《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第3節(jié) 變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例學(xué)案 文 新人教A版（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第3節(jié)　變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計(jì)案例 最新考綱　1.會(huì)作兩個(gè)有關(guān)聯(lián)變量的數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，會(huì)利用散點(diǎn)圖認(rèn)識(shí)變量間的相關(guān)關(guān)系；2.了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程(線性回歸方程系數(shù)公式不要求記憶)；3.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)(只要求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；4.了解回歸分析的基本思想、方法及其簡(jiǎn)單應(yīng)用. 知 識(shí) 梳 理 1.相關(guān)關(guān)系與回歸分析 回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：散點(diǎn)圖；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù). (1)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相

2、關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān). (2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān). (3)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系. 2.線性回歸方程 (1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為＝x＋__，則＝＝，＝－.其中，是回歸方程的斜率，是在y軸上的截距. 回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，). 3.回歸分析 (1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行

3、統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法. (2)樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)稱為樣本點(diǎn)的中心. (3)相關(guān)系數(shù) 當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)； 當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān). r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng). r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性. (4)相關(guān)指數(shù)：R2＝1－.其中 (yi－i)2是殘差平方和，其值越小，則R2越大(接近1)，模型的擬合效果越好. 4.獨(dú)立性檢驗(yàn) (1)利用隨機(jī)變量K2來(lái)判斷“兩

4、個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn). (2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為 y1 y2 總計(jì) x1 a b a＋b x2 c d c＋d 總計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d 則隨機(jī)變量K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量. [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)，，應(yīng)充分利用回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)(，). 2.根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越

5、大. 3.根據(jù)回歸方程計(jì)算的值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)“名師出高徒”可以解釋為教師的教學(xué)水平與學(xué)生的水平成正相關(guān)關(guān)系.(　　) (2)通過(guò)回歸直線方程＝x＋可以估計(jì)預(yù)報(bào)變量的取值和變化趨勢(shì).(　　) (3)因?yàn)橛扇魏我唤M觀測(cè)值都可以求得一個(gè)線性回歸方程，所以沒(méi)有必要進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn).(　　) (4)事件X，Y關(guān)系越密切，則由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的K2的觀測(cè)值越大.(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(必修3P90例題改編)某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，所得數(shù)

6、據(jù)如表： x 6 8 10 12 y 2 3 5 6 則y對(duì)x的線性回歸直線方程為(　　) A.＝2.3x－0.7 B.＝2.3x＋0.7 C.＝0.7x－2.3 D.＝0.7x＋2.3 解析　易求＝9，＝4，樣本點(diǎn)中心(9，4)代入驗(yàn)證，滿足＝0.7x－2.3. 答案　C 3.兩個(gè)變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個(gè)不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(　　) A.模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98 B.模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80 C.模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50 D.模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25 解析　在兩個(gè)變量y與

7、x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)R2越近于1，模擬效果越好，在四個(gè)選項(xiàng)中A的相關(guān)指數(shù)最大，所以擬合效果最好的是模型1. 答案　A 4.(2015·全國(guó)Ⅱ卷)根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫年排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖，以下結(jié)論不正確的是(　　) A.逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著 B.2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效 C.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì) D.2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān) 解析　對(duì)于A選項(xiàng)，由圖知從2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正確.對(duì)于B選項(xiàng)，由圖知，由2006年到2

8、007年矩形高度明顯下降，因此B正確.對(duì)于C選項(xiàng)，由圖知從2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正確.由圖知2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份負(fù)相關(guān)，D不正確. 答案　D 5.為了判斷高中三年級(jí)學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測(cè)值k＝≈4.844.則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯(cuò)的可能性為_(kāi)_______. 解析　K2的觀測(cè)值k≈4.844，這表明小

9、概率事件發(fā)生.根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理，應(yīng)該斷定“是否選修文科與性別之間有關(guān)系”成立，并且這種判斷出錯(cuò)的可能性約為5%. 答案　5% 考點(diǎn)一　相關(guān)關(guān)系的判斷 【例1】 (1)已知變量x和y近似滿足關(guān)系式y(tǒng)＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān).下列結(jié)論中正確的是(　　) A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān) C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān) D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān) (2)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)各自對(duì)A，B兩變量的線性相關(guān)性做試驗(yàn)，并用回歸分析方法分別求得相關(guān)系數(shù)r與殘差平方和m如下表： 甲 乙 丙 丁 r 0.82 0.78 0

10、.69 0.85 m 106 115 124 103 則哪位同學(xué)的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性(　　) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析　(1)由y＝－0.1x＋1，知x與y負(fù)相關(guān)，即y隨x的增大而減小，又y與z正相關(guān)，所以z隨y的增大而增大，減小而減小，所以z隨x的增大而減小，x與z負(fù)相關(guān). (2)在驗(yàn)證兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，在四個(gè)選項(xiàng)中只有丁的相關(guān)系數(shù)最大；殘差平方和越小，相關(guān)性越強(qiáng)，只有丁的殘差平方和最小，綜上可知丁的試驗(yàn)結(jié)果體現(xiàn)了A，B兩變量有更強(qiáng)的線性相關(guān)性. 答案　(1)C　(2)D

11、 規(guī)律方法　1.散點(diǎn)圖中如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系.如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)關(guān)系.若點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，則正相關(guān). 2.利用相關(guān)系數(shù)判定，當(dāng)|r|越趨近于1相關(guān)性越強(qiáng).當(dāng)殘差平方和越小，相關(guān)指數(shù)R2越大，相關(guān)性越強(qiáng).若r>0，則正相關(guān)；r<0時(shí)，則負(fù)相關(guān). 3.線性回歸直線方程中：>0時(shí)，正相關(guān)；<0時(shí)，負(fù)相關(guān). 【訓(xùn)練1】 (1)某公司在2018年上半年的收入x(單位：萬(wàn)元)與月支出y(單位：萬(wàn)元)的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示： 月份 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 收入x 12

12、.3 14.5 15.0 17.0 19.8 20.6 支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18 根據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，則(　　) A.月收入的中位數(shù)是15，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 B.月收入的中位數(shù)是17，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 C.月收入的中位數(shù)是16，x與y有正線性相關(guān)關(guān)系 D.月收入的中位數(shù)是16，x與y有負(fù)線性相關(guān)關(guān)系 (2)x和y的散點(diǎn)圖如圖所示，則下列說(shuō)法中所有正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______. ①x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系； ②在該相關(guān)關(guān)系中，若用y＝c1ec2x擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為R，用＝x＋擬合時(shí)的相關(guān)指數(shù)為R，則R>R；

13、 ③x，y之間不能建立線性回歸方程. 解析　(1)從統(tǒng)計(jì)圖表中看出，月收入的中位數(shù)是(15＋17)＝16，收入增加，則支出也增加，x與y正線性相關(guān). (2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，因此x，y是負(fù)相關(guān)關(guān)系，故①正確；由散點(diǎn)圖知用y＝c1ec2x擬合比用＝x＋擬合效果要好，則R>R，故②正確；x，y之間可以建立線性回歸方程，但擬合效果不好，故③錯(cuò)誤. 答案　(1)C　(2)①② 考點(diǎn)二　線性回歸方程及應(yīng)用 【例2】 (2015·全國(guó)Ⅰ卷)某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響，對(duì)

14、近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷售量yi(i＝1，2，…，8)數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值. (xi－)2 (wi－)2 (xi－)·(yi－) (wi－)·(yi－) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8 表中wi＝，＝wi. (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)? (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程； (3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)

15、的結(jié)果回答下列問(wèn)題： ①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？ ②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為： ＝，＝－. 解　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類型. (2)令w＝，先建立y關(guān)于w的線性回歸方程，由于 ＝＝＝68， ＝－＝563－68×6.8＝100.6， 所以y關(guān)于w的線性回歸方程為＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為＝100.6＋68. (3)①由(2)知，當(dāng)x＝49

16、時(shí)，年銷售量y的預(yù)報(bào)值 ＝100.6＋68＝576.6， 年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值 ＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12. 所以當(dāng)＝＝6.8，即x＝46.24時(shí)，取得最大值. 故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大. 規(guī)律方法　1.(1)正確理解計(jì)算，的公式和準(zhǔn)確的計(jì)算是求線性回歸方程的關(guān)鍵. (2)回歸直線方程＝x＋必過(guò)樣本點(diǎn)中心(，). 2.(1)在分析兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系時(shí)，可根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖來(lái)確定兩個(gè)變量之間是否具有相關(guān)關(guān)系，若具有線性相關(guān)關(guān)系，則可通過(guò)線性回

17、歸方程來(lái)估計(jì)和預(yù)測(cè). (2)本例中y與x不具有線性相關(guān)，先作變換，轉(zhuǎn)化為y與w具有線性相關(guān)，求出y關(guān)于w的線性回歸方程，然后進(jìn)一步求解. 【訓(xùn)練2】 (2018·日照調(diào)研)某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長(zhǎng)，下表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲(chǔ)蓄存款(年底余額)，如下表1： 年份x 2013 2014 2015 2016 2017 儲(chǔ)蓄存款y(千億元) 5 6 7 8 10 表1 為了研究計(jì)算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t＝x－2 012，z＝y(tǒng)－5得到下表2： 時(shí)間代號(hào)t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 表2

18、(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程； (2)通過(guò)(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程； (3)用所求回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)多少？ (附：對(duì)于線性回歸方程＝x＋，其中＝，＝－) 解　(1)＝3，＝2.2，tizi＝45，t＝55， ＝＝1.2， ＝－＝2.2－3×1.2＝－1.4， 所以＝1.2t－1.4. (2)將t＝x－2 012，z＝y(tǒng)－5，代入＝1.2t－1.4， 得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即＝1.2x－2 410.8. (3)因?yàn)椋?.2×2 022－2 410.8＝15.6， 所以預(yù)測(cè)到2022年年底，該地儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)

19、15.6千億元. 考點(diǎn)三　獨(dú)立性檢驗(yàn) 【例3】 (2017·全國(guó)Ⅱ卷)海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖如下： (1)記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”，估計(jì)A的概率； (2)填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)； 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 新養(yǎng)殖法 (3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，對(duì)這兩種養(yǎng)殖方法的優(yōu)劣進(jìn)行比較. 附： K2＝ 解　(1)舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于

20、50 kg的頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，因此，事件A的概率估計(jì)值為0.62. (2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表： 箱產(chǎn)量<50 kg 箱產(chǎn)量≥50 kg 舊養(yǎng)殖法 62 38 新養(yǎng)殖法 34 66 K2的觀測(cè)值為k＝≈15.705. 由于15.705>6.635，故有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān). (3)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖表明：新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在50 kg到55 kg之間，舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量平均值(或中位數(shù))在45 kg到50 kg之間，且新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量分布集中程度較舊養(yǎng)殖

21、法的箱產(chǎn)量分布集中程度高.因此，可以認(rèn)為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量較高且穩(wěn)定，從而新養(yǎng)殖法優(yōu)于舊養(yǎng)殖法. 規(guī)律方法　1.在2×2列聯(lián)表中，如果兩個(gè)變量沒(méi)有關(guān)系，則應(yīng)滿足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越弱；|ad－bc|越大，說(shuō)明兩個(gè)變量之間關(guān)系越強(qiáng). 2.解決獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問(wèn)題，一定要按照獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟得出結(jié)論.獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟： (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表： (2)根據(jù)公式K2＝計(jì)算K2的觀測(cè)值k； (3)比較觀測(cè)值k與臨界值的大小關(guān)系，作統(tǒng)計(jì)推斷. 【訓(xùn)練3】 (2018·合肥質(zhì)檢)某校在高一年級(jí)學(xué)生中，對(duì)自然科學(xué)類、社會(huì)科學(xué)類校本選修課程的選課

22、意向進(jìn)行調(diào)查. 現(xiàn)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取180名學(xué)生，其中男生105名；在這180名學(xué)生中選擇社會(huì)科學(xué)類的男生、女生均為45名. (1)試問(wèn)：從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為多少？ (2)根據(jù)抽取的180名學(xué)生的調(diào)查結(jié)果，完成下面的2×2列聯(lián)表.并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān)？ 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 女生 合計(jì) 附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0

23、.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解　(1)從高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到男生的概率約為＝. (2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表如下： 選擇自然科學(xué)類 選擇社會(huì)科學(xué)類 合計(jì) 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合計(jì) 90 90 180 則K2的觀測(cè)值為k＝＝≈5.142 9>5.024， 所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為科類的選擇與性別有關(guān). 基

24、礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.為了判定兩個(gè)分類變量X和Y是否有關(guān)系，應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)法算得K2的觀測(cè)值為5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，則下列說(shuō)法正確的是(　　) A.有95%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” B.有95%的把握認(rèn)為“X和Y沒(méi)有關(guān)系” C.有99%的把握認(rèn)為“X和Y有關(guān)系” D.有99%的把握認(rèn)為“X和Y沒(méi)有關(guān)系” 解析　依題意K2的觀測(cè)值為k＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握認(rèn)為“X和Y”有關(guān)系. 答案　A 2.(2018·石家莊模擬)下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A.回歸

25、直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(，) B.兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于1 C.對(duì)分類變量X與Y，隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k越大，則判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越小 D.在回歸直線方程＝0.2x＋0.8中，當(dāng)解釋變量x每增加1個(gè)單位時(shí)，預(yù)報(bào)變量平均增加0.2個(gè)單位 解析　根據(jù)相關(guān)定義分析知A，B，D正確，C中對(duì)分類變量X與Y的隨機(jī)變量K2的觀測(cè)值k來(lái)說(shuō)，k越大，判斷“X與Y有關(guān)系”的把握程度越大，故C錯(cuò)誤. 答案　C 3.(2017·漢中模擬)已知兩個(gè)隨機(jī)變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系如表所示： x －4 －2 1 2 4 y －5 －3 －1 －0.

26、5 1 根據(jù)上述數(shù)據(jù)得到的回歸方程為＝x＋，則大致可以判斷(　　) A.>0，>0 B.>0，<0 C.<0，>0 D.<0，<0 解析　作出散點(diǎn)圖，畫出回歸直線直觀判定>0，<0. 答案　C 4.通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn)110名性別不同的學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表： 男 女 總計(jì) 愛(ài)好 40 20 60 不愛(ài)好 20 30 50 總計(jì) 60 50 110 由K2＝算得， K2的觀測(cè)值為k＝≈7.8. 附表： P(K2≥k0) 0.050 0.010 0.001 k0 3.841 6.635 10.828 參照

27、附表，得到的正確結(jié)論是(　　) A.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B.有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” 解析　根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，由K2的觀測(cè)值為k≈7.8>6.635，可知我們?cè)诜稿e(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下，即有99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)”. 答案　A 5.(2017·山東卷)為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根

28、據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為＝x＋.已知xi＝225，yi＝1 600，＝4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為(　　) A.160 B.163 C.166 D.170 解析　由已知得＝22.5，＝160， ∵回歸直線方程過(guò)樣本點(diǎn)中心(，)，且＝4， ∴160＝4×22.5＋，解得＝70. ∴回歸直線方程為＝4x＋70，當(dāng)x＝24時(shí)，＝166. 答案　C 二、填空題 6.(2017·西安模擬)某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn).根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程＝

29、0.67x＋54.9. 零件數(shù)x(個(gè)) 10 20 30 40 50 加工時(shí)間y(min) 62 75 81 89 現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，請(qǐng)你推斷出該數(shù)據(jù)的值為_(kāi)_______. 解析　由＝30，得＝0.67×30＋54.9＝75. 設(shè)表中的“模糊數(shù)字”為a， 則62＋a＋75＋81＋89＝75×5，∴a＝68. 答案　68 7.(2018·贛中南五校聯(lián)考)心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺(jué)和空間想象能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從所在學(xué)校中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男30，女20)，給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題

30、進(jìn)行解答.選題情況如下表：(單位：人) 幾何題 代數(shù)題 總計(jì) 男同學(xué) 22 8 30 女同學(xué) 8 12 20 總計(jì) 30 20 50 根據(jù)上述數(shù)據(jù)，推斷視覺(jué)和空間想象能力與性別有關(guān)系，則這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)________. 附表： P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　由列聯(lián)表計(jì)算K2的觀測(cè)值k＝≈5.556>5.024.∴推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025.

31、答案　0.025 8.(2018·長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)某單位為了了解用電量y(度)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表： 氣溫(℃) 18 13 10 －1 用電量(度) 24 34 38 64 由表中數(shù)據(jù)得回歸直線方程＝x＋中的＝－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4 ℃時(shí)，用電量約為_(kāi)_______度. 解析　根據(jù)題意知＝＝10，＝＝40.所以＝40－(－2)×10＝60，＝－2x＋60，所以當(dāng)x＝－4時(shí)，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用電量約為68度. 答案　68 三、解答題 9.(2018·重慶調(diào)研)某廠商為了解用戶對(duì)其產(chǎn)

32、品是否滿意，在使用該產(chǎn)品的用戶中隨機(jī)調(diào)查了80人，結(jié)果如下表： 滿意 不滿意 男用戶 30 10 女用戶 20 20 (1)根據(jù)上表，現(xiàn)用分層抽樣的方法抽取對(duì)產(chǎn)品滿意的用戶5人，在這5人中任選2人，求被選中的恰好是男、女用戶各1人的概率； (2)有多大把握認(rèn)為用戶對(duì)該產(chǎn)品是否滿意與用戶性別有關(guān)？請(qǐng)說(shuō)明理由. P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.025 0.010 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 注：K2＝，n＝a＋b＋c＋d. 解　(1)用分層抽樣的方法在滿意產(chǎn)品的用戶中抽取5人，則抽取比例為＝. 所以在滿意產(chǎn)品

33、的用戶中應(yīng)抽取女用戶20×＝2(人)，男用戶30×＝3(人). 抽取的5人中，三名男用戶記為a，b，c，兩名女用戶記為r，s，則從這5人中任選2人，共有10種情況：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs. 其中恰好是男、女用戶各1人的有6種情況：ar，as，br，bs，cr，cs. 故所求的概率為P＝＝0.6. (2)由題意，得K2的觀測(cè)值為 k＝ ＝≈5.333>5.024. 又P(K2≥5.024)＝0.025. 故有97.5%的把握認(rèn)為“產(chǎn)品用戶是否滿意與性別有關(guān)”. 10.(2018·惠州模擬)某市春節(jié)期間7家超市廣告費(fèi)支出xi(萬(wàn)元)和銷售額yi

34、(萬(wàn)元)數(shù)據(jù)如下表： 超市 A B C D E F G 廣告費(fèi)支出xi 1 2 4 6 11 13 19 銷售額yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求y與x的線性回歸方程； (2)若用二次函數(shù)回歸模型擬合y與x的關(guān)系，可得回歸方程：＝－0.17x2＋5x＋20，經(jīng)計(jì)算，二次函數(shù)回歸模型和線性回歸模型的R2分別約為0.93和0.75，請(qǐng)用R2說(shuō)明選擇哪個(gè)回歸模型更合適，并用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出3萬(wàn)元時(shí)的銷售額. 參考數(shù)據(jù)：＝8，＝42，xiyi＝2 794，x＝708. 參考公式：＝

35、，＝－. 解　(1) ＝＝＝1.7. ∴＝－v＝42－1.7×8＝28.4， 故y關(guān)于x的線性回歸方程是＝1.7x＋28.4. (2)∵0.75<0.93，∴二次函數(shù)回歸模型更合適. 當(dāng)x＝3時(shí)，＝33.47. 故選擇二次函數(shù)回歸模型更合適，并且用此模型預(yù)測(cè)A超市廣告費(fèi)支出3萬(wàn)元時(shí)的銷售額為33.47萬(wàn)元. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(2018·濟(jì)南調(diào)研)濟(jì)南市地鐵R1線預(yù)計(jì)2019年年底開(kāi)通運(yùn)營(yíng)，地鐵時(shí)代的到來(lái)能否緩解濟(jì)南的交通擁堵?tīng)顩r呢？某社團(tuán)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如下表： 男性市民 女性市民 認(rèn)為能緩解交通擁堵 48 30 認(rèn)為不能緩

36、解交通擁堵 12 20 則下列結(jié)論正確的是(　　) 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.05 0.010 0.005 0.001 k0 3.841 6.635 7.879 10.828 A.有95%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別有關(guān)” B.有95%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別無(wú)關(guān)” C.有99%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別有關(guān)” D.有99%的把握認(rèn)為“對(duì)能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別無(wú)關(guān)” 解析　由2×2列聯(lián)表，可求K2的觀測(cè)值， k＝ ≈5.288>3.841. 由統(tǒng)計(jì)表P(K2≥3.841)＝0.05，∴有9

37、5%的把握認(rèn)為“能否緩解交通擁堵的認(rèn)識(shí)與性別有關(guān)”. 答案　A 12.在2018年3月15日那天，某市物價(jià)部門對(duì)本市的5家商場(chǎng)的某商品的一天銷售量及其價(jià)格進(jìn)行調(diào)查，5家商場(chǎng)的售價(jià)x元和銷售量y件之間的一組數(shù)據(jù)如下表所示： 價(jià)格x 9 9.5 m 10.5 11 銷售量y 11 n 8 6 5 由散點(diǎn)圖可知，銷售量y與價(jià)格x之間有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，則其中的n＝________. 解析　＝＝8＋， ＝＝6＋. 回歸直線一定經(jīng)過(guò)樣本中心(，)， 即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42. 又因?yàn)閙＋

38、n＝20，即 解得故n＝10. 答案　10 13.(2018·湖南百所重點(diǎn)中學(xué)階段性診斷)已知某企業(yè)近3年的前7個(gè)月的月利潤(rùn)(單位：百萬(wàn)元)如下面的折線圖所示： (1)試問(wèn)這3年的前7個(gè)月中哪個(gè)月的月平均利潤(rùn)較高？ (2)通過(guò)計(jì)算判斷這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)的發(fā)展趨勢(shì)； (3)試以第3年的前4個(gè)月的數(shù)據(jù)(如下表)，用線性回歸的擬合模式估計(jì)第3年8月份的利潤(rùn). 月份 1 2 3 4 利潤(rùn)y(單位：百萬(wàn)元) 4 4 6 6 相關(guān)公式：＝＝，＝－. 解　(1)由折線圖可知5月和6月的平均利潤(rùn)最高. (2)第1年前7個(gè)月的總利潤(rùn)為1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百萬(wàn)元)， 第2年前7個(gè)月的總利潤(rùn)為2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百萬(wàn)元). 第3年前7個(gè)月的總利潤(rùn)為4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百萬(wàn)元)， 所以這3年的前7個(gè)月的總利潤(rùn)呈上升趨勢(shì). (3)∵＝2.5，＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54， ∴＝＝0.8， ∴＝5－2.5×0.8＝3. 因此線性回歸方程為＝0.8x＋3. 當(dāng)x＝8時(shí)，＝0.8×8＋3＝9.4. ∴估計(jì)第3年8月份的利潤(rùn)為9.4百萬(wàn)元. 18