《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.3 球的表面積和體積學(xué)案 北師大版必修2（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 7．3　球的表面積和體積 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.了解球的表面積與體積公式，并能應(yīng)用它們求球的表面積及體積.2.會求解組合體的體積與表面積． 知識點一　球的截面 思考　什么叫作球的大圓與小圓？ 答案　平面過球心與球面形成的截線是大圓． 平面不過球心與球面形成的截線是小圓． 梳理　用一個平面α去截半徑為R的球O的球面得到的是圓，有以下性質(zhì)： (1)若平面α過球心O，則截線是以O(shè)為圓心的球的大圓． (2)若平面α不過球心O，如圖，設(shè)OO′⊥α，垂足為O′，記OO′＝d，對于平面α與球面的任意一個公共點P，都滿足OO′⊥O′P，則有O′P＝，即此時截線是以O(shè)′為圓心，以r＝為半徑的球的

2、小圓． 知識點二　球的切線 (1)定義：與球只有唯一公共點的直線叫作球的切線．如圖，l為球O的切線，M為切點． (2)性質(zhì)：①球的切線垂直于過切點的半徑； ②過球外一點的所有切線的長度都相等． 知識點三　球的表面積與體積公式 前提條件 球的半徑為R 表面積公式 S＝4πR2 體積公式 V＝πR3 1．球的表面積等于它的大圓面積的2倍．(　×　) 2．兩個球的半徑之比為1∶2，則其體積之比為1∶4.(　×　) 3．球心與其截面圓的圓心的連線垂直于截面．(　√　) 類型一　球的表面積與體積 例1　已知球的表面積為64π，求它的體積． 考點　

3、題點　 解　設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4， 所以球的體積V＝πR3＝π·43＝π. 反思與感悟　(1)要求球的體積或表面積，必須知道半徑R或者通過條件能求出半徑R，然后代入體積或表面積公式求解． (2)半徑和球心是球的最關(guān)鍵要素，把握住了這兩點，計算球的表面積或體積的相關(guān)題目也就易如反掌了． 跟蹤訓(xùn)練1　已知球的體積為π，求它的表面積． 解　設(shè)球的的半徑為R，則πR3＝π， 解得R＝5， 所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π. 類型二　球的截面 例2　在半徑為R的球面上有A，B，C三點，且AB＝BC＝CA＝3，球心到△ABC所在截面的距離為球半

4、徑的一半，求球的表面積． 考點　 題點　 解　依題意知，△ABC是正三角形，△ABC的外接圓半徑r＝×3＝. 由R2＝2＋()2，得R＝2. 所以球的表面積S＝4πR2＝16π. 反思與感悟　(1)有關(guān)球的截面問題，常畫出過球心的截面圓，將問題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問題． (2)解題時要注意借助球半徑R，截面圓半徑r，球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形，即R2＝d2＋r2. 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(　　) A. cm3 B

5、. cm3 C. cm3 D. cm3 考點　 題點　 答案　A 解析　利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解． 如圖，作出球的一個截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)． 設(shè)球的半徑為R cm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5， ∴V球＝π×53＝(cm3)． 類型三　與球有關(guān)的組合體 命題角度1　球的內(nèi)接或外切柱體問題 例3　(1)一個長方體的各個頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1,2,3，則此球的表面積為________． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　14π

6、解析　長方體外接球直徑長等于長方體體對角線長，即2R＝＝， 所以球的表面積S＝4πR2＝14π. (2)將棱長為2的正方體木塊削成一個體積最大的球，則該球的體積為________． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　 解析　由題意知，此球是正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為2，故半徑為1，其體積是×π×12＝. 反思與感悟　(1)正方體的內(nèi)切球 球與正方體的六個面都相切，稱球為正方體的內(nèi)切球，若正方體的棱長為a，此時球的半徑為r1＝. (2)長方體的外接球 長方體的八個頂點都在球面上，稱球為長方體

7、的外接球，根據(jù)球的定義可知，長方體的體對角線是球的直徑，若長方體過同一頂點的三條棱長為a，b，c，則過球心作長方體的對角面有球的半徑為r2＝. 跟蹤訓(xùn)練3　表面積為的正四面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為(　　) A.π B.π Cπ D.π 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　A 解析　如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個正方體．設(shè)正四面體的棱長為a. ∵正四面體的表面積為， ∴4×a2＝，解得a＝， ∴正方體的棱長是， 又∵球的直徑是正方體的體對角線，設(shè)球的半徑是R，∴2R＝×，∴R＝，∴球的體積為π·3＝π，故選A. 命題角

8、度2　球的內(nèi)接錐體問題 例4　若棱長為a的正四面體的各個頂點都在半徑為R的球面上，求球的表面積． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 解　把正四面體放在正方體中，設(shè)正方體棱長為x，則a＝x， 由題意2R＝x＝×＝a， ∴S球＝4πR2＝πa2. 反思與感悟　將正四面體補(bǔ)成正方體．由此可得正四面體的棱長a與外接球半徑R的關(guān)系為2R＝a. 跟蹤訓(xùn)練4　球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________． 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的體積計算問題 答案　或 解析　設(shè)球的半徑為R，則球心

9、到圓錐底面的距離為R. ①當(dāng)圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時，過球心及內(nèi)接圓錐的軸作軸截面如圖，此時圓錐底面圓的半徑為R，高為R，故圓錐的體積與球的體積之比為＝. ②當(dāng)圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時，同理求得二者體積比為. 1．把3個半徑為R的鐵球熔成一個底面半徑為R的圓柱，則圓柱的高為(　　) A．R B．2R C．3R D．4R 考點　球的體積 題點　與截面有關(guān)的球的體積計算問題 答案　D 解析　設(shè)圓柱的高為h，則πR2h＝3×πR3，得h＝4R. 2．平面α截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面α的距離為，則此球的體積為(　　) A.π B．4π C．4π

10、 D．6π 考點　球的體積 題點　與截面有關(guān)的球的體積計算問題 答案　B 解析　如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′， M為截面圓上任一點， 則OO′＝，O′M＝1. ∴OM＝＝. 即球的半徑為. ∴V＝π()3＝4π. 3．若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為(　　) A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πRr D．π(R＋r)2 答案　C 解析　方法一　如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4r＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝.故球的表面積為S球＝4πr＝4

11、πRr. 方法二　如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即r＝Rr，故r1＝，故球的表面積為S球＝4πRr. 4．兩個球的表面積之差為48π，它們的大圓周長之和為12π，則這兩個球的半徑之差為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 考點　 題點　 答案　B 解析　設(shè)兩球半徑分別為R1，R2，且R1>R2，則4π(R－R)＝48π，2π(R1＋R2)＝12π，所以R1－R2＝2. 5．若球的半徑由R增加為2R，則這個球的體積變?yōu)樵瓉淼腳_______倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?/p>

12、________倍． 考點　 題點　 答案　8　4 解析　球的半徑為R時，球的體積為V1＝πR3，表面積為S1＝4πR2，半徑增加為2R后，球的體積為V2＝π(2R)3＝πR3，表面積為S2＝4π(2R)2＝16πR2. 所以＝＝8，＝＝4， 即體積變?yōu)樵瓉淼?倍，表面積變?yōu)樵瓉淼?倍． 1．利用球的半徑、球心到截面圓的距離、截面圓的半徑可構(gòu)成直角三角形，進(jìn)行相關(guān)計算． 2．解決球與其他幾何體的切接問題時，通常先作截面，將球與幾何體的各量體現(xiàn)在平面圖形中，再進(jìn)行相關(guān)計算. 一、選擇題 1．三個球的半徑之比為1∶2∶3，那么最大的球的體積是其他兩個球的體積之和的(　　

13、) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍 考點　 題點　 答案　C 解析　設(shè)三個球的半徑由小到大依次為r1，r2，r3， 則r1∶r2∶r3＝1∶2∶3， ∴V3＝πr＝×27πr＝36πr，V1＋V2＝πr＋πr＝×9πr＝12πr， ∴V3＝3(V1＋V2)． 2．設(shè)正方體的表面積為24 cm2，一個球內(nèi)切于該正方體，那么這個球的體積是(　　) A.π cm3 B.π cm3 C.π cm3 D.π cm3 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計算問題 答案　D 解析　由正方體的表面積為24 cm2，得正方體的棱長為2 cm，故

14、這個球的直徑為2 cm，故這個球的體積為π cm3. 3.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6 cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球，如圖所示．則球的半徑是(　　) A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 考點　球的體積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)的球的體積計算問題 答案　C 解析　設(shè)球半徑為r，則由3V球＋V水＝V柱，可得 3×πr3＋πr2×6＝πr2×6r，解得r＝3. 4．直徑為6的球的表面積和體積分別是(　　) A．36π，144π B．36π，36π C．144π，36π D．144π，144

15、π 考點　 題點　 答案　B 解析　球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝π·33＝36π. 5．一平面截一球得到直徑為6 cm的圓面，球心到這個圓面的距離是4 cm，則該球的體積是(　　) A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 考點　球的體積 題點　與截面有關(guān)的球的體積計算問題 答案　C 解析　如圖，根據(jù)題意，|OO1|＝4 cm，|O1A|＝3 cm， ∴|OA|＝R＝＝5(cm)， 故球的體積V＝πR3＝(cm3)．故選C. 6．一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，如果正四棱柱的底面邊長為2 cm，

16、那么該棱柱的表面積為(　　) A．(2＋4) cm2 B．(8＋16) cm2 C．(4＋8) cm2 D．(16＋32) cm2 考點　球的表面積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計算問題 答案　B 解析　∵一個正四棱柱的各個頂點都在一個半徑為2 cm的球面上，∴正四棱柱的底面邊長為2 cm，球的直徑為正四棱柱的體對角線，∴正四棱柱的體對角線為4 cm，正四棱柱的底面對角線長為2 cm，∴正四棱柱的高為＝2 (cm)，∴該棱柱的表面積為2×22＋4×2×2＝8＋16 (cm2)，故選B. 7．若長方體的長、寬、高分別為5,4,3，則它的外接球的表面積為(　　) A.π

17、 B．50π C.π D.π 考點　 題點　 答案　B 解析　因為長方體的體對角線為外接球的直徑，所以外接球的半徑r＝×＝，所以它的外接球的表面積S＝4πr2＝50π. 二、填空題 8．兩個球的半徑相差1，表面積之差為28π，則它們的體積和為________． 考點　 題點　 答案　 解析　設(shè)大，小兩球半徑分別為R，r， 則 所以 所以體積和為πR3＋πr3＝. 9．已知一個正方體的所有頂點在一個球面上，若球的體積為，則正方體的棱長為________． 考點　 題點　 答案　 解析　設(shè)球的半徑為R，正方體棱長為a，則V球＝πR3＝π，得到R＝，正方

18、體體對角線的長為a＝2R，則a＝，所以正方體的棱長為. 10．已知正四棱錐O-ABCD的體積為，底面邊長為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為________． 考點　 題點　 答案　24π 解析　V四棱錐O-ABCD＝××h＝，得h＝， ∴OA2＝h2＋2＝＋＝6. ∴S球＝4πOA2＝24π. 11．已知H是球O的直徑AB上一點，AH∶HB＝1∶2，AB⊥平面α，H為垂足，α截球O所得截面的面積為π，則球O的表面積為________． 考點　 題點　 答案　π 解析　如圖所示，CD是截面圓的直徑． ∴2·π＝π，即CD＝2， 設(shè)球O的半徑為R， ∵AH

19、∶HB＝1∶2， ∴AH＝×2R＝R， ∴OH＝R－R＝R， 由OD2＝OH2＋HD2，得R2＝R2＋1， ∴R2＝， ∴S球＝4πR2＝π. 三、解答題 12．某組合體的直觀圖如圖所示，它的中間為圓柱體，左右兩端均為半球體，若圖中r＝1，l＝3，試求該組合體的表面積和體積． 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球組合的幾何體的表面積與體積 解　該組合體的表面積 S＝4πr2＋2πrl＝4π×12＋2π×1×3＝10π. 該組合體的體積V＝πr3＋πr2l＝π×13＋π×12×3＝. 13．有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個

20、半徑為r的鐵球，并注入水，使水面與球正好相切，然后將球取出，求這時容器中水的深度． 考點　組合幾何體的表面積與體積 題點　柱、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積 解　由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，如圖所示為圓錐的軸截面． 根據(jù)切線性質(zhì)知，當(dāng)球在容器內(nèi)時，水深為3r，水面的半徑為r，則容器內(nèi)水的體積為V＝V圓錐－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3， 而將球取出后，設(shè)容器內(nèi)水的深度為h，則水面圓的半徑為h， 從而容器內(nèi)水的體積是V′＝π·2·h＝πh3， 由V＝V′，得h＝r. 即容器中水的深度為r. 四、探究與拓展 14．已知長方體共頂點的三個側(cè)面面積分別為，

21、，，則它的外接球表面積為________． 考點　 題點　 答案　9π 解析　如圖，是過長方體的一條體對角線AC1的截面，設(shè)長方體有公共頂點的三條棱的長分別為x，y，z，則由已知， 得解得 所以球的半徑R＝AB＝＝， 所以S球＝4πR2＝9π. 15．有三個球，第一個球內(nèi)切于正方體的六個面，第二個球與這個正方體各條棱都相切，第三個球過這個正方體的各個項點，求這三個球的表面積之比． 考點　球的表面積 題點　與外接、內(nèi)切有關(guān)球的表面積計算問題 解　設(shè)正方體棱長為a，三個球的半徑依次為R1，R2，R3，則有2R1＝a，R1＝，a＝2R2，R2＝a，a＝2R3， R3＝a，所以R1∶R2∶R3＝1∶∶. 所以S1∶S2∶S3＝R∶R∶R＝1∶2∶3. 即這三個球的表面積之比為1∶2∶3. 16