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1、2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-2-2 平面與平面平行的判定 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 2.2.2 平面與平面平行的判定 2.2.4 平面與平面平行的性質(zhì) （1課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.通過(guò)圖形探究平面與平面平行的判定定理及其性質(zhì)定理. 2.熟練掌握平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理的應(yīng)用. 3.進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力,以及邏輯思維能力. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn):平面與平面平行的判定與性質(zhì). 教學(xué)難點(diǎn):平面與平面平行的判定. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過(guò)程 導(dǎo)入新課 三角板的一條邊所在直線與桌面平行

2、，這個(gè)三角板所在的平面與桌面平行嗎？三角板的兩條邊所在直線分別與桌面平行，情況又如何呢？下面我們討論平面與平面平行的判定問(wèn)題. 提出問(wèn)題 ①回憶空間兩平面的位置關(guān)系. ②欲證線面平行可轉(zhuǎn)化為線線平行，欲判定面面平行可如何轉(zhuǎn)化？ ③找出恰當(dāng)空間模型加以說(shuō)明. ④用三種語(yǔ)言描述平面與平面平行的判定定理. ⑤應(yīng)用面面平行的判定定理應(yīng)注意什么？ ⑥利用空間模型探究：如果兩個(gè)平面平行，那么一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面內(nèi)的直線具有什么位置關(guān)系？ ⑦回憶線面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合模型探究面面平行的性質(zhì)定理. ⑧用三種語(yǔ)言描述平面與平面平行的性質(zhì)定理. ⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)在哪里？

3、 ⑩應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理口訣是什么？ 活動(dòng)：先讓學(xué)生動(dòng)手做題后再回答，經(jīng)教師提示、點(diǎn)撥，對(duì)回答正確的學(xué)生及時(shí)表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路. 問(wèn)題①引導(dǎo)學(xué)生回憶兩平面的位置關(guān)系. 問(wèn)題②面面平行可轉(zhuǎn)化為線面平行. 問(wèn)題③借助模型鍛煉學(xué)生的空間想象能力. 問(wèn)題④引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換. 問(wèn)題⑤引導(dǎo)學(xué)生找出應(yīng)用平面與平面平行的判定定理容易忽視哪個(gè)條件. 問(wèn)題⑥引導(dǎo)學(xué)生畫(huà)圖探究，注意考慮問(wèn)題的全面性. 問(wèn)題⑦注意平行與異面的區(qū)別. 問(wèn)題⑧引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行語(yǔ)言轉(zhuǎn)換. 問(wèn)題⑨作輔助面. 問(wèn)題⑩引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)，把握面面平行的性質(zhì). 討論結(jié)果：①如果兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)

4、，則兩平面平行若α∩β=,則α∥β. 如果兩個(gè)平面有一條公共直線，則兩平面相交若α∩β=AB,則α與β相交. 兩平面平行與相交的圖形表示如圖1. 圖1 ②由兩個(gè)平面平行的定義可知：其中一個(gè)平面內(nèi)的所有直線一定都和另一個(gè)平面平行.這是因?yàn)樵谶@些直線中，如果有一條直線和另一平面有公共點(diǎn)，這點(diǎn)也必是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，那么這兩個(gè)平面就不可能平行了. 另一方面，若一個(gè)平面內(nèi)所有直線都和另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行，否則，這兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，那么在一個(gè)平面內(nèi)通過(guò)這點(diǎn)的直線就不可能平行于另一個(gè)平面. 由此將判定兩個(gè)平面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行的

5、問(wèn)題，但事實(shí)上判定兩個(gè)平面平行的條件不需要一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一平面，到底要多少條直線（且直線與直線應(yīng)具備什么位置關(guān)系）與另一面平行，才能判定兩個(gè)平面平行呢？ ③如圖2,如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面不一定平行. 圖2 例如：AA′平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′=DD′. 如圖3,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，兩個(gè)平面也不一定平行. 圖3 例如：AA′平面AA′D′D,EF平面AA′D′D,AA′∥平面DCC′D′,EF∥平面DCC′D′;但是,平面AA′D′D∩平面DCC′D′

6、=DD′. 如圖4,如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面一定平行. 圖4 例如：A′C′平面A′B′C′D′,B′D′平面A′B′C′D′,A′C′∥平面ABCD,B′D′∥平面ABCD;直線A′C′與直線B′D′相交. 可以判定,平面A′B′C′D′∥平面ABCD. ④兩個(gè)平面平行的判定定理： 如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行. 以上是兩個(gè)平面平行的文字語(yǔ)言，另外面面平行的判定定理的符號(hào)語(yǔ)言為： 若aα，bα，a∩b=A,且a∥α,b∥β，則α∥β. 圖形語(yǔ)言為：如圖5, 圖5 ⑤利用判定定理證明兩個(gè)平面平

7、行，必須具備： (Ⅰ)有兩條直線平行于另一個(gè)平面; (Ⅱ)這兩條直線必須相交. 尤其是第二條學(xué)生容易忽視，應(yīng)特別強(qiáng)調(diào). ⑥如圖6,借助長(zhǎng)方體模型，我們看到，B′D′所在的平面A′C′與平面AC平行，所以B′D′與平面AC沒(méi)有公共點(diǎn).也就是說(shuō)，B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線沒(méi)有公共點(diǎn).因此，直線B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線. 圖6 ⑦直線與平面平行的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言表示為： 如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行. 因?yàn)?，直線B′D′與平面AC內(nèi)的所有直線要么是異面直線，要么是平行直線，只要過(guò)B′

8、D′作平面BDD′B′與平面AC相交于直線BD，那么直線B′D′與直線BD平行. 如圖7. 圖7 ⑧兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用文字語(yǔ)言表示為： 如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用符號(hào)語(yǔ)言表示為：a∥b. 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理用圖形語(yǔ)言表示為：如圖8. 圖8 ⑨應(yīng)用面面平行的性質(zhì)定理的難點(diǎn)是：過(guò)某些點(diǎn)或直線作一個(gè)平面. ⑩應(yīng)用線面平行性質(zhì)定理的口訣：“見(jiàn)到面面平行，先過(guò)某些直線作兩個(gè)平面的交線.” 應(yīng)用示例 例1 已知正方體ABCD—A1B1C1D1，如圖9,求證：平面AB1D1∥平面BDC1. 圖9

9、 活動(dòng)：學(xué)生自己思考或討論，再寫(xiě)出正確的答案.教師在學(xué)生中巡視學(xué)生的解答，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)糾正,并及時(shí)評(píng)價(jià). 證明：∵ABCD—A1B1C1D1為正方體， ∴D1C1∥A1B1,D1C1=A1B1. 又∵AB∥A1B1,AB=A1B1, ∴D1C1∥AB,D1C1=AB. ∴四邊形ABC1D1為平行四邊形. ∴AD1∥BC1. 又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1， ∴BC1∥平面AB1D1. 同理，BD∥平面AB1D1. 又BD∩BC1=B，∴平面AB1D1∥平面BDC1. 變式訓(xùn)練 如圖10,在正方體ABCD—EFGH中，M、N、P、Q、R分別是EH、

10、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求證：平面MNA∥平面PQG. 圖10 證明：∵M(jìn)、N、P、Q、R分別是EH、EF、BC、CD、AD的中點(diǎn)，∴MN∥HF,PQ∥BD.∵BD∥HF, ∴MN∥PQ. ∵PR∥GH,PR=GH;MH∥AR,MH=AR,∴四邊形RPGH為平行四邊形，四邊形ARHM為平行四邊形. ∴AM∥RH,RH∥PG.∴AM∥PG. ∵M(jìn)N∥PQ,MN平面PQG,PQ平面PQG,∴MN∥平面PQG. 同理可證，AM∥平面PQG.又直線AM與直線MN相交， ∴平面MNA∥平面PQG. 點(diǎn)評(píng)：證面面平行，通常轉(zhuǎn)化為證線面平行，而證線面平行又轉(zhuǎn)化為證線線平行，所以關(guān)

11、鍵是證線線平行. 例2 證明兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理. 解：如圖11,已知平面α、β、γ滿足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,求證:a∥b. 圖11 證明：∵平面α∥平面β, ∴平面α和平面β沒(méi)有公共點(diǎn). 又aα，bβ, ∴直線a、b沒(méi)有公共點(diǎn). 又∵α∩γ=a，β∩γ=b, ∴aγ，bγ.∴a∥b. 變式訓(xùn)練 如果兩個(gè)平面分別平行于第三個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行. 解：已知α∥β，γ∥β，求證：α∥γ. 證明：如圖12，作兩個(gè)相交平面分別與α、β、γ交于a、c、e和b、d、f, 圖12 . 知能訓(xùn)練 已知：a、b是異面直線，a平面α,b平面

12、β，a∥β，b∥α. 求證：α∥β. 證明：如圖13,在b上任取點(diǎn)P，顯然Pa.于是a和點(diǎn)P確定平面γ，且γ與β有公共點(diǎn)P. 圖13 設(shè)γ∩β=a′，∵a∥β，∴a′∥a.∴a′∥α. 這樣β內(nèi)相交直線a′和b都平行于α，∴α∥β. 拓展提升 1.如圖14，兩條異面直線AB、CD與三個(gè)平行平面α、β、γ分別相交于A、E、B及C、F、D，又AD、BC與平面的交點(diǎn)為H、G. 圖14 求證：EHFG為平行四邊形. 證明：AC∥EG.同理,AC∥HF. EG∥HF.同理,EH∥FG.故EHFG是平行四邊形. 課堂小結(jié) 知識(shí)總結(jié)：利用面面平行的判定定理和面面平行的性質(zhì)證明線面平行. 方法總結(jié)：見(jiàn)到面面平行,利用面面平行的性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為線線平行,本節(jié)是“轉(zhuǎn)化思想”的典型素材. 作業(yè) 課本習(xí)題2.2 A組7、8. 板書(shū)設(shè)計(jì) 教學(xué)反思