《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及其線性運算學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國版）2019版高考數(shù)學一輪復習 第4章 平面向量 第1講 平面向量的概念及其線性運算學案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第1講　平面向量的概念及其線性運算 板塊一　知識梳理·自主學習 [必備知識] 考點1　向量的有關(guān)概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模． (2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的． (3)單位向量：長度等于1個單位的向量． (4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量． 規(guī)定：0與任一向量共線． (5)相等向量：長度相等且方向相同的向量． (6)相反向量：長度相等且方向相反的向量． 考點2　向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 交換律： a＋b＝b＋a

2、； 結(jié)合律： (a＋b)＋c＝ a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算 a－b＝a＋(－b) 續(xù)表 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 |λa|＝|λ||a|， 當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝ λa＋λb 考點3　共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa. [必會結(jié)論] 1．一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從

3、第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋An－1An＝.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量． 2．若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任一點，則＝(＋)． [考點自測] 1．判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。?　　) (2)向量與有向線段是一樣的，因此可以用有向線段來表示向量．(　　) (3)＝－.(　　) (4)向量a－b與b－a是相反向量．(　　) (5)向量與向量是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上．(　　) (6)當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立．

4、(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)√ 2．[課本改編]如圖所示，在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論中錯誤的是(　　) A.＝ B.＋＝ C.－＝ D.＋＝0 答案　C 解析　由－＝＝－，故C錯誤． 3．[課本改編]設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，＋＝2，則(　　) A.＋＝0 B.＋＝0 C.＋＝0 D.＋＋＝0 答案　B 解析　∵＋＝2，∴P為AC的中點，∴＋＝0.選B. 4．[2018·溫州模擬]已知a與b是兩個不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 答案?。? 解析　設(shè)a＋

5、λb＝k[－(b－3a)]＝3ka－kb，∴1＝3k，且λ＝－k，∴λ＝－. 5．[2015·北京高考]在△ABC中，點M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 答案　?。? 解析　由題中條件得＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－. 板塊二　典例探究·考向突破 考向　平面向量的概念 例　1　給出下列命題： ①若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同； ②若a與b共線，b與c共線，則a與c也共線； ③若A，B，C，D是不共線的四點，則＝，則ABCD為平行四邊形； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤已知λ，μ

6、為實數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中真命題的序號是________． 答案?、? 解析　①錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等；但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點． ②錯誤，若b＝0，則a與c不一定共線． ③正確，因為＝，所以||＝||且∥；又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形． ④錯誤，當a∥b且方向相反時，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，所以|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤錯誤，當λ＝μ＝0時，a與b可以為任意向量，滿足λa＝μb，但a與b不一定共線． 故填③. 觸類旁通 對于

7、向量的概念應注意的問題 (1)向量的兩個特征：有大小，有方向，向量既可以用有向線段表示，字母表示，也可以用坐標表示． (2)相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量一定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量． (3)向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小． (4)向量是自由向量，所以平行向量就是共線向量，二者是等價的． 【變式訓練1】　設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1

8、 C．2 D．3 答案　D 解析　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 考向　平面向量的線性運算 命題角度1　向量加減法的幾何意義 例　2　[2017·全國卷Ⅱ]設(shè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則(　　) A．a(chǎn)⊥b B．|a|＝|b| C．a(chǎn)∥b D．|a|＞|b| 答案　A 解析　解法一：∵|a＋b|＝|a－b|， ∴|a＋b|2＝|a－b|2. ∴a2＋b2＋2a

9、·b＝a2＋b2－2a·b. ∴a·b＝0.∴a⊥b. 故選A. 解法二：利用向量加法的平行四邊形法則． 在?ABCD中，設(shè)＝a，＝b， 由|a＋b|＝|a－b|知||＝||， 從而四邊形ABCD為矩形，即AB⊥AD，故a⊥b. 故選A. 命題角度2　向量的線性運算 例　3　[2015·全國卷Ⅰ]設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點，＝3，則(　　) A.＝－＋ B.＝－ C.＝＋ D.＝－ 答案　A 解析?。剑剑剑?－ )＝－＝－＋.故選A. 命題角度3　利用向量的線性運算求參數(shù) 例　4　[2018·唐山模擬]在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝3

10、0°，AB＝2，BC＝2，點E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________． 答案　0≤μ≤ 解析　由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2. ∵點E在線段CD上， ∴＝λ(0≤λ≤1)． ∵＝＋， 又＝＋μ＝＋2μ＝＋， ∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤. 觸類旁通 平面向量線性運算的一般規(guī)律 (1)用已知向量來表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運算外，還應充分利用平面幾何的一些定理． (2)在求向量時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應邊成比例等平面

11、幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解． 考向　共線向量定理的應用 例　5　設(shè)e1，e2是兩個不共線的向量，已知＝2e1－8e2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點共線； (2)若＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線，求k的值． 解　(1)證明：由已知得＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵＝2e1－8e2，∴＝2. 又∵與有公共點B， ∴A，B，D三點共線． (2)由(1)可知＝e1－4e2， ∵＝3e1－ke2，且B，D，F(xiàn)三點共線， ∴＝λ(λ∈R)， 即3e1－ke2＝λe1－4

12、λe2，得解得k＝12. 觸類旁通 怎樣用向量證明三點共線問題 兩向量共線且有公共點(起點相同或終點相同，或一個向量的起點是另一個向量的終點)，則可以得到三點共線；反之由三點共線也可得到向量共線． 【變式訓練2】　已知O，A，B是不共線的三點，且＝m＋n(m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點共線； (2)若A，P，B三點共線，求證：m＋n＝1. 證明　(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線． 又∵與有公共點B，∴A，P，B三點共線． (2)若A，P，B三點共線，存在實數(shù)λ，使＝λ， ∴

13、－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共線，∴，不共線， ∴∴m＋n＝1. 核心規(guī)律 1.向量的加、減法運算，要在所表達的圖形上多思考，多聯(lián)系相關(guān)的幾何圖形，比如平行四邊形、菱形、三角形等，可多記憶一些有關(guān)的結(jié)論． 2.對于向量共線定理及其等價定理，關(guān)鍵要理解向量a與b共線是指a與b所在的直線平行或重合． 3.要證明三點共線或直線平行都是先探索有關(guān)的向量滿足向量等式b＝λa，再結(jié)合條件或圖形有無公共點證明幾何位置． 滿分策略 1.兩向量起點相同，終點相同，則兩向量相等；但兩相等向量，不一定有相

14、同的起點和終點． 2.零向量和單位向量是兩個特殊的向量．它們的模確定，但方向不確定． 3.注意區(qū)分向量共線與向量所在的直線平行間的關(guān)系．向量與是共線向量，但A，B，C，D四點不一定在一條直線上． 4.向量共線的充要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個. 板塊三　啟智培優(yōu)·破譯高考 易錯警示系列6——向量線性運算中的易錯點 [2018·鐵嶺模擬]已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 錯因分析　本題主要考查向量的有關(guān)運算以及向量運算的幾何意義．求解該題時容易出現(xiàn)兩個問題：一是不能根據(jù)

15、＋＋＝0分析出點M與△ABC之間的關(guān)系；二是不能靈活利用三角形的性質(zhì)和向量運算的幾何意義找出，與之間的關(guān)系． 解析　解法一：由＋＋＝0，知點M為△ABC的重心，設(shè)點D為邊BC的中點，則由向量加法，可知＋＝2. 由重心的性質(zhì)，可知||＝||， 而且與同向，故＝， 所以＝×(＋)＝(＋)， 所以＋＝3，m＝3.故選B. 解法二：由已知得＋＋＋＝m， 又∵＋＝－＝，∴3＝m， ∴m＝3.故選B. 答案　B 答題啟示　進行向量運算時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，選用從同一頂點出發(fā)的基底或首尾相接的向量，運用向量加、減法運算及數(shù)乘運算來求解.充分利用相等向量、相反向量和線段的

16、比例關(guān)系，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解. 跟蹤訓練 在△ABC中，點D在邊CB的延長線上，且＝4＝r－s，則s＋r等于(　　) A．0 B. C. D．3 答案　C 解析　因為＝4，所以＝.又因為＝－，所以＝(－)＝－，所以r＝s＝，s＋r＝. 板塊四　模擬演練·提能增分 [A級　基礎(chǔ)達標] 1．[2018·南京模擬]對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 答案　A 解析　若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b；若a∥b，則a＝λb，

17、a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要條件．故選A. 2．已知O，A，B，C為同一平面內(nèi)的四個點，若2＋＝0，則向量等于(　　) A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2 答案　C 解析　因為＝－，＝－，所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，所以＝2－.故選C. 3．[2018·嘉興模擬]已知向量a與b不共線，且＝λa＋b，＝a＋μb，則點A，B，C三點共線應滿足 (　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λμ＝1 答案　D 解析　若A，B，C三點共線，則＝k，即λa＋b＝k(a＋μb)，所以λa＋b＝ka＋μkb，所以λ＝k,1＝μ

18、k，故λμ＝1.故選D. 4．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點，則＋＝(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.故選A. 5．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對 答案　C 解析　由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因為與不平行，所以四邊形ABCD是梯形．故選C. 6.[2018·北京海淀期末]如圖，在正方形ABCD中，E為DC的中

19、點，若＝λ＋μ，則λ＋μ的值為(　　) A. B．－ C．1 D．－1 答案　A 解析　因為E為DC的中點，所以＝＋＝＋＋＝＋，即＝－＋，所以λ＝－，μ＝1，所以λ＋μ＝.故選A. 7．[2018·綿陽模擬]在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點，則＝(　　) A.＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案　B 解析　因為＝－2，所以＝2.又M是BC的中點，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋.故選B. 8．若點O是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 答案　直角三角形 解析　因為＋－2＝－＋－＝＋，－＝＝－，

20、所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC為直角三角形． 9．[2018·江蘇模擬]設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 答案　 解析?。剑剑剑?－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2， ∴λ1＝－，λ2＝，故λ1＋λ2＝. 10．△ABC所在的平面內(nèi)有一點P，滿足＋＋＝，則△PBC與△ABC的面積之比是________． 答案　 解析　因為＋＋＝，所以＋＋＝－，所以＝－2＝2，即P是AC邊的一個三等分點，且PC＝AC，由三角形的面積公式可知，＝＝. [B級　知能提升] 1．

21、[2018·福建模擬]設(shè)M為平行四邊形ABCD對角線的交點，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)任意一點，則＋＋＋等于(　　) A. B．2 C．3 D．4 答案　D 解析　＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝2＋2＝4.故選D. 2．在平行四邊形ABCD中，點E是AD的中點，BE與AC相交于點F，若＝m＋n(m，n∈R)，則的值為(　　) A．－2 B．－ C．2 D. 答案　A 解析　設(shè)＝a，＝b，則＝ma＋nb，＝－＝b－a，由向量與共線可知存在實數(shù)λ，使得＝λ，即ma＋nb＝λb－λa，又a與b不共線，則所以＝－2.故選A. 3．[2018·泉州四校聯(lián)考]設(shè)e1，e2是不共

22、線的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三點共線，則λ的值為________． 答案　2 解析　∵＝2e1＋e2，＝3e1－e2， ∴＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，若A，B，D三點共線，則與共線，存在μ∈R使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共線的向量，得解得λ＝2. 4．已知||＝1，||＝，∠AOB＝90°，點C在∠AOB內(nèi)，且∠AOC＝30°.設(shè)＝m＋n(m，n∈R)，求的值． 解　如圖所示，因為OB⊥OA，設(shè)||＝2，過點C作CD⊥OA于點D，CE⊥OB于點E，所以四邊形ODCE是矩形， ＝＋＝＋. 因為||＝2，∠COD＝30°，所以||＝1，||＝. 又因為||＝，||＝1，所以＝，＝， ＝＋，此時m＝，n＝，所以＝＝3. 5．[2018·大同模擬]若點M是△ABC所在平面內(nèi)的一點，且滿足5＝＋3，求△ABM與△ABC的面積之比． 解　設(shè)AB的中點為D，如圖，連接MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3?、?， 即＝＋， 即＋＝1， 故C，M，D三點共線，又＝＋?、?， ①②聯(lián)立，得5＝3，即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為，所以△ABM與△ABC的面積的比值為. 13