5、布，記作X～B(n，p)，且E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
3．離散型隨機(jī)變量的分布列
(1)離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì)
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)期望公式
E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)期望的性質(zhì)
①E(aX＋b)＝aE(X)＋b；
②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
(4)方差公式
D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標(biāo)準(zhǔn)差為.
(5)方差的性質(zhì)
①D(aX＋b)＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，則D(X)＝
6、np(1－p).
熱點(diǎn)一 古典概型
【例1】 (1)(2018·寧波十校聯(lián)考)在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門．若同學(xué)甲必選物理，則甲的不同的選法種數(shù)為________，乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是________．
(2)2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排，則3位女生中有且只有兩位女生相鄰的概率是( )
A. B. C. D.
解析 (1)在政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物、技術(shù)7門學(xué)科中任選3門， 同學(xué)甲必選物理，則甲的不同選法種數(shù)為：CC＝15；乙、丙兩名同學(xué)7門學(xué)科中任選3門，基本事件總數(shù)n＝CC，乙、丙兩名同學(xué)都選物理，包
7、含的基本事件個數(shù)m＝CC，∴乙、丙兩名同學(xué)都選物理的概率是p＝＝＝.
(2)依題意，要使3位女生中有且只有兩位女生相鄰，需先將兩名女生捆綁，然后排兩名男生，最后將捆綁的兩名女生與剩下的一名女生去插空，共有(CA)·A·A種排法，所以求概率P＝＝，故選B.
答案 (1)15 (2)B
探究提高 (1)解答有關(guān)古典概型的概率問題，關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)，這常用到計(jì)數(shù)原理與排列、組合的相關(guān)知識．
(2)在求基本事件的個數(shù)時，要準(zhǔn)確理解基本事件的構(gòu)成，這樣才能保證所求事件所包含的基本事件個數(shù)的求法與基本事件總數(shù)的求法的一致性．
【訓(xùn)練1】 (1)從分別標(biāo)有1，
8、2，…，9的9張卡片中不放回地隨機(jī)抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(2018·杭州高級中學(xué)模擬)4封不同信件放入4個寫好地址的信封中，其中全裝錯的概率為( )
A. B. C. D.
解析 (1)由題意得，所求概率p＝＝，故選C.
(2)將4封不同信件放入4個寫好地址的信封中有A＝24(種)不同的放法．其中全裝錯有3×3＝9(種)不同的放法，所以由古典概型可知，全裝錯的概率為P＝＝，故選B.
答案 (1)C (2)B
熱點(diǎn)二 相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
【例2】 (2018·全國Ⅲ
9、卷)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù)，D(X)＝2.4，P(X＝4)0.5，所以p＝0.6.
答案 B
探究提高 求相互獨(dú)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率的注意點(diǎn)
(1)求復(fù)雜事件的
10、概率，要正確分析復(fù)雜事件的構(gòu)成，分析復(fù)雜事件能轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥事件的和事件還是能轉(zhuǎn)化為幾個相互獨(dú)立事件同時發(fā)生的積事件，然后用概率公式求解．
(2)注意辨別獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的基本特征：①在每次試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果只有發(fā)生與不發(fā)生兩種情況；②在每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率相同．
【訓(xùn)練2】 將一枚均勻的硬幣投擲6次，則正面出現(xiàn)的次數(shù)比反面出現(xiàn)的次數(shù)多的概率為________．
解析 正面4次，反面2次的概率為P1＝C；正面5次反面1次的概率為P2＝C；正面6次，反面0次的概率為P3＝C，則所求概率P＝P1＋P2＋P3＝.
答案
熱點(diǎn)三 離散型隨機(jī)變量的分布列
【例3】 (1)(2018·臺
11、州模擬)已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，則E(6X＋8)＝________，D(X)＝________.
X
1
2
3
P
0.2
0.4
0.4
(2)設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為
X
1
2
3
P
a
則a＝________，E(X)＝________．
解析 (1)E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2＝，D(X)＝0.2×(1－2.2)2＋0.4×(2－2.2)2＋0.4×(3－2.2)2＝0.56＝.
(2)根據(jù)所給分布列，可得a＝1－－＝，E(X)＝1×＋2×＋3×
12、＝.
答案 (1) (2)
探究提高 求解隨機(jī)變量分布列問題的兩個關(guān)鍵點(diǎn)
(1)求離散型隨機(jī)變量分布列的關(guān)鍵是正確理解隨機(jī)變量取每一個值所表示的具體事件，然后綜合應(yīng)用各類概率公式求概率．
(2)求隨機(jī)變量的期望與方差的關(guān)鍵是正確求出隨機(jī)變量的分布列．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則可直接使用公式法求解．
【訓(xùn)練3】 (1)隨機(jī)變量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
0.25
b
若E(ξ)＝，則D(ξ)＝________．
(2)(2018·麗水調(diào)研)已知隨機(jī)變量η 滿足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5 ，則下列說法正確的是( )
A．E(η)
13、＝－5，D(η)＝5 B．E(η)＝－4，D(η)＝－4
C．E(η)＝－5，D(η)＝－5 D．E(η)＝－4，D(η)＝5
解析 (1)由題設(shè)可知解得a＝，b＝，
所以D(ξ)＝×＋×＋×＝.
(2)隨機(jī)變量η 滿足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，∴1－E(η)＝5，D(η)＝5，∴E(η)＝－4，D(η)＝5.故選D.
答案 (1) (2)D
1．運(yùn)用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時，公式才成立．
2．注意二項(xiàng)分布與超幾何分布的聯(lián)系與區(qū)別．有放回抽取問題對應(yīng)二項(xiàng)分布，不放回抽取問題對應(yīng)超幾何分布，當(dāng)總體容
14、量很大時，超幾何分布可近似為二項(xiàng)分布來處理．
3．求離散型隨機(jī)變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定X的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出X取各個值的概率．
4．要會根據(jù)分布列的兩個性質(zhì)來檢驗(yàn)求得的分布列的正誤．
5．超幾何分布是一種常見的離散型隨機(jī)變量的概率分布模型，要會根據(jù)問題特征去判斷隨機(jī)變量是否服從超幾何分布，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算.
一、選擇題
1．現(xiàn)有編號為A，B，C，D的四本書，將這4本書平均分給甲、乙兩位同學(xué)，則A，B兩本書不被同一位同學(xué)分到的概率為( )
A. B. C. D.
解析 將4本書平均分給甲、乙兩位同學(xué)，共有C＝6(
15、種)不同的分法，A，B兩本書不被同一位同學(xué)分到，則有AA＝4(種)分法，所以所求概率為＝，故選C.
答案 C
2．小王同學(xué)有三支款式相同、顏色不同的圓珠筆，每支圓珠筆都有一個與之同顏色的筆帽，平時小王都將筆和筆帽套在一起，但偶爾會將筆和筆帽搭配成不同色．將筆和筆帽隨機(jī)套在一起，請問小王將兩支筆和筆帽的顏色混搭的概率是( )
A. B. C. D.
解析 設(shè)三只筆的筆筒與筆帽的搭配方式分別有：(Aa，Bb，Cc)，(Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)，(Ab，Bc，Ca)，(Ac，Ba，Cb)，共6種情形，其中恰有兩只筆和筆帽的顏色混搭的可能有(
16、Aa，Bc，Cb)，(Ab，Ba，Cc)，(Ac，Bb，Ca)共3種情形，故所求事件的概率P＝＝，故選C.
答案 C
3．投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為( )
A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312
解析 該同學(xué)通過測試的概率為0.63＋C×0.62×(1－0.6)＝0.648，故選A.
答案 A
4．(2018·稽陽聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考)隨機(jī)變量ξ的分布列如下，且滿足E(ξ)＝2，則E(aξ＋b)的值為( )
ξ
1
2
3
P
17、
a
b
c
A.0 B．1
C．2 D．無法確定，與a，b有關(guān)
解析 由題意得，a＋b＋c＝1，①
a＋2b＋3c＝2，②
3×①－②，得2a＋b＝1，
所以E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b＝2a＋b＝1，故選B.
答案 B
5．某游戲中一個珠子從圖中的通道(圖中實(shí)線表示通道)由上至下滑下，從最下面的六個出口(如圖所示1，2，3，4，5，6)出來，規(guī)定猜中出口者為勝．如果你在該游戲中，猜得珠子從3號出口出來，那么你取勝的概率為( )
A. B.
C. D．以上都不對
解析 我們把從A到3的路線圖單獨(dú)畫出來：分析可得，從A到3共有C＝10(種)走法，
18、每一種走法的概率都是，所以珠子從出口3出來的概率是C＝.故選A.
答案 A
6．從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任取3個不同的數(shù)，每個數(shù)被取到的可能性相同，則這3個數(shù)的和恰好能被3整除的概率是( )
A. B. C. D.
解析 從10個數(shù)中任取3個共有C＝120(種)取法，若所取的3個數(shù)的和恰能被3整除，則第一類：這3個數(shù)從1，4，7，10中取，共有C＝4(種)取法；第二類：這3個數(shù)從2，5，8中取，共有C＝1(種)取法；第三類：這3個數(shù)從3，6，9中取，共有C＝1(種)取法；第四類：從1，4，7，10中取1個數(shù)，從2，5，8中取1個數(shù)，從3，6，
19、9中取1個數(shù)，共有4×3×3＝36(種)取法，所以所取的3個數(shù)的和恰好能被3整除的概率是＝，故選D.
答案 D
7．(2018·溫州模擬)設(shè)ξ是離散型隨機(jī)變量，P(ξ＝x1)＝，P(ξ＝x2)＝，且x1
20、率為________．
解析 將一顆骰子先后拋擲2次，有6×6＝36種結(jié)果，其中沒有奇數(shù)的結(jié)果有3×3＝9種，故所求概率為1－＝.
答案
9．一批產(chǎn)品的二等品率為0.02，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則D(X)＝________．
解析 有放回地抽取，是一個二項(xiàng)分布模型，其中p＝0.02，n＝100，則D(X)＝np(1－p)＝100×0.02×0.98＝1.96.
答案 1.96
10．(2018·寧波十校適應(yīng)性考試)將3個小球隨機(jī)地投入編號為1，2，3，4的4個小盒中(每個盒子容納的小球的個數(shù)沒有限制)，則1號盒子中小球的個數(shù)ξ的
21、期望為________．
解析 因?yàn)?個小球依次投入4個小盒中，彼此之間沒有影響，因此符合獨(dú)立性重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布，每個小球落在1號小盒的概率都是，故期望為3×＝.
答案
11．有一批產(chǎn)品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X表示取到次品的件數(shù)，則D(X)＝________．
解析 由題意知，取到次品的概率為，
∴X～B，∴D(X)＝3××＝.
答案
12．(2018·金麗衢十二校聯(lián)考)用黑白兩種顏色隨機(jī)地染如下表格中6個格子，每個格子染一種顏色，則有________個不同的染色方法．從左至右數(shù)，不管數(shù)到哪個格子，總有黑色格子不少于白色格子的概率為_______
22、_．
解析 (1)用黑白兩種顏色隨機(jī)地染表格中的6個格子，每個格子染一種顏色有26＝64(種)不同的染色方法；(2)分三類：第一類，第1格染黑色，第2格染白色，有6種不同的染法；第二類，第1，2格染黑色，第3格染白色，有6種不同的染法；第三類，當(dāng)?shù)?，2，3格均為黑色，則第4，5，6格中的顏色可任意選，共有23＝8(種)不同的染法．綜上，由分類加法計(jì)數(shù)原理知滿足條件的不同染色方法共有6＋6＋8＝20(種)，故所求概率為＝.
答案 64
13．已知離散型隨機(jī)變量X的分布列為
X
0
1
2
P
a
則變量X的期望E(X)＝________，方差D(X)＝_____
23、___.
解析 由a＋＋＝1，解得a＝，
所以期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，
D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝.
答案 1
14．(2018·湖州模擬)隨機(jī)變量ξ的分布列如下：
ξ
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差數(shù)列，若隨機(jī)變量ξ的期望E(ξ)＝，則a的值是________，隨機(jī)變量ξ的方差D(ξ)的值是________．
解析 由2b＝a＋c，a＋b＋c＝1，E(ξ)＝c－a＝，解得a＝，b＝，c＝，所以D(ξ)＝·＋·＋·＝.
答案
15．(2017·浙江卷改編)已知隨機(jī)變量ξi滿足P(ξi＝1)＝
24、pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.若0，<或＝)．
解析 由題意可知ξi(i＝1，2)服從兩點(diǎn)分布，
∴E(ξ1)＝p1，E(ξ2)＝p2，
D(ξ1)＝p1(1－p1)，D(ξ2)＝p2(1－p2)，
又∵0
25、2，則其期望E(ξ)為________．
解析 不等式≤3的解集為
S＝.
因?yàn)閙，n為整數(shù)，所以m，n∈{－2，－1，0，1，2，3}，
所以基本事件總數(shù)為6×6＝36.
因?yàn)閜·q＝2n－m＝0，滿足條件的(m，n)有3個，分別為(0，0)，(－2，－1)，(2，1)，
所以所求概率P＝＝.
因?yàn)棣危絤2的所有不同取值為0，1，4，9，
且有P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，
P(ξ＝4)＝，P(ξ＝9)＝.
所以E(ξ)＝0×＋1×＋4×＋9×＝.
答案
17．有甲、乙兩個盒子，甲盒子中裝有3個小球，乙盒子中裝有5個小球，每次隨機(jī)取一個盒子并從中取一個球，則甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率為________，當(dāng)取完一個盒子中的球時，另一個盒子恰剩下ξ個球，則ξ的期望為________．
解析 甲盒子中的球被取完時，乙盒子中恰剩下2個球的概率
P＝C·＝；
由題意，知ξ的可能取值為1，2，3，4，5，
因?yàn)镻(ξ＝1)＝C＋C·＝，
P(ξ＝2)＝C＋C＝，
P(ξ＝3)＝C＋＝，
P(ξ＝4)＝C＝，
P(ξ＝5)＝＝，
所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
答案
11
（浙江專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 計(jì)數(shù)原理、概率 第2講 概率學(xué)案
