的展開式的通項(xiàng)為 Tr＋1＝Cxrx－＝Crx. 因?yàn)榈?項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)， 所以r＝5時(shí)，有＝0，即n＝10. 令＝2，得r＝(n－6)＝×(10－6)＝2， ∴含x2的項(xiàng)的系數(shù)為C2＝. (2)根據(jù)通項(xiàng)公式，由題意∈Z，且0≤r≤10. 令＝k(k∈Z)，則10－2r＝3k，即r＝5－k. ∵r∈N，∴k應(yīng)為偶數(shù)． ∴k可取2,0，－2，即r可取2,5,8. 所以第3項(xiàng)，第6項(xiàng)和第9項(xiàng)為有理項(xiàng)，它們分別為 C2x2，C5，C8x－2. 規(guī)律方法1　1.解此類問題可以分兩

6、步完成：第一步是根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng). 2.有理項(xiàng)是字母指數(shù)為整數(shù)的項(xiàng).解此類問題必須合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，根據(jù)具體要求，令其為整數(shù)，再根據(jù)數(shù)的整除性來求解. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·浙江高考)設(shè)二項(xiàng)式5的展開式中常數(shù)項(xiàng)為A，則A＝________. (2)設(shè)二項(xiàng)式6(a＞0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項(xiàng)為B，若B＝4A，則a的值是________． 【解析】　(1)Tr＋1＝C()5－rr＝C(－1)rx－，令－＝0，得r

7、＝3，所以A＝－C＝－10. (2)6展開式的通項(xiàng)Tr＋1＝(－a)rCx6－r， ∴A＝(－a)2C，B＝(－a)4C， 由B＝4A，得(－a)4C＝4(－a)2C，解之得a＝±2. 又a＞0，所以a＝2. 【答案】　(1)－10　(2)2 考向二 [179]　二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù) 　(1)設(shè)(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a1＋a2＋…＋an＝63，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)是(　　) A．15x2　　　B．20x3　　　C．21x3　　　D．35x3 (2)(xx·課標(biāo)全國卷Ⅱ)已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a＝(　

8、　) A．－4 B．－3 C．－2 D．－1 【思路點(diǎn)撥】　(1)先賦值求a0及各項(xiàng)系數(shù)和，進(jìn)而求得n值，再運(yùn)用二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)與通項(xiàng)公式求解．(2)先求出(1＋x)5含有x與x2的項(xiàng)的系數(shù)，從而得到展開式中x2的系數(shù)． 【嘗試解答】　(1)∵(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn， 令x＝0，得a0＝1. 令x＝1，則(1＋1)n＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝64，∴n＝6， 又(1＋x)6的展開式二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)最大， ∴(1＋x)6的展開式系數(shù)最大項(xiàng)為T4＝Cx3＝20x3. (2)(1＋x)5中含有x與x2的項(xiàng)為T2＝Cx＝5x，T3＝Cx2＝10

9、x2，∴x2的系數(shù)為10＋5a＝5，∴a＝－1，故選D. 【答案】　(1)B　(2)D 規(guī)律方法2　求解這類問題要注意：1.區(qū)別二項(xiàng)式系數(shù)與展開式中項(xiàng)的系數(shù)，靈活利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì).2.根據(jù)題目特征，恰當(dāng)賦特殊值代換.對(duì)于展開式中的系數(shù)和、隔項(xiàng)系數(shù)和、系數(shù)的絕對(duì)值和等問題，通常運(yùn)用賦值法進(jìn)行構(gòu)造(構(gòu)造出目標(biāo)式).賦值時(shí)要注意根據(jù)目標(biāo)式進(jìn)行靈活的選擇，常見的賦值方法是使字母因式的值為1，－1或目標(biāo)式的值. 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　(1)(xx·浙江省高三調(diào)測(cè))若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，則a0＋a1＋a3＋a5等于(　　) A．122　　　B．123　　　

10、C．243　　　D．244 (2)(xx·大綱全國卷)(1＋x)8(1＋y)4的展開式中x2y2的系數(shù)是(　　) A．56 B．84 C．112 D．168 【解析】　(1)在已知等式中分別取x＝0、x＝1與x＝－1， 得a0＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35， a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1， 因此有2(a1＋a3＋a5)＝35＋1＝244， a1＋a3＋a5＝122，a0＋a1＋a3＋a5＝123. (2)因?yàn)?1＋x)8的通項(xiàng)為Cxk，(1＋y)4的通項(xiàng)為Cyt，故(1＋x)8(1＋y)4的通項(xiàng)為CCxkyt.令k＝2，t＝2，得x2y2的系數(shù)

11、為CC＝168. 【答案】　(1)B　(2)D 考向三 [180]　二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 　(xx·湖北高考)設(shè)a∈Z，且0≤a<13，若512 012＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0　　　B．1　　　C．11　　　D．12 【思路點(diǎn)撥】　注意到52能被13整除，化51為52－1，從而運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開51xx，由條件求a的值． 【嘗試解答】　512 012＋a＝(52－1)2 012＋a ＝C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011＋C·(－1)2 012＋a， ∵C·522 012－C·522 011＋…＋C×52·(－1)2 011能被1

12、3整除． 且512 012＋a能被13整除， ∴C·(－1)2 012＋a＝1＋a也能被13整除． 因此a可取值12. 【答案】　D 規(guī)律方法3　1.本題求解的關(guān)鍵在于將512 012變形為(52－1)2 012，使得展開式中的每一項(xiàng)與除數(shù)13建立聯(lián)系． 2．用二項(xiàng)式定理處理整除問題，通常把底數(shù)寫成除數(shù)(或與除數(shù)密切關(guān)聯(lián)的數(shù))與某數(shù)的和或差的形式，再用二項(xiàng)式定理展開．但要注意兩點(diǎn)：(1)余數(shù)的范圍，a＝cr＋b，其中余數(shù)b∈[0，r)，r是除數(shù)，若利用二項(xiàng)式定理展開變形后，切記余數(shù)不能為負(fù)；(2)二項(xiàng)式定理的逆用． 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練　1－90C＋902C－903C＋…＋(－1)k90kC

13、k10＋…＋9010C除以88的余數(shù)是(　　) A．－1　　　B．1　　　C．－87　　　D．87 【解析】　1－90C＋902C＋…＋(－1)k90kC＋…＋9010C ＝(1－90)10＝8910＝(88＋1)10 ＝8810＋C889＋…＋C88＋1. ∵前10項(xiàng)均能被88整除，∴余數(shù)是1. 【答案】　B 思想方法之二十四　賦值法在二項(xiàng)展開式中的應(yīng)用 求展開式系數(shù)和或相關(guān)量這類問題的解題思路：通常先利用通項(xiàng)公式弄清所求展開式系數(shù)的特點(diǎn)，再用賦值法求得各項(xiàng)系數(shù)和，一般通過變量指數(shù)來確定要求項(xiàng)或系數(shù)和，再根據(jù)其特點(diǎn)求相關(guān)的量，有時(shí)需要構(gòu)造方程，通過解方程的方法來求解．

14、分類分步是常用的手段，正面較復(fù)雜時(shí)可從反面考慮，即正難則反． ————[1個(gè)示范例]————[1個(gè)對(duì)點(diǎn)練]———— 　(xx·宜春模擬)設(shè)(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n≥2，n∈N)，則a3＋a5＋a7＋…＋a2n－1＝(　　) A.　　　　 B. C. D. 【解析】　∵(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n(n≥2，n∈N)， ∴令x＝1,3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，① 再令x＝－1，可得1＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2n－1＋a2n，② ①－②得：a1＋a3＋…＋a2n－1＝， 又(1＋x＋x2)n

15、＝[x2＋(1＋x)]n，其展開式中T1＝C(x2)0(1＋x)n，從中可求x的系數(shù)，它來自(1＋x)n展開式中x的系數(shù)，為a1＝C＝n， ∴a3＋a5＋a7＋…＋a2n－1＝. 在二項(xiàng)式n的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為M，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，且M＋N＝64，則展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為(　　) A．－90　　　B．90　　　C．10　　　D．－10 【解析】　∵二項(xiàng)式n的展開式中， 令x＝1得：各項(xiàng)系數(shù)之和M＝2n， 又各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為N，故N＝2n， 又M＋N＝64， ∴2×2n＝64， ∴n＝5. 設(shè)二項(xiàng)式5的展開式的通項(xiàng)為Tr＋1， 則Tr＋1＝C·35－r·(－1)r·x－(5－r)＋r， 令－(5－r)＋r＝2得：r＝3， ∴展開式中含x2項(xiàng)的系數(shù)為C·(－1)3·35－3＝－90. 【答案】　A