《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件講義 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 1.2 命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件講義 文（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 一、基礎(chǔ)知識批注——理解深一點 1．命題的概念 用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫做命題．其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題. 　　　　　 　　　　　　 　　　　　 2．四種命題及其相互關(guān)系 3．充分條件、必要條件與充要條件 (1)如果p?q，則p是q的充分條件； ①A是B的充分不必要條件是指：A?B且BA； ②A的充分不必要條件是B是指：B?A且AB，在解題中要弄清它們的區(qū)別，以免出現(xiàn)錯誤． (2)如果q?p，則p是q的必要條件； (3)如果既有p?q，又有q?p，記作p?q，則p是q的

2、充要條件． 充要關(guān)系與集合的子集之間的關(guān)系 設(shè)A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， ①若A?B，則p是q的充分條件，q是p的必要條件． ②若AB，則p是q的充分不必要條件，q是p的必要不充分條件． ③若A＝B，則p是q的充要條件． 二、常用結(jié)論匯總——規(guī)律多一點 1．四種命題中的等價關(guān)系 原命題等價于逆否命題，否命題等價于逆命題，所以在命題不易證明時，往往找等價命題進行證明． 2．等價轉(zhuǎn)化法判斷充分條件、必要條件 p是q的充分不必要條件，等價于綈q是綈p的充分不必要條件．其他情況以此類推． 三、基礎(chǔ)小題強化——功底牢一點 (1)“x2＋2x－8<0”是命題

3、．(　　) (2)一個命題非真即假．(　　) (3)四種形式的命題中，真命題的個數(shù)為0或2或4.(　　) (4)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× (二)選一選 1．“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的(　　) A．充要條件　　　　　 　 　B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由x2＋3x＝0，解得x＝－3或x＝0，則當(dāng)“x＝－3”時一定有“x2＋3x＝0”，反之不一定成立，所以“x＝－3”是“x2＋3x＝0”的充分不必要條件． 2．命題“若a>b，則a＋c>b＋c

4、”的否命題是(　　) A．若a≤b，則a＋c≤b＋c B．若a＋c≤b＋c，則a≤b C．若a＋c>b＋c，則a>b D．若a>b，則a＋c≤b＋c 解析：選A　命題的否命題是將原命題的條件和結(jié)論均否定，所以題中命題的否命題為“若a≤b，則a＋c≤b＋c”． 3．(2018·唐山一模)若x∈R，則“x>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選A　當(dāng)x>1時，<1成立，而當(dāng)<1時，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件． (三)填一填 4．“若a，b都是偶數(shù)，則ab是偶數(shù)

5、”的逆否命題為________． 解析：“a，b都是偶數(shù)”的否定為“a，b不都是偶數(shù)”，“ab是偶數(shù)”的否定為“ab不是偶數(shù)”，故其逆否命題為“若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù)”． 答案：若ab不是偶數(shù)，則a，b不都是偶數(shù) 5．設(shè)向量a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，則“a⊥b”是“x＝2”的____________條件． 解析：a＝(x－1，x)，b＝(x＋2，x－4)，若a⊥b，則a·b＝0， 即(x－1)(x＋2)＋x(x－4)＝0，解得x＝2或x＝－， ∴x＝2?a⊥b，反之a(chǎn)⊥b?x＝2或x＝－， ∴“a⊥b”是“x＝2”的必要不充分條件． 答案：必要不充

6、分 [典例]　(2019·菏澤模擬)有以下命題： ①“若xy＝1，則x，y互為倒數(shù)”的逆命題； ②“面積相等的兩個三角形全等”的否命題； ③“若m≤1，則x2－2x＋m＝0有實數(shù)解”的逆否命題； ④“若A∩B＝B，則A?B”的逆否命題． 其中真命題是(　　) A．①②　　　　　　　 　B．②③ C．④ D．①②③ [解析]?、僭}的逆命題為“若x，y互為倒數(shù)，則xy＝1”，是真命題；②原命題的否命題為“面積不相等的兩個三角形不全等”，是真命題；③若m≤1，Δ＝4－4m≥0，所以原命題是真命題，故其逆否命題也是真命題；④由A∩B＝B，得B?A，所以原命題是假命題

7、，故其逆否命題也是假命題，故①②③正確． [答案]　D [解題技法] 1．由原命題寫出其他三種命題的方法 由原命題寫出其他三種命題，關(guān)鍵要分清原命題的條件和結(jié)論，將條件與結(jié)論互換即得逆命題，將條件與結(jié)論同時否定即得否命題，將條件與結(jié)論互換的同時進行否定即得逆否命題． 2．判斷命題真假的2種方法 直接 判斷 判斷一個命題為真命題，要給出嚴(yán)格的推理證明；說明一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可 間接 判斷 根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質(zhì)，當(dāng)一個命題直接判斷不易進行時，可轉(zhuǎn)化為判斷其逆否命題的真假 [提醒]　(1)對于不是“

8、若p，則q”形式的命題，需先改寫； (2)當(dāng)命題有大前提時，寫其他三種命題時需保留大前提． [題組訓(xùn)練] 1．(2019·長春質(zhì)監(jiān))命題“若x2<1，則－11或x<－1，則x2>1 D．若x≥1或x≤－1，則x2≥1 解析：選D　命題的形式是“若p，則q”，由逆否命題的知識，可知其逆否命題是“若綈q，則綈p”的形式，所以“若x2<1，則－1

9、命題及其逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數(shù)為(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 解析：選C　因為P＝＝，Q＝， 所以PQ，所以原命題“x∈P，則x∈Q”為真命題， 則原命題的逆否命題為真命題． 原命題的逆命題“x∈Q，則x∈P”為假命題， 則原命題的否命題為假命題，所以真命題的個數(shù)為2. [典例]　(1)(2019·湖北八校聯(lián)考)若a，b，c，d∈R，則“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的(　　) A．充分不必要條件　　 　B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (2)(2018·天津高

10、考)設(shè)x∈R，則“＜”是“x3＜1”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 (3)已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，則p是q的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 [解析]　(1)定義法 當(dāng)a＝－1，b＝0，c＝3，d＝4時，a＋d＝b＋c，但此時a，b，c，d不成等差數(shù)列；而當(dāng)a，b，c，d依次成等差數(shù)列時，由等差數(shù)列的性質(zhì)知a＋d＝b＋c.所以“a＋d＝b＋c”是“a，b，c，d依次成等差數(shù)列”的必要不充分條件，故選B. (2)集合法 由＜

11、，得0＜x＜1，則0＜x3＜1，即“＜”?“x3＜1”； 由x3＜1，得x＜1， 當(dāng)x≤0時，≥， 即“x3＜1” “＜”． 所以“＜”是“x3＜1”的充分而不必要條件． (3)等價轉(zhuǎn)化法 因為p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1， 所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1， 因為綈q?綈p但綈p綈q，所以綈q是綈p的充分不必要條件，即p是q的充分不必要條件． [答案]　(1)B　(2)A　(3)A [解題技法]　判斷充分、必要條件的3種方法 利用定義判斷 直接判斷“若p，則q”“若q，則p”的真假．在判斷時，確定條件是什么、結(jié)論是什么 從集合的角度判

12、斷 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范圍推得大范圍，即可解決充分必要性的問題 利用等價轉(zhuǎn)化法 條件和結(jié)論帶有否定性詞語的命題，常轉(zhuǎn)化為其逆否命題來判斷真假 [提醒]　判斷條件之間的關(guān)系要注意條件之間關(guān)系的方向，要注意“A是B的充分不必要條件”與“A的充分不必要條件是B”的區(qū)別，要正確理解“p的一個充分不必要條件是q”的含義． [題組訓(xùn)練] 1.已知x∈R，則“x<1”是“x2<1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　若x2<1，則－1

13、∴“x<1”是“x2<1”的必要不充分條件． 2.(2018·南昌調(diào)研)已知m，n為兩個非零向量，則“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　設(shè)m，n的夾角為θ，若m，n的夾角為鈍角，則<θ<π，則cos θ<0，則m·n<0成立；當(dāng)θ＝π時，m·n＝－|m|·|n|<0成立，但m，n的夾角不為鈍角．故“m·n<0”是“m與n的夾角為鈍角”的必要不充分條件． 3.“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既

14、不充分也不必要條件 解析：選A　設(shè)p：xy≠1，q：x≠1或y≠1， 則綈p：xy＝1，綈q：x＝1且y＝1. 可知綈q?綈p，綈p綈q，即綈q是綈p的充分不必要條件． 故p是q的充分不必要條件， 即“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的充分不必要條件． 考點三　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的范圍 [典例]　已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要條件，則m的取值范圍是________． [解析]　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10， 所以P＝{x|－2≤x≤10}， 由x∈P是x∈S的必要條件，知S?P. 則所

15、以0≤m≤3. 所以當(dāng)0≤m≤3時，x∈P是x∈S的必要條件，即所求m的取值范圍是[0,3]． [答案]　[0,3] [變透練清] 1.若本例條件不變，問是否存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件． 解：若x∈P是x∈S的充要條件，則P＝S， 所以解得 即不存在實數(shù)m，使x∈P是x∈S的充要條件． 2.若本例將條件“若x∈P是x∈S的必要條件”變?yōu)椤叭艚怭是綈S的必要不充分條件”，其他條件不變，求實數(shù)m的取值范圍． 解：由例題知P＝{x|－2≤x≤10}， ∵綈P是綈S的必要不充分條件， ∴S是P的必要不充分條件，∴P?S且SP. ∴[－2,10][1－m,1＋m

16、]． ∴或 ∴m≥9，即m的取值范圍是[9，＋∞)． [解題技法]　根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)范圍的方法 (1)解決此類問題一般是把充分條件、必要條件或充要條件轉(zhuǎn)化為集合之間的關(guān)系，然后根據(jù)集合之間的關(guān)系列出關(guān)于參數(shù)的不等式(組)求解． (2)求解參數(shù)的取值范圍時，一定要注意區(qū)間端點值的檢驗，尤其是利用兩個集合之間的關(guān)系求解參數(shù)的取值范圍時，不等式是否能夠取等號決定端點值的取舍，處理不當(dāng)容易出現(xiàn)漏解或增解的現(xiàn)象． 1．已知命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”，命題q：“若a不是正數(shù)，則它的平方等于0”，則q是p的(　　) A．逆命題　　　　　　 　B．否命題 C．逆否命題

17、 D．否定 解析：選B　命題p：“正數(shù)a的平方不等于0”可寫成“若a是正數(shù)，則它的平方不等于0”，從而q是p的否命題． 2．命題“若x2＋3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題及其真假性為(　　) A．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為真命題 B．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為真命題 C．“若x≠4，則x2＋3x－4≠0”為假命題 D．“若x＝4，則x2＋3x－4＝0”為假命題 解析：選C　根據(jù)逆否命題的定義可以排除A、D，因為x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命題為假命題，即逆否命題為假命題． 3．原命題為“若z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|＝|z2|”，關(guān)

18、于其逆命題，否命題，逆否命題真假性的判斷依次如下，正確的是(　　) A．真，假，真　　　　　　 　B．假，假，真 C．真，真，假 D．假，假，假 解析：選B　當(dāng)z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)時，設(shè)z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a－bi，則|z1|＝|z2|＝，所以原命題為真，故其逆否命題為真．取z1＝1，z2＝i，滿足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互為共軛復(fù)數(shù)，所以其逆命題為假，故其否命題也為假． 4．(2018·北京高考)設(shè)a，b，c，d是非零實數(shù)，則“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件

19、 D．既不充分也不必要條件 解析：選B　a，b，c，d是非零實數(shù)，若a<0，d<0，b>0，c>0，且ad＝bc，則a，b，c，d不成等比數(shù)列(可以假設(shè)a＝－2，d＝－3，b＝2，c＝3)．若a，b，c，d成等比數(shù)列，則由等比數(shù)列的性質(zhì)可知ad＝bc.所以“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比數(shù)列”的必要而不充分條件． 5．已知命題α：如果x<3，那么x<5；命題β：如果x≥3，那么x≥5；命題γ：如果x≥5，那么x≥3.關(guān)于這三個命題之間的關(guān)系中，下列說法正確的是(　　) ①命題α是命題β的否命題，且命題γ是命題β的逆命題； ②命題α是命題β的逆命題，且命題γ是命題β的否命題；

20、 ③命題β是命題α的否命題，且命題γ是命題α的逆否命題． A．①③ B．② C．②③ D．①②③ 解析：選A　本題考查命題的四種形式，逆命題是把原命題中的條件和結(jié)論互換，否命題是把原命題的條件和結(jié)論都加以否定，逆否命題是把原命題中的條件與結(jié)論先都否定然后互換所得，故①正確，②錯誤，③正確． 6．(2018·北京高考)設(shè)a，b均為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的(　　) A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　由|a－3b|＝|3a＋b|，得(a－3b)2＝(3a＋b)2， 即a2

21、＋9b2－6a·b＝9a2＋b2＋6a·b. 因為a，b均為單位向量，所以a2＝b2＝1， 所以a·b＝0，能推出a⊥b. 由a⊥b得|a－3b|＝，|3a＋b|＝， 能推出|a－3b|＝|3a＋b|， 所以“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的充分必要條件． 7．如果x，y是實數(shù)，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(　　) A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　設(shè)集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，則A的補集C＝{(x，y)|x＝y(tǒng)}，B的補集D＝{(x，y

22、)|cos x＝cos y}，顯然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分條件． 8．(2019·湘東五校聯(lián)考)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立”的一個必要不充分條件是(　　) A．m> B．00 D．m>1 解析：選C　若不等式x2－x＋m>0在R上恒成立，則Δ＝(－1)2－4m<0，解得m>，因此當(dāng)不等式x2－x＋m>0在R上恒成立時，必有m>0，但當(dāng)m>0時，不一定推出不等式在R上恒成立，故所求的必要不充分條件可以是m>0. 9．在△ABC中，“A＝B”是“tan A＝tan B”的________條件． 解析：

23、由A＝B，得tan A＝tan B，反之，若tan A＝tan B，則A＝B＋kπ，k∈Z.∵0＜A＜π，0－3，但22<32，所以原命題為假命題，則逆否命題也為假命題，若m＝－3，n＝－2，則(－3)2>(－2)2，但－3<2，所以逆命題是假命題，則否命題也是假命題．故假命題的個數(shù)為3. 答案：3 11．已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命題，p(2)

24、是真命題，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析：因為p(1)是假命題，所以1＋2－m≤0，解得m≥3. 又p(2)是真命題，所以4＋4－m>0，解得m<8. 故實數(shù)m的取值范圍為[3,8)． 答案：[3,8) 12．(2019·齊魯名校調(diào)研)給出下列說法： ①“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是假命題； ②“在△ABC中，sin B>sin C是B>C的充要條件”是真命題； ③“a＝1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件； ④命題“若x<－1，則x2－2x－3>0”的否命題為“若x≥－1，則x2－2x－3≤0”． 以上說法正確的

25、是________(填序號)． 解析：對于①，“若x＋y＝，則sin x＝cos y”的逆命題是“若sin x＝cos y，則x＋y＝”，當(dāng)x＝0，y＝時，有sin x＝cos y成立，但x＋y＝，故逆命題為假命題，①正確；對于②，在△ABC中，由正弦定理得sin B>sin C?b>c?B>C，②正確；對于③，“a＝±1”是“直線x－ay＝0與直線x＋ay＝0互相垂直”的充要條件，故③錯誤；對于④，根據(jù)否命題的定義知④正確． 答案：①②④ 13．寫出命題“已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，則a2≥4b”的逆命題、否命題、逆否命題，并判斷它們的真假． 解：(1)逆命題：已知a，b∈R，若a2≥4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，為真命題． (2)否命題：已知a，b∈R，若關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，則a2<4b，為真命題． (3)逆否命題：已知a，b∈R，若a2<4b，則關(guān)于x的不等式x2＋ax＋b≤0沒有非空解集，為真命題． 11