《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用章末復習學案 新人教A版選修2-2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（全國通用版）2018-2019版高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用章末復習學案 新人教A版選修2-2（19頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、 第一章 導數(shù)及其應用 章末復習 學習目標　1.理解導數(shù)的幾何意義，并能解決有關切線的問題.2.能熟練應用求導公式及運算法則.3.掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值與最值，并能應用其解決一些實際問題.4.了解定積分的概念及其簡單的應用． 1．導數(shù)的概念 (1)定義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率 ，稱為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)． (2)幾何意義：函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導數(shù)是函數(shù)圖象在點(x0，f(x0))處的切線的斜率，表示為f′(x0)，其切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 2．基本初等函數(shù)的導數(shù)公式 (1)c′＝0. (2

2、)(xα)′＝αxα－1. (3)(ax)′＝axln a(a>0)． (4)(ex)′＝ex. (5)(logax)′＝′＝(a>0，且a≠1)． (6)(ln x)′＝. (7)(sin x)′＝cos x. (8)(cos x)′＝－sin x. 3．導數(shù)的運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 4．復合函數(shù)的求導法則 (1)復合函數(shù)記法：y＝f(g(x))． (2)中間變量代換：y＝f(u)，u＝g(x)． (3)逐層求導法則：

3、yx′＝y(tǒng)u′·ux′. 5．函數(shù)的單調性、極值與導數(shù) (1)函數(shù)的單調性與導數(shù) 在某個區(qū)間(a，b)內，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個區(qū)間內單調遞減． (2)函數(shù)的極值與導數(shù) ①極大值：在點x＝a附近，滿足f(a)≥f(x)，當x0，當x>a時，f′(x)<0，則點a叫做函數(shù)的極大值點，f(a)叫做函數(shù)的極大值； ②極小值：在點x＝a附近，滿足f(a)≤f(x)，當xa時，f′(x)>0，則點a叫做函數(shù)的極小值點，f(a)叫做函數(shù)的極小值． (3)求函

4、數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的步驟 ①求函數(shù)y＝f(x)在(a，b)內的極值； ②將函數(shù)y＝f(x)的極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值． 6．微積分基本定理 如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么?f(x)dx＝F(b)－F(a)． 7．定積分的性質 (1)?kf(x)dx＝k?f(x)dx(k為常數(shù))． (2)?[f1(x)±f2(x)]dx＝?f1(x)dx±?f2(x)dx. (3)?f(x)dx＝?f(x)dx＋?f(x)dx(其中a

5、函數(shù)y＝f(x)在x＝x0附近的平均變化率．(　×　) 2．函數(shù)f(x)＝sin(－x)的導數(shù)是f′(x)＝cos x．(　×　) 3．若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)且恒正，則?f(x)dx>0.(　√　) 類型一　導數(shù)幾何意義的應用 例1　設函數(shù)f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a>0)，直線l是曲線y＝f(x)的一條切線，當l的斜率最小時，直線l與直線10x＋y＝6平行． (1)求a的值； (2)求f(x)在x＝3處的切線方程． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　求曲線的切線方程 解　(1)f′(x)＝x2＋2ax－9＝(x＋a)2－a2－9， f′(

6、x)min＝－a2－9， 由題意知－a2－9＝－10，∴a＝1或－1(舍去)． 故a＝1. (2)由(1)得a＝1， ∴f′(x)＝x2＋2x－9， 則k＝f′(3)＝6，f(3)＝－10. ∴f(x)在x＝3處的切線方程為y＋10＝6(x－3)， 即6x－y－28＝0. 反思與感悟　利用導數(shù)求切線方程時關鍵是找到切點，若切點未知需設出．常見的類型有兩種：一類是求“在某點處的切線方程”，則此點一定為切點，易求斜率進而寫出直線方程即可得；另一類是求“過某點的切線方程”，這種類型中的點不一定是切點，可先設切點為Q(x1，y1)，由＝f′(x1)和y1＝f(x1)，求出x1，y1的值

7、，轉化為第一種類型． 跟蹤訓練1　直線y＝kx＋b與曲線y＝x3＋ax＋1相切于點(2,3)，則b＝ . 考點　求曲線在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程的應用 答案?。?5 解析　由題意知f(2)＝3，則a＝－3. f(x)＝x3－3x＋1，f′(x)＝3x2－3，f′(2)＝3×22－3＝9＝k， 又點(2,3)在直線y＝9x＋b上， ∴b＝3－9×2＝－15. 類型二　函數(shù)的單調性、極值、最值問題 例2　設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的單調區(qū)間與極值； (2)求證：當a>ln 2－1且x>0時，ex>x2－

8、2ax＋1. 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性 題點　利用導數(shù)證明不等式 (1)解　由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R， 知f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln 2. 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ 極小值 ↗ 故f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，ln 2)，單調遞增區(qū)間是(ln 2，＋∞)，f(x)在x＝ln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2a＝2(1－ln 2＋a)． (2)證明　設g

9、(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R， 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知當a>ln 2－1時，g′(x)取最小值為g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0. 于是對任意x∈R，都有g′(x)>0， 所以g(x)在R內單調遞增． 于是當a>ln 2－1時，對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)． 而g(0)＝0，從而對任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>0， 即ex－x2＋2ax－1>0， 故ex>x2－2ax＋1. 反思與感悟　本類題考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求函數(shù)的極值和證明不等式，考查運算能力、分析問題、解決問題的能力．

10、 跟蹤訓練2　已知函數(shù)f(x)＝xln x. (1)求f(x)的最小值； (2)若對所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求實數(shù)a的取值范圍； (3)若關于x的方程f(x)＝b恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍． 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 解　(1)f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝1＋ln x， 令f′(x)>0，解得x>，令f′(x)<0， 解得0

11、x－1(x≥1)恒成立， 等價于a≤ln x＋(x≥1)恒成立， 令g(x)＝ln x＋，則a≤g(x)min(x≥1)恒成立； ∵g′(x)＝－＝， ∴當x≥1時，g′(x)≥0， ∴g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，∴g(x)min＝g(1)＝1， ∴a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為(－∞，1]． (3)若關于x的方程f(x)＝b恰有兩個不相等的實數(shù)根， 即y＝b和y＝f(x)在(0，＋∞)上有兩個不同的交點， 由(1)知當0

12、，＋∞)上有兩個不同的交點， 即若關于x的方程f(x)＝b恰有兩個不相等的實數(shù)根，則－

13、)對于復雜的平面圖形，常常通過“割補法”來求各部分的面積之和． 跟蹤訓練3　如圖所示，直線y＝kx將拋物線y＝x－x2與x軸所圍圖形的面積分為相等的兩部分，求k的值． 考點　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點　已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù) 解　拋物線y＝x－x2與x軸的兩交點的橫坐標分別為x1＝0，x2＝1，所以拋物線與x軸所圍圖形的面積S＝ ?(x－x2)dx＝＝－＝. 拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點的橫坐標分別為x1′＝0，x2′＝1－k， 所以＝?(x－x2－kx)dx ＝ ＝(1－k)3， 又知S＝，所以(1－k)3＝， 于是k＝1－＝1－. 1

14、.如圖，y＝f(x)是可導函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導函數(shù)，則g′(3)等于(　　) A．－1 B．0 C．2 D．4 考點　導數(shù)的幾何意義的應用 題點　導數(shù)的幾何意義 答案　B 解析　∵直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，∴f(3)＝1.又點(3,1)在直線l上， ∴3k＋2＝1，從而k＝－，∴f′(3)＝k＝－. ∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)， 則g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×＝0. 2．函數(shù)F(x)＝?t(t－

15、4)dt在[－1,5]上(　　) A．有最大值0，無最小值 B．有最大值0，最小值－ C．有最小值－，無最大值 D．既無最大值也無最小值 考點　微積分基本定理的應用 題點　微積分基本定理的綜合應用 答案　B 解析　F′(x)＝′＝x2－4x，令F′(x)＝0，解得x＝0或4， 當F′(x)>0時，x>4或x<0，當F′(x)<0時，0

16、x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的圖象如圖，則函數(shù)y＝ax2＋bx＋的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(－∞，2] B. C．[－2,3] D. 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用 答案　D 解析　不妨取a＝1，又d＝0， ∴f(x)＝x3＋bx2＋cx，∴f′(x)＝3x2＋2bx＋c. 由題圖可知f′(－2)＝0，f′(3)＝0， ∴12－4b＋c＝0,27＋6b＋c＝0， ∴b＝－，c＝－18. ∴y＝x2－x－6，y′＝2x－，當x>時，y′>0， 即單調遞增區(qū)間為，故選D. 4．體積為16π的圓柱，當它的半徑為 時

17、，圓柱的表面積最小． 考點　利用導數(shù)求幾何模型的最值問題 題點　利用導數(shù)求面積的最值問題 答案　2 解析　設圓柱底面半徑為r，母線長為l. ∴16π＝πr2l，即l＝. 則S表面積＝2πr2＋2πrl＝2πr2＋2πr×＝2πr2＋， 由S′＝4πr－＝0，得r＝2. ∴當r＝2時，圓柱的表面積最小． 5．已知函數(shù)f(x)＝過點(1，e)． (1)求y＝f(x)的單調區(qū)間； (2)當x>0時，求的最小值； (3)試判斷方程f(x)－mx＝0(m∈R且m為常數(shù))的根的個數(shù)． 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)零點與方程的根 解　(1)由函數(shù)f(x)＝過點(1，e)

18、，得e1＋b＝e，即b＝0， ∴f(x)＝(x≠0)，f′(x)＝， 令f′(x)>0，得x>1，令f′(x)<0，得00， g′(x)＝， 令g′(x)＝0，解得x＝2或x＝0(舍去)，當x∈(0,2)時，g′(x)<0， 當x∈(2，＋∞)時，g′(x)>0， ∴g(x)在(0,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增， ∴的最小值為g(2)＝. (3)方程f(x)－mx＝0(m∈R且m為常數(shù))等價于m＝＝g(x)， g′(x)＝，易知當x

19、<0時，g′(x)>0. 結合(2)可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,2) 上單調遞減，在(－∞，0)，(2，＋∞)上單調遞增． 原問題轉化為y＝m與y＝g(x)的交點個數(shù)，其圖象如圖， 當m≤0時，方程f(x)－mx＝0(m∈R且m為常數(shù))的根的個數(shù)為0； 當0時，方程f(x)－mx＝0(m∈R且m為常數(shù))的根的個數(shù)為3. 1．利用導數(shù)的幾何意義可以求出曲線上任意一點處的切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．明確“過點P(x

20、0，y0)的曲線y＝f(x)的切線方程”與“在點P(x0，y0)處的曲線y＝f(x)的切線方程”的異同點． 2．借助導數(shù)研究函數(shù)的單調性，經常同三次函數(shù)，一元二次不等式結合，融分類討論、數(shù)形結合于一體． 3．利用導數(shù)求解優(yōu)化問題，注意自變量中的定義域，找出函數(shù)關系式，轉化為求最值問題． 4．不規(guī)則圖形的面積可用定積分求解，關鍵是確定積分上、下限及被積函數(shù)，積分的上、下限一般是兩曲線交點的橫坐標. 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝－sin πx，且 ＝2，則a的值為(　　) A．2 B．－2 C．2π D．－2π 考點　導數(shù)的概念 題點　導數(shù)的概念的簡單應用 答

21、案　A 解析　∵ ＝2， ∴f′(1)＝2，f(x)＝－sin πx， f′(x)＝－acos πx，∴－acos π＝2， ∴a＝2，故選A. 2．設曲線y＝f(x)在某點處的導數(shù)值為0，則過曲線上該點的切線(　　) A．垂直于x軸 B．垂直于y軸 C．既不垂直于x軸也不垂直于y軸 D．方向不能確定 考點　導數(shù)的幾何意義的應用 題點　導數(shù)的幾何意義 答案　B 解析　∵曲線y＝f(x)在某點處的導數(shù)值為0， ∴切線的斜率為0，故選B. 3．若函數(shù)f(x)的導數(shù)是f′(x)＝－x(ax＋1)(a<0)，則函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間是(　　) A. B.， C

22、. D．(－∞，0]， 考點　利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 題點　利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間 答案　C 解析　∵f′(x)＝－x(ax＋1)(a<0)， 令f′(x)<0，即－x(ax＋1)<0， 解得0

23、x)，且函數(shù)y＝(1－x)·f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是(　　) A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2) C．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1) D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2) 考點　函數(shù)極值的綜合應用 題點　函數(shù)極值在函數(shù)圖象上的應用 答案　D 解析　由函數(shù)的圖象可知，f′(－2)＝0，f′(2)＝0， 并且當x<－2時，f′(x)>0， 當－22時

24、，f′(x)>0， 故函數(shù)f(x)有極小值f(2)，故選D. 6．已知a≤＋ln x對任意x∈恒成立，則a的最大值為(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 考點　利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍 題點　利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍 答案　A 解析　令f(x)＝＋ln x， ∴f′(x)＝， 當x∈時，f′(x)<0，f(x)單調遞減， 當x∈(1,2]時，f′(x)>0，f(x)單調遞增， ∴f(x)≥f(1)＝0，則a≤0，即a的最大值為0. 7．若函數(shù)f(x)＝x3－x2＋2bx在區(qū)間[3,5]上不是單調函數(shù)，則函數(shù)f(x)在R上的極大值為(　　)

25、 A.b2－b3 B.b－ C．2b－ D．0 考點　函數(shù)在某點處取得極值的條件 題點　含參數(shù)求極值問題 答案　C 解析　f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)， ∵函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,5]上不是單調函數(shù)， ∴30，得x<2或x>b， 由f′(x)<0，得2

26、線的斜率為2，則點P的坐標為 ． 考點　求函數(shù)在某點處的切線斜率或切點坐標 題點　求函數(shù)在某點處的切點坐標 答案　(－2,15) 解析　y′＝3x2－10，令y′＝2，解得x＝±2.又∵點P在第二象限內，∴x＝－2，此時y＝15，∴點P的坐標為(－2,15)． 9．已知曲線y＝與直線x＝a，y＝0所圍成的封閉區(qū)域的面積為a3，則a＝ . 考點　利用定積分求曲線所圍成圖形面積 題點　已知曲線所圍成圖形的面積求參數(shù) 答案　 解析　由題意得a3＝?dx＝＝， 即＝，解得a＝. 10．已知定義在區(qū)間(－π，0)上的函數(shù)f(x)＝xsin x＋cos x

27、，則f(x)的單調遞減區(qū)間是 ． 考點　利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間 題點　利用導數(shù)求不含參數(shù)函數(shù)的單調區(qū)間 答案　 解析　f′(x)＝xcos x，當x∈時，f′(x)<0， ∴f(x)的單調遞減區(qū)間是. 11．若函數(shù)f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值為，則實數(shù)a的值為 ． 考點　導數(shù)在最值問題中的應用 題點　已知最值求參數(shù) 答案?。? 解析　f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝±， 當x>時，f′(x)<0，f(x)單調遞減； 當－0，f(x)單調遞增． 若≥1，即a≥1， 則當x∈[1，＋∞)時，f(x

28、)max＝f()＝＝， 解得＝<1，不合題意，∴<1， 且當x∈[1，＋∞)時，f(x)max＝f(1)＝＝， 解得a＝－1，滿足<1. 三、解答題 12．求拋物線y＝－x2＋4x－3與其在點(0，－3)和點(3,0)處的切線所圍成的圖形的面積． 考點　求函數(shù)在某點處的切線方程 題點　曲線的切線方程的應用 解　如圖，∵y′＝－2x＋4， ∴y′|x＝0＝4，y′|x＝3＝－2. ∴在點(0，－3)處的切線方程是y＝4x－3，在點(3,0)處的切線方程是y＝－2(x－3)． 聯(lián)立方程組 即 得交點坐標為. 所以由它們圍成的圖形面積為 S＝ ＝ ＝＋＝. 1

29、3．已知函數(shù)f(x)＝ln x＋. (1)若f(x)在定義域內單調遞增，求實數(shù)k的值； (2)若f(x)的極小值大于0，求實數(shù)k的取值范圍． 考點　利用導數(shù)研究函數(shù)的極值 題點　已知極值求參數(shù) 解　(1)依題意可知f′(x)＝(x－k)(ln x＋1)， 令f′(x)＝0，可得x1＝k，x2＝. 若x1≠x2，則在x1，x2之間存在一個區(qū)間， 使得f′(x)<0，不滿足題意． 因此x1＝x2，即k＝. (2)當k<時，若k>0，則f′(x)在上小于0，在上大于0，若k≤0，則f′(x)在上小于0，在上大于0， 因此x＝是極小值點，f?＝－>0， 解得k>，∴

30、當k>時，f′(x)在上小于0，在(k，＋∞)上大于0， 因此x＝k是極小值點，f(k)＝(1－2ln k)>0， 解得k<，∴a>0，<1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是 ． 考點　數(shù)學思想方法在導數(shù)中的應用 題點　轉化與化歸思想在導數(shù)中的應用 答案　 解析　對任意的b>a>0，<1恒成立， 等價于f(b)－b

31、x)在(0，＋∞)上是單調減函數(shù)， 即h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立， 得m≥－x2＋x＝－2＋(x>0)恒成立， 得m≥， 所以實數(shù)m的取值范圍是. 15．已知函數(shù)f(x)＝ln x－a(x－1)，a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調性； (2)當x≥1時，f(x)≤恒成立，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　利用導數(shù)求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍 題點　利用導數(shù)求恒成立問題中參數(shù)的取值范圍 解　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝， 若a≤0，則f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上單調遞增， 若a>0，則由f′(x)＝0，得x＝， 當x∈時，f

32、′(x)>0， 當x∈時，f′(x)<0， ∴f(x)在上單調遞增，在上單調遞減． ∴當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增， 當a>0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減． (2)f(x)－＝， 令g(x)＝xln x－a(x2－1)，x≥1， g′(x)＝ln x＋1－2ax， 令F(x)＝g′(x)＝ln x＋1－2ax，F(xiàn)′(x)＝， ①若a≤0，F(xiàn)′(x)>0，g′(x)在[1，＋∞)上單調遞增， g′(x)≥g′(1)＝1－2a>0， ∴g(x)在[1，＋∞)上單調遞增，g(x)≥g(1)＝0， 從而f(x)－≥0，不符合題意． ②若00， ∴g′(x)在上單調遞增， 從而g′(x)>g′(1)＝1－2a>0， ∴g(x)在上單調遞增，g(x)≥g(1)＝0， 從而f(x)－≥0，不符合題意． ③若a≥，F(xiàn)′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立， ∴g′(x)在[1，＋∞)上單調遞減，g′(x)≤g′(1)＝1－2a≤0， 從而g(x)在[1，＋∞)上單調遞減， ∴g(x)≤g(1)＝0，f(x)－≤0， 綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是. 19