《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.1 單調(diào)性學(xué)案 蘇教版選修1-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.3 導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用 3.3.1 單調(diào)性學(xué)案 蘇教版選修1-1（9頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 3.3.1　單調(diào)性 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系．　2.掌握利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的方法，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn)、難點(diǎn)) [自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知] 1．函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)正負(fù)的關(guān)系 定義在區(qū)間(a，b)內(nèi)的函數(shù)y＝f(x) f′(x)的正負(fù) f(x)的單調(diào)性 f′(x)>0 增函數(shù) f′(x)<0 減函數(shù) 2.函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)，在區(qū)間(a，b)上 導(dǎo)數(shù)的絕對(duì)值 函數(shù)值變化 函數(shù)的圖象 越大 快 比較“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比較“平緩”(向上或向下) [基礎(chǔ)自測(cè)]

2、 1．判斷正誤： (1)函數(shù)f(x)在定義域上都有f′(x)>0，則函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào)遞增．(　　) (2)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，則f′(x)一定大于零．(　　) (3)若f(x)＝(x≠0)，則f′(x)＝－＜0，所以f(x)是單調(diào)減函數(shù)．(　　) 【解析】　(1)×.反例：f(x)＝－，f′(x)＝＞0，但f(x)在其定義域上不是增函數(shù)． (2)×.反例：f(x)＝x3在(－1,1)上是增函數(shù)，但f′(0)＝0. (3)×.f(x)＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數(shù)，但在其定義域上不是減函數(shù)． 【答案】　(1)×　(2)×　(3)× 2．函數(shù)f

3、(x)＝x3－x的單調(diào)減區(qū)間是__________． 【解析】　f′(x)＝x2－1，令f′(x)＜0，即x2－1＜0，得－1＜x＜1，∴函數(shù)減區(qū)間(－1,1)． 【答案】　(－1,1) [合 作 探 究·攻 重 難] 函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)圖象之間的關(guān)系 　(1)如圖3-3-1，設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不正確的是________(填序號(hào))． 圖3-3-1 (2)已知函數(shù)y＝xf′(x)的圖象如圖3-3-2(其中f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù))，下面四個(gè)圖象中，y＝f(x)的圖象大致是________(

4、填序號(hào)). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902215】 圖3-3-2 [思路探究]　(1)通過(guò)對(duì)各個(gè)選項(xiàng)中圖象的變化判斷是否符合題目的條件． (2)根據(jù)y＝xf′(x)函數(shù)圖象中所反映的f′(x)的符號(hào)，確定y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間，確定y＝f(x)的圖象． 【自主解答】　(1)①，②，③均有可能；對(duì)于④，若C1為導(dǎo)函數(shù)，則y＝f(x)應(yīng)為增函數(shù)，不符合；若C2為導(dǎo)函數(shù)，則y＝f(x)應(yīng)為減函數(shù)，也不符合． (2)由題圖知，當(dāng)x＜－1時(shí)，xf′(x)＜0，∴f′(x)＞0， ∴當(dāng)x＜－1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)－1＜x＜0時(shí)，xf′(x)＞0，∴f′(x)＜0， ∴當(dāng)－1＜x

5、＜0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，xf′(x)＜0，∴f′(x)＜0， ∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，函數(shù)y＝f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，xf′(x)＞0，∴f′(x)＞0， ∴當(dāng)x＞1時(shí)，y＝f(x)單調(diào)遞增．綜上可知，③是y＝f(x)的大致圖象． 【答案】　(1)④　(2)③ [規(guī)律方法]　 1．利用原函數(shù)圖象可以判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間即為應(yīng)為f′(x)＞0的區(qū)間，原函數(shù)的減區(qū)間就是導(dǎo)函數(shù)應(yīng)為f′(x)＜0的區(qū)間． 2．利用導(dǎo)函數(shù)的圖象可以判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在x軸上方的區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)在x軸下方的區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間． [跟蹤訓(xùn)練

6、] 1.已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋cx，其導(dǎo)函數(shù)f′(x)圖象如圖3-3-3所示． 圖3-3-3 (1)寫(xiě)出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求函數(shù)f(x)的解析式. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902216】 【解】　(1)由函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)圖象知函數(shù)f(x)遞增區(qū)間(－∞，0)和(2，＋∞)；遞減區(qū)間為(0,2)． (2)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c 將(0,0)，(1，－2)，(2,0)三點(diǎn)代入得 ∴f(x)＝x3－2x2. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 　求下列各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝2x3－3x2；(2)f(x)＝. [思路探究]　→→→ 【自主

7、解答】　(1)函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽，且f′(x)＝6x2－6x.令f′(x)＞0，即6x2－6x＞0， 解得x＞1或x＜0；令f′(x)＜0，即6x2－6x＜0，解得0＜x＜1. 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，0)和(1，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間是(0,1)． (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，且f′(x)＝. 令f′(x)＞0，即＞0，得0＜x＜e；令f′(x)＜0，即＜0，得x＞e， 所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間是(e，＋∞)． [規(guī)律方法]　 1．利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，實(shí)質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0，不等

8、式的解集就是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 2．利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間時(shí)，要特別注意不能忽視函數(shù)的定義域，在解不等式f′(x)＞0(或f′(x)＜0)時(shí)，要在定義域前提下求解．如果函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不止一個(gè)時(shí)，要用“和”“及”等連結(jié)，而不能寫(xiě)成兩個(gè)區(qū)間并集形式． [跟蹤訓(xùn)練] 2．求下列各函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝x3－3x；(2)f(x)＝3x2－2ln x. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902217】 【解】　(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且f ′(x)＝3x2－3＝3(x2－1)． 當(dāng)f ′(x)＞0時(shí)，x<－1或x＞1，此時(shí)函數(shù)f(x)遞增； 當(dāng)f ′(x)<0時(shí)，－1< x<1，此時(shí)函數(shù)f(

9、x)遞減． ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)和(1，＋∞)，遞減區(qū)間是(－1,1)． (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝6x－＝. 令f′(x)＞0，即＞0， ∵x＞0，∴x＞. ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是. 令f′(x)＜0，即＜0，∵x＞0， ∴0＜x＜.∴函數(shù)f(x)的遞減區(qū)間是. ∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是. 根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求字母參數(shù)的取值范圍 　若函數(shù)f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． [思路探究]　 【自主解答】　f′(x)＝3x2＋2x＋m，由于f(x)是R上的單調(diào)函數(shù)

10、， 所以f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立．由于導(dǎo)函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)3＞0， 所以只能有f′(x)≥0恒成立． 方法一：由上述討論可知要是f′(x)≥0恒成立． 只需使方程3x2＋2x＋m＝0的判別式Δ＝4－12m≤0，故m≥. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝時(shí)，只有個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，符合題意．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥. 方法二：3x2＋2x＋m≥0恒成立，即m≥－3x2－2x恒成立． 設(shè)g(x)＝－3x2－2x＝－3＋，易知函數(shù)g(x)在R上的最大值為，所以m≥. 經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)m＝時(shí)，只有個(gè)別點(diǎn)使f′(x)＝0，符合題意．所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是m≥. [規(guī)律方法]　 1．可導(dǎo)函數(shù)f

11、(x)在(a，b)上單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減)的充要條件是f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在(a，b)上恒成立，且f′(x)在(a，b)的任何子集內(nèi)都不恒等于0. 2．已知f(x)在區(qū)間D上單調(diào)，求f(x)中參數(shù)的取值范圍的方法為分離參數(shù)法．通常將f′(x)≥0(或f′(x)≤0)的參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而求出參數(shù)的取值范圍．特別地，若f′(x)為二次函數(shù)，可以由相應(yīng)方程的根的判別式求出參數(shù)的取值范圍． [跟蹤訓(xùn)練] 3．若函數(shù)h(x)＝2x－＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902218】 【解析】　根據(jù)條件，得h′(x

12、)＝2＋＝≥0在(1，＋∞)上恒成立， 即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k∈[－2，＋∞)． 【答案】　[－2，＋∞) 求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 [探究問(wèn)題] 1．函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax的導(dǎo)數(shù)f′(x)是什么？f′(x)＝0是否一定有實(shí)數(shù)根？ 【提示】　f′(x)＝x2－2x＋a，f′(x)＝0即x2－2x＋a＝0不一定有實(shí)數(shù)根， 當(dāng)Δ＝4－4a＞0，即a＜1時(shí)，f′(x)＝0有不等實(shí)數(shù)根； 當(dāng)Δ＝4－4a＝0，即a＝1時(shí)，f′(x)＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根； 當(dāng)Δ＝4－4a＜0，即a＞1時(shí)，f′(x)＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根． 2．根據(jù)探究1的討論，求函數(shù)f(x)

13、＝x3－x2＋ax的單調(diào)區(qū)間． 【提示】　由探究1知，當(dāng)Δ＝4－4a≤0，即a≥1時(shí)，f′(x)≥0恒成立，函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax在定義域(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，沒(méi)有單調(diào)遞減區(qū)間； 當(dāng)Δ＝4－4a＞0，即a＜1時(shí)，令f′(x)＞0，解得x＞1＋或x＜1－，令f′(x)＜0，解得1－＜x＜1＋，所以函數(shù)f(x)＝x3－x2＋ax的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，1－)，(1＋，＋∞)， 單調(diào)遞減區(qū)間是. 3．設(shè)f(x)＝x3－(a＋1)x2＋ax，f′(x)＝0一定有實(shí)數(shù)根嗎？若有，它們的大小確定嗎？試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． 【提示】 　f′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x

14、－1)(x－a)，所以f′(x)＝0有實(shí)數(shù)根a和1，但它們的大小不確定，所以求f(x)的單調(diào)區(qū)間要據(jù)此分類討論：當(dāng)a＞1時(shí)，由f′(x)＜0解得1＜x＜a，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1，a)；當(dāng)a＝1時(shí)，因?yàn)閒′(x)＝(x－1)2≥0，所以函數(shù)f(x)不存在單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a＜1時(shí)，由f′(x)＜0解得a＜x＜1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(a,1)． 4．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax3－ax2＋2ax＋1(a≠0)，則f′(x)＝ax2－3ax＋2a＝a(x－1)(x－2)，不等式f′(x)＜0的解一定是1＜x＜2嗎？試求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間． 【提示】　不一定是，只有a＞

15、0時(shí)，不等式f′(x)＜0的解才是1＜x＜2，當(dāng)a＜0時(shí)，不等式f′(x)＜0的解是x＜1或x＞2，所以當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2)，當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，1)，(2，＋∞)． 5．通過(guò)以上討論，在求含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論，那么要從哪幾個(gè)方面考慮這類問(wèn)題呢？ 【提示】　首先要確定f′(x)＝0是否有根，若不確定，要分類討論；在f′(x)＝0有根的情況下，如果根的大小不確定，則要按照其大小為分類標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行討論；如果f′(x)＝0的最高次冪的系數(shù)的正負(fù)不確定，那么還要按照其正負(fù)進(jìn)行討論． 　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋b

16、(a，b∈R)，試討論f(x)的單調(diào)性． [思路探究]　根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的大小，來(lái)研究函數(shù)f′(x)在各個(gè)區(qū)間中的正負(fù)號(hào)，從而得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間及單調(diào)性． 【自主解答】　f′(x)＝3x2＋2ax，令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝－. 當(dāng)a＝0時(shí)，因?yàn)閒′(x)＝3x2≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增； 當(dāng)a＞0時(shí)，x∈∪(0，＋∞)時(shí)，f′(x)＞0，x∈時(shí)，f′(x)＜0， 所以函數(shù)f(x)在，(0，＋∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減； 當(dāng)a＜0時(shí)，x∈(－∞，0)∪時(shí)，f′(x)＞0，x∈時(shí)，f′(x)＜0， 所以函數(shù)

17、f(x)在(－∞，0)，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． [規(guī)律方法]　 1．本題主要考查求函數(shù)單調(diào)性的一般方法以及函數(shù)求導(dǎo)公式和法則的綜合應(yīng)用． 2．當(dāng)解題過(guò)程中含有參數(shù)時(shí)，一般要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，此時(shí)需注意應(yīng)準(zhǔn)確確定分類標(biāo)準(zhǔn)和分類討論的準(zhǔn)確性． [跟蹤訓(xùn)練] 4．求函數(shù)f(x)＝ex－ax(a∈R)的單調(diào)區(qū)間. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902219】 【解】　函數(shù)定義城為R，且f′(x)＝ex－a. 當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞增，無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)a＞0時(shí)，由f′(x)＝ex－a＞0，得x＞ln a，由f′(x)＜0，得x＜ln a，所以f(x

18、)在(ln a，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－∞，ln a)上單調(diào)遞減． 綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(－∞，＋∞)，無(wú)減區(qū)間； 當(dāng)a＞0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(ln a，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，ln a)． [構(gòu)建·體系] [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基] 1．函數(shù)f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的單調(diào)遞減區(qū)間是________． 【解析】　f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，得1＜x＜2， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,2)． 【答案】　(1,2) 2．函數(shù)y＝x2－ln x的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)

19、：95902220】 【解析】　函數(shù)定義域?yàn)?0，＋∞)，y′＝x－＝ 當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，令y′＜0，得0＜x＜1，僅f′(1)＝0. 【答案】　(0,1] 3．如圖3-3-4所示，若函數(shù)y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象可能是________(填序號(hào))． 圖3-3-4 【解析】　∵y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，則從左到右函數(shù)f(x)圖象上的點(diǎn)的切線斜率是遞增的． 【答案】　① 4．函數(shù)y＝ax3－x在R上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ________. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95902221】 【解析】　因?yàn)閥′＝3ax2－1，函數(shù)y＝ax3－x在R上是減函數(shù)，所以y′＝3ax2－1≤0恒成立， 即3ax2≤1恒成立．當(dāng)x＝0時(shí)，3ax2≤1恒成立，此時(shí)a∈R； 當(dāng)x≠0時(shí)，若a≤恒成立，則a≤0.綜上可得a≤0. 【答案】　a≤0 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝(m－1)x2－2ln x＋mx，m∈R，且f(1)＝2，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 【解析】　由f(1)＝m－1＋m＝2m－1＝2得m＝， ∴f(x)＝x2－2ln x＋x(x＞0)， ∴f′(x)＝x－＋＝，由f′(x)＞0得x＞；由f′(x)＜0得：0＜x＜， ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為. 9