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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 矩陣與變換課時(shí)訓(xùn)練 理（選修4-2） 1. 求點(diǎn)B(0，1)在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：矩陣表示將圖形變換為與之關(guān)于直線y＝x對(duì)稱的反射變換，故點(diǎn)B(0，1)變換得到點(diǎn)坐標(biāo)B′(1，0)． 2. 設(shè)圓F：x2＋y2＝1在(x，y)→(x′，y′)＝(x＋2y，y)對(duì)應(yīng)的變換下變換成另一圖形F′，試求變換矩陣M及圖形F′的方程． 解：因?yàn)椋剑剑訫＝.因?yàn)閳A上任意一點(diǎn)(x，y)變換為(x′，y′)＝(x＋2y，y)，即所以 因?yàn)閤2＋y2＝1，所以(x′－2y′)2＋y′2＝1，即圖形F′的方程為(x－2y)2＋y2＝1. 3. (

2、xx·蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知點(diǎn)M(3，－1)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，且在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到點(diǎn)N(3，5)，求a、b的值． 解：繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°對(duì)應(yīng)的變換矩陣為. ∴ ＝. 則由＝，得 ∴ a＝3，b＝1. 4. 若矩陣M＝，求直線x＋y＋2＝0在M對(duì)應(yīng)的變換作用下所得到的曲線方程． 解：設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線x＋y＋2＝0上任意一點(diǎn)，在矩陣M的作用下變換成點(diǎn)(x′，y′)，則＝，所以因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在直線x＋y＝－2上，所以x′＝x＋y＝－2，故得到的直線方程為x＋2＝0. 5. (xx·南通二模)若矩陣M＝把直線l：x＋y－2＝0變換為另一條直線l′：x＋y－4＝0，

3、試求實(shí)數(shù)a的值． 解：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P(x，y)在矩陣M作用下的點(diǎn)P′的坐標(biāo)為(x′，y′)，則＝，所以 將點(diǎn)P′(x′，y′)代入直線l′：x＋y－4＝0，得(a－1)x＋2y－4＝0. 即直線l的方程為x＋y－2＝0.所以a＝3. 6. 已知矩陣M＝，N＝.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線2x＋3y＋1＝0在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線F，求曲線F的方程． 解：由題設(shè)得MN＝[][]＝. 設(shè)(x，y)是直線2x＋3y＋1＝0上任意一點(diǎn)， 點(diǎn)(x，y)在矩陣MN對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)?x′，y′)， 則有＝，即＝， 所以 因?yàn)辄c(diǎn)(x，y)在直線2x＋3y＋1＝0上，從而

4、2x′＋3(－y′)＋1＝0，即2x′－3y′＋1＝0. 所以曲線F的方程為2x－3y＋1＝0. 7. (xx·江蘇)已知矩陣A＝，B＝，向量α＝，x、y為實(shí)數(shù)．若Aα＝Bα，求x＋y的值． 解：由已知，得Aα＝＝， Bα＝＝. 因?yàn)锳α＝Bα，所以＝. 故解得 所以x＋y＝. 8. 變換T1是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換，對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M1；變換T2對(duì)應(yīng)的變換矩陣是M2＝.求： (1) 點(diǎn)P(2，1)在T1作用下的點(diǎn)P′的坐標(biāo)； (2) 函數(shù)y＝x2的圖象依次在T1、T2變換作用下所得的曲線的方程． 解：(1) M1＝，M1＝＝，所以點(diǎn)(2，1)在T1作用下的點(diǎn)P′的坐

5、標(biāo)是(－1，2)． (2) M＝M2M1＝，設(shè)是變換后圖象上任意一點(diǎn)，與之對(duì)應(yīng)的變換前的點(diǎn)是，則M＝，也就是則 所以所求曲線的方程是y－x＝y(tǒng)2. 9. 已知直角坐標(biāo)平面xOy上的一個(gè)變換是先繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，再作關(guān)于x軸反射變換，求這個(gè)變換的逆變換的矩陣． 解：這個(gè)變換的逆變換是先作關(guān)于x軸反射變換，再作繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°變換，其矩陣是 ＝. 10. 已知a、b∈R，若M＝所對(duì)應(yīng)的變換TM把直線L：2x－y＝3變換為自身，求實(shí)數(shù)a、b. 解：(解法1：特殊點(diǎn)法) 在直線2x－y＝3上任取兩點(diǎn)(2，1)和(3，3)，則＝，即得點(diǎn)(a－2，2b＋3) ；＝，即得點(diǎn)(3a

6、－3，3b＋9)．將和分別代入2x－y＝3得解得 (解法2：通法) 設(shè)P(x，y)為直線2x－y＝3上任意一點(diǎn)，其在M的作用下變?yōu)?x′，y′)，則＝＝代入2x－y＝3，得－(b＋2)x＋(2a－3)y＝3，由題意得解得 11. (xx·鹽城二模)已知直線l：ax＋y＝1在矩陣A＝對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l′：x＋by＝1. (1) 求實(shí)數(shù)a、b的值； (2) 若點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上，且A＝，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：(1) 設(shè)直線l上一點(diǎn)(x，y)在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換下得點(diǎn)(x′，y′)，則＝， ∴ 代入直線l′，得2x＋(b＋3)y＝1， ∴ a＝2，b＝－2. (2)

7、 ∵ 點(diǎn)P(x0，y0)在直線l上， ∴ 2x0＋y0＝1. 由＝，得 ∴ ∴ P. 第2課時(shí)　逆變換與逆矩陣、矩陣的特征值與特征向量(理科專用) 1. 已知α＝為矩陣A＝屬于λ的一個(gè)特征向量，求實(shí)數(shù)a、λ的值及A2. 解：由條件可知＝λ， 所以解得a＝λ＝2. 因此A＝， 所以A2＝＝. 2. (xx·徐州二模)已知矩陣A＝(c、d為實(shí)數(shù))．若矩陣A屬于特征值2、3的一個(gè)特征向量分別為，，求矩陣A的逆矩陣A－1. 解：由題意知，＝＝2，＝＝3， 所以解得 所以A＝，所以A－1＝. 3. (xx·南通一模)已知二階矩陣M有特征值λ＝1及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1＝，

8、且M＝，求矩陣M. 解：設(shè)M＝， 則由＝，得 再由＝，得 聯(lián)立以上方程組解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1， 故M＝. 4. (xx·揚(yáng)州期末)已知二階矩陣M有特征值λ＝5，屬于特征值λ＝5的一個(gè)特征向量是e＝，并且矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(－1，2)變換為(－2，4)，求矩陣M. 解：設(shè)M＝，依題意＝，且＝， 所以解得 所以M＝. 5. 已知二階矩陣A有兩個(gè)特征值1、2，求矩陣A的特征多項(xiàng)式. 解：由特征多項(xiàng)式的定義知，特征多項(xiàng)式是一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式．因此不妨設(shè)f(λ)＝λ2＋bλ＋c.因?yàn)?，2是A的特征值，所以f(1)＝f(2)＝0，即1，2是λ2＋bλ＋c

9、＝0的根．由根與系數(shù)的關(guān)系知：b＝－3，c＝2，所以f(λ)＝λ2－3λ＋2. 6. 矩陣M＝有屬于特征值λ1＝8的一個(gè)特征向量e1＝，及屬于特征值λ2＝－3的一個(gè)特征向量e2＝.對(duì)向量α＝，計(jì)算M3α. 解：令α＝me1＋ne2，將具體數(shù)據(jù)代入，有m＝1，n＝－3，所以a＝e1－3e2.M3α＝M3(e1－3e2)＝M3e1－3(M3e2)＝λe1－3(λe2)＝83－3×(－3)3＝ ， 即M3α＝. 7. (xx·泰州期末)已知矩陣A＝的一個(gè)特征根為λ＝2，它對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α＝. (1) 求m與n的值； (2) 求A－1. 解：(1) 由題意得：Aα＝λα＝λ＝

10、2解得 (2) 設(shè)A－1＝＝E＝， ∴ 解得∴ A－1＝. 8. 利用逆矩陣的知識(shí)解方程MX＝N，其中M＝，N＝. 解：設(shè)M－1＝，＝ ＝， 解得所以M－1＝. 可得X＝M－1N＝＝. 所以原方程的解為. 9. (xx·南京二模)已知矩陣A＝(k≠0)的一個(gè)特征向量為α＝，A的逆矩陣A－1對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(3，1)變?yōu)辄c(diǎn)(1，1)．求實(shí)數(shù)a、k的值． 解：設(shè)特征向量為α＝，對(duì)應(yīng)的特征值為λ， 則＝λ，即 因?yàn)閗≠0，所以a＝2. 因?yàn)锳－1＝，所以A＝， 即＝，所以2＋k＝3，解得k＝1. 綜上，a＝2，k＝1. 10. 設(shè)M是把坐標(biāo)平面上點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變、縱坐

11、標(biāo)沿y方向伸長(zhǎng)為原來5倍的伸壓變換．求： (1) 直線4x－10y＝1在M作用下的方程； (2) M的特征值與特征向量． 解：(1) M＝.設(shè)(x′，y′)是所求曲線上的任意一點(diǎn)，＝，所以得 代入4x－10y＝1，得4x′－2y′＝1， 所以所求曲線的方程為4x－2y＝1. (2) 矩陣M的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝＝(λ－1)(λ－5)． 令f(λ)＝0，解得λ1＝1，λ2＝5. 當(dāng)λ1＝1時(shí)，由Mα1＝λ1α1，得特征向量α1＝；當(dāng)λ2＝5時(shí)，由Mα2＝λ2α2，得特征向量α2＝. 11. (xx·蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知矩陣M＝，β＝，計(jì)算M6β. 解：矩陣M的特征多項(xiàng)式為 f(λ)＝＝λ2－2λ－3. 令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量分別為α1＝，α2＝. 令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3. M6β＝M6(4α1－3α2)＝4(M6α1)－3(M6α2) ＝4×36－3(－1)6＝.