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1、2022年人教A版高中數(shù)學(xué) 必修五 2-3 第2課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和（教案） 【教學(xué)目標(biāo)】 1.知識(shí)與技能： 進(jìn)一步熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；了解等差數(shù)列的一些性質(zhì)，并會(huì)用它們解決一些相關(guān)問(wèn)題，會(huì)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式研究的最值.初步體驗(yàn)函數(shù)思想在解決數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用. 2.過(guò)程與方法： 通過(guò)對(duì)公式從不同角度、不同側(cè)面的剖析，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性，提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力. 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀： ①提高學(xué)生代數(shù)的思維能力，使學(xué)生獲得一定的成就感； ②通過(guò)生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣與

2、欲望，樹(shù)立求真的勇氣與自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)的情感. 【教學(xué)重點(diǎn)】 等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的掌握與應(yīng)用. 【教學(xué)難點(diǎn)】 靈活應(yīng)用求和公式解決問(wèn)題. 【教輔手段】 多媒體投影儀、黑板 【教學(xué)過(guò)程】 I.情景設(shè)置—溫故知新 首先，回顧上一節(jié)所學(xué)的內(nèi)容： （1）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式1： （2）等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2： Ⅱ.新知探究 1. 等差數(shù)列的等價(jià)條件 例1：已知數(shù)列的前項(xiàng)和，求 （1） （2）求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. （3）這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)和公差分別是什么？ 分析：課本例題，題型比較簡(jiǎn)單，主要是靠引導(dǎo)學(xué)

3、生.過(guò)程略. [設(shè)計(jì)意圖]本例題實(shí)際上給出了數(shù)列前項(xiàng)和公式判別是否是等差數(shù)列的依據(jù)，要讓學(xué)生們知道等差數(shù)列前項(xiàng)是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于的二次型函數(shù). 接下來(lái)，我們來(lái)完成一探究題. 如果一個(gè)數(shù)列的前 n 項(xiàng)和為.其中p、q、r 為常數(shù)，且 ，那么這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？ 解：由 得 又 時(shí) 此類(lèi)數(shù)列從第二項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列. 歸納要使數(shù)列為等差數(shù)列，則即 [設(shè)計(jì)意圖]本探究實(shí)際上是對(duì)例1的深化，目的是為了讓學(xué)生進(jìn)一步認(rèn)識(shí)到，如果一個(gè)數(shù)列的前項(xiàng)公式是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的關(guān)于的二次型函數(shù)，則這個(gè)數(shù)列一定是等差數(shù)列，從而使

4、學(xué)生從結(jié)構(gòu)上認(rèn)識(shí)數(shù)列. 2.等差數(shù)列的最值問(wèn)題 例2：已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求使得最大的序號(hào)n的值 分析：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可以寫(xiě)成 ，所以 可以看成函數(shù)，，當(dāng)時(shí)的函數(shù)值.另一方面，容易知道 關(guān)于n的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)，因此，我們可以利用二次函數(shù)來(lái)求n的值. 解：由題意知，等差數(shù)列 的公差為 所以 當(dāng) n取與最接近的整數(shù)即為7或8時(shí)取最大值. [設(shè)計(jì)意圖]通過(guò)學(xué)習(xí)等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)來(lái)用于實(shí)際題型中的應(yīng)用，加深對(duì)函數(shù)結(jié)構(gòu)的認(rèn)識(shí)。 例3：等差數(shù)列 中，，求使得最小的序號(hào)的值？ 解法一（同例2的解法一樣，在此可以帶過(guò)即可）： 由得 因此

5、 則 則 由以上條件知有最小值. 又 ，則=10或11時(shí)取最小值，最小值為. 即 解法二：由解法一知 而 則數(shù)列為遞增數(shù)列. 令 即 數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值, =0.從第12項(xiàng)開(kāi)始為正值. n=10或n=11時(shí)取最小值. 解法三： 即 又則數(shù)列 為遞增數(shù)列. 數(shù)列的前10項(xiàng)均為負(fù)值， =0.從第12項(xiàng)開(kāi)始為正值. 當(dāng)n=10或11是取最小值. [設(shè)計(jì)意圖]本例是對(duì)例2 的深化，通過(guò)一般的求最值方法，引導(dǎo)學(xué)生思考用簡(jiǎn)單的方法來(lái)解決同樣的問(wèn)題，達(dá)到數(shù)學(xué)淺入深出的學(xué)習(xí)效果。 3. 等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì) 例4：已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，

6、求證也成等差數(shù)列，設(shè)成等差數(shù)列嗎？ 解法一：由 可得 解法二： 同理可得： （的情況也類(lèi)似，在此省略） [設(shè)計(jì)意圖]本例是要求學(xué)生通過(guò)自己做題來(lái)得出結(jié)論的，但是為了學(xué)生能更好的理解這個(gè)結(jié)論并且應(yīng)用這個(gè)結(jié)論，在本節(jié)課加了這個(gè)例題，希望可以減輕學(xué)生課后的負(fù)擔(dān)。 例5：（備用例題，時(shí)間允許可在課堂上講解）若兩個(gè)數(shù)列和的前項(xiàng)和和滿足關(guān)系式求 （分析：條件是前項(xiàng)和的比值，而結(jié)論是通項(xiàng)的比值，所以，需要將通項(xiàng)的比值轉(zhuǎn)化

7、為前項(xiàng)和的比值，恰當(dāng)?shù)膽?yīng)用等差公式可以簡(jiǎn)化解題過(guò)程.） 解：由等差數(shù)列性質(zhì)： [設(shè)計(jì)意圖]本例題對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)解答比較困難，若果讓學(xué)生自行解答比較吃力，在這里加了講解，希望對(duì)學(xué)生有所幫助。 【歸納提升】 1.等差數(shù)列的等價(jià)條件 若一個(gè)數(shù)列為等差數(shù)列，則 中的C必為0，A、B為任意常數(shù).反之也成立. 2.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值有兩種方法 第一種：根據(jù)項(xiàng)的正負(fù)來(lái)定 若，則數(shù)列的所有正數(shù)項(xiàng)之和最大， 若, 則數(shù)列的所有負(fù)數(shù)項(xiàng)之和最小.. 第二種： 由二次函數(shù)的最大，小值知識(shí)及 知.當(dāng)n取接近于的正整數(shù)時(shí)，取最大值（或最小值）值得注意的是接近的正整數(shù)

8、有時(shí)1個(gè)，有時(shí)2個(gè). 3.等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì) 若數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，設(shè)也成等差數(shù)列. [設(shè)計(jì)意圖]總結(jié)是為了讓學(xué)生明白本節(jié)課的重難點(diǎn)在哪，同時(shí)使學(xué)生回顧本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)，達(dá)到復(fù)習(xí)加總結(jié)的效果。 【即時(shí)體驗(yàn)】 問(wèn)題1.等差數(shù)列中，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值. 分析：利用歸納的2種解題方法進(jìn)行求解：①將Sn表示成關(guān)于n的一元二次函數(shù)的最值求解.②確定數(shù)列中負(fù)值的個(gè)數(shù)，由所有項(xiàng)之和最小求解. 解答過(guò)程略. 問(wèn)題2：已知等差數(shù)列的前10項(xiàng)和為100，前100項(xiàng)和為10，則前110項(xiàng)和為多少？ 解：成等差數(shù)列，設(shè)其公差為D， 又首項(xiàng)為，前10項(xiàng)的和為 又 問(wèn)題3：

9、若兩個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和之比是，試求它們的第11項(xiàng)之比. 分析：同例3同題型，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的項(xiàng)之比，題目更簡(jiǎn)單化，解答過(guò)程在此處省略. [設(shè)計(jì)意圖]及時(shí)鞏固，讓學(xué)生活學(xué)活用，直接應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)點(diǎn)來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。達(dá)到加深理解的學(xué)習(xí)效果。 八、課后延續(xù) P46習(xí)題2.3.A組第3題；P47習(xí)題2.3.B組第4題 [設(shè)計(jì)意圖]課后作業(yè)可以讓學(xué)生加深本節(jié)課的認(rèn)識(shí)，同時(shí)不忘記鞏固。 九、板書(shū)設(shè)計(jì) 幕布 課題 一、復(fù)習(xí) 二、探究題歸納總結(jié) 三、最值問(wèn)題歸納 四、等差數(shù)列性質(zhì) 一 例1 二 探究分析 三 例2分析 四 例3分析 十、備用問(wèn)題 （高考題）：【xx年高考福建卷·理3】設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1=-11，a4+a6=-6，則當(dāng)Sn取最小值時(shí)，n等于（　　） A、6 B、7 C、8 D、9 考點(diǎn)：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和． 專(zhuān)題：常規(guī)題型． 分析：條件已提供了首項(xiàng)，故用“a1，d”法，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于n的二次函數(shù)解得． 解答： 解：設(shè)該數(shù)列的公差為d，則a4+a6=2a1+8d=2×（-11）+8d=-6，解得d=2， 所以 ，所以當(dāng)n=6時(shí)，Sn取最小值． 故選A. 十一、教后反思