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(全國通用版)2018-2019高中數(shù)學 第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞學案 新人教A版選修2-1

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1、 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞 學習目標 1.理解全稱量詞與存在量詞的含義.2.理解并掌握全稱命題和特稱命題的概念.3.能判定全稱命題與特稱命題的真假,并掌握其判定方法. 知識點一 全稱量詞、全稱命題 思考 觀察下面的兩個語句,思考下列問題: P:m≤5; Q:對所有的m∈R,m≤5. 上面的兩個語句是命題嗎?二者之間有什么關(guān)系? 答案 語句P無法判斷真假,不是命題;語句Q在語句P的基礎(chǔ)上增加了“所有的”,可以判斷真假,是命題.語句P是命題Q中的一部分. 梳理 (1)全稱量詞及全稱命題的概念 短語“所有的”“任意一個”在邏輯中通常叫做全稱量詞,并用符號“?

2、”表示.含有全稱量詞的命題,叫做全稱命題. (2)表示 將含有變量x的語句用p(x),q(x),r(x),…表示,變量x的取值范圍用M表示.那么,全稱命題“對M中任意一個x,有p(x)成立”可用符號簡記為?x∈M,p(x),讀作“對任意x屬于M,有p(x)成立”. (3)全稱命題的真假判定 要判定全稱命題是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)成立,但要判定全稱命題是假命題,只需舉出一個x0∈M,使得p(x0)不成立即可. 知識點二 存在量詞、特稱命題 思考 找出下列命題的共同特征,并判斷其真假. (1)存在x0∈R,x≤0; (2)有些三棱錐是正四面體. 答案 所給

3、命題都是真命題,它們都表示“存在”的意思. 梳理 (1)存在量詞及特稱命題的要命 短語“存在一個”“至少有一個”在邏輯中通常叫做存在量詞,并用符號“?”表示.含有存在量詞的命題,叫做特稱命題. (2)表示 特稱命題“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”可用符號簡記為?x0∈M,p(x0),讀作“存在M中的元素x0,使p(x0)成立”. (3)特稱命題的真假判定 要判定一個特稱命題是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可,否則這一特稱命題就是假命題. (1)“有些”“某個”“有的”等短語不是存在量詞.(×) (2)全稱量詞的含義是“任意性”,存在量詞的

4、含義是“存在性”.(√) (3)全稱命題中一定含有全稱量詞,特稱命題中一定含有存在量詞.(×) 類型一 判斷命題的類型 例1 將下列命題用“?”或“?”表示. (1)實數(shù)的平方是非負數(shù); (2)方程ax2+2x+1=0(a<1)至少存在一個負根; (3)若直線l垂直于平面α內(nèi)任一直線,則l⊥α. 考點 量詞與命題 題點 全稱(特稱)命題的符號表示 解 (1)?x∈R,x2≥0. (2)?x0<0,ax+2x0+1=0(a<1). (3)若?a?α,l⊥a,則l⊥α. 反思與感悟 判斷一個命題是全稱命題還是特稱命題的關(guān)鍵是看量詞.由于某些全稱命題的量詞可能省略,所以要

5、根據(jù)命題表達的意義判斷,同時要會用相應(yīng)的量詞符號正確表達命題. 跟蹤訓練1 判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題. (1)梯形的對角線相等; (2)存在一個四邊形有外接圓; (3)二次函數(shù)都存在零點; (4)過兩條平行線有且只有一個平面. 考點 量詞與命題 題點 全稱(存在)量詞的識別 解 命題(1)完整的表述應(yīng)為“所有梯形的對角線相等”,很顯然為全稱命題. 命題(2)為特稱命題. 命題(3)完整的表述為“所有的二次函數(shù)都存在零點”,故為全稱命題. 命題(4)是命題“過任意兩條平行線有且只有一個平面”的簡寫,故為全稱命題. 類型二 判斷命題的真假 例2 判斷下列命題的真

6、假. (1)?x∈R,x2-x+1>; (2)?α,β,cos(α-β)=cos α-cos β; (3)存在一個函數(shù)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù); (4)每一條線段的長度都能用正有理數(shù)表示; (5)存在一個實數(shù)x0,使等式x+x0+8=0成立. 考點 特稱(全稱)命題的真假性判斷 題點 特稱(全稱)命題真假的判斷 解 (1)真命題,∵x2-x+1-=x2-x+ =2+≥>0,∴x2-x+1>恒成立. (2)真命題,例如α=,β=,符合題意. (3)真命題,函數(shù)f(x)=0既是偶函數(shù)又是奇函數(shù). (4)假命題,如:邊長為1的正方形的對角線長為,它的長度就不是有理數(shù). (5)假

7、命題,因為該方程的判別式Δ=-31<0,故無實數(shù)解. 反思與感悟 要判定全稱命題“?x∈M,p(x)”是真命題,需要對集合M中每個元素x,證明p(x)都成立;如果在集合M中找到一個元素x0,使得p(x0)不成立,那么這個全稱命題就是假命題. 要判定特稱命題“?x0∈M,p(x0)”是真命題,只需在集合M中找到一個元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么這個特稱命題就是假命題. 跟蹤訓練2 判斷下列命題的真假. (1)有一些奇函數(shù)的圖象過原點; (2)?x0∈R,2x+x0+1<0; (3)?x∈R,sin x+cos x≤. 考點 特稱(

8、全稱)命題的真假性判斷 題點 特稱(全稱)命題真假的判斷 解 (1)該命題中含有“有一些”,是特稱命題.如y=x是奇函數(shù),其圖象過原點,故該命題是真命題. (2)該命題是特稱命題. ∵2x+x0+1=22+≥>0, ∴不存在x0∈R,使2x+x0+1<0.故該命題是假命題. (3)該命題是全稱命題. ∵sin x+cos x=sin≤恒成立, ∴對任意實數(shù)x,sin x+cos x≤都成立,故該命題是真命題. 類型三 利用全稱命題和特稱命題求參數(shù)的值或取值范圍 例3 已知下列命題p(x)為真命題,求x的取值范圍. (1)命題p(x):x+1>x; (2)命題p(x):x

9、2-5x+6>0; (3)命題p(x):sin x>cos x. 考點 全稱命題的真假性判斷 題點 恒成立求參數(shù)的取值范圍 解 (1)∵x+1>x,∴1>0(此式恒成立),∴x∈R. (2)∵x2-5x+6>0,∴(x-2)(x-3)>0, ∴x>3或x<2. (3)∵sin x>cos x,∴2kπ+

10、題過程中要注意變量取值范圍的限制. 跟蹤訓練3 已知命題p:“?x0∈R,sin x0<m”,命題q:“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”,若p,q均為真命題,求實數(shù)m的取值范圍. 考點 簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞的綜合應(yīng)用 題點 由含量詞的復合命題的真假求參數(shù)的取值范圍 解 因為“?x0∈R,sin x0<m”是真命題,所以m>-1. 又因為“?x∈R,x2+mx+1>0恒成立”是真命題, 所以Δ=m2-4<0,解得-2<m<2. 又p,q均為真命題, 所以實數(shù)m的取值范圍是(-1,2). 1.下列命題中,是正確的全稱命題的是(  ) A.對任意的a,b∈R,都有a2+b2-2

11、a-2b+2<0 B.菱形的兩條對角線相等 C.?x0,=x0 D.對數(shù)函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù) 考點 全稱量詞與全稱命題 題點 全稱命題的識別 答案 D 2.下列命題中,既是真命題又是特稱命題的是(  ) A.存在一個α,使tan(90°-α)=tan α B.存在實數(shù)x0,使sin x0= C.對一切α,sin(180°-α)=sin α D.對任意α,β,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β 考點 特稱命題的真假性判斷 題點 特稱命題真假的判斷 答案 A 3.命題“有些負數(shù)滿足不等式(1+x)(1-9x)>0”用“?”或“?”可表述為

12、____________. 考點 存在量詞與特稱命題 題點 特稱命題的符號表示 答案 ?x0<0,(1+x0)(1-9x0)>0 4.用量詞符號“?”“?”表述下列命題,并判斷真假. (1)所有實數(shù)x都能使x2+x+1>0成立; (2)對所有實數(shù)a,b,方程ax+b=0恰有一個解; (3)一定有整數(shù)x,y,使得3x-2y=10成立; (4)所有的有理數(shù)x都能使x2+x+1是有理數(shù). 考點 量詞與命題 題點 全稱(特稱)命題的符號表示 解 (1)?x∈R,x2+x+1>0;真命題. (2)?a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命題. (3)?x0,y0∈Z,3x0-2y

13、0=10;真命題. (4)?x∈Q,x2+x+1是有理數(shù);真命題. 利用含量詞的命題的真假求參數(shù)取值范圍的技巧 (1)轉(zhuǎn)化為恒成立問題:含參數(shù)的全稱命題為真時,常轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題來處理,最終通過構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題. (2)轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題:含參數(shù)的特稱命題為真時,常轉(zhuǎn)化為方程或不等式有解問題來處理,最終借助根的判別式或函數(shù)等相關(guān)知識獲得解決. 一、選擇題 1.下列說法正確的個數(shù)是(  ) ①命題“所有的四邊形都是矩形”是特稱命題; ②命題“?x∈R,x2+2<0”是全稱命題; ③命題“?x0∈R,x+4x0+4≤0”是特稱命題. A.0

14、 B.1 C.2 D.3 考點 量詞與命題 題點 特稱(全稱)命題的識別 答案 C 解析 只有②③正確. 2.以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是(  ) A.銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角 B.至少有一個實數(shù)x,使x2≤0 C.兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù) D.存在一個負數(shù)x,使>2 考點 存在量詞與特稱命題 題點 特稱命題的真假判斷 答案 B 3.已知命題“?x0∈R,使2x+(a-1)x0+≤0”是假命題,則實數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-1) B.(-1,3) C.(-3,+∞) D.(-3,1) 考點 特稱命題的真假性判斷 題點 

15、由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍 答案 B 解析 原命題的否定為?x∈R,2x2+(a-1)x+>0, 由題意知,原命題的否定為真命題,則Δ=(a-1)2-4×2×<0,則-2

16、 5.下面命題是真命題的是(  ) A.?x∈R,x3≥x B.?x0∈R,x+1<2x0 C.?xy>0,x-y≥2 D.?x0,y0∈R,sin(x0+y0)=sin x0-sin y0 考點 量詞與命題 題點 全稱(特稱)命題的真假性判斷 答案 D 6.若“?x∈,cos x≤m”是真命題,則實數(shù)m的最小值為(  ) A.- B.- C. D. 考點 全稱命題的真假性判斷 題點 恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案 C 7.下列全稱命題中真命題的個數(shù)為(  ) ①負數(shù)沒有對數(shù); ②對任意的實數(shù)a,b,都有a2+b2≥2ab; ③二次函數(shù)f(x)=x2-ax-

17、1與x軸恒有交點; ④?x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0. A.1 B.2 C.3 D.4 考點 全稱量詞與全稱命題 題點 全稱命題的真假性判斷 答案 C 解析 ①②③為真命題;當x=y(tǒng)=0時,x2+|y|=0, ④為假命題. 二、填空題 8.若“?x∈,tan x≤m”是真命題,則實數(shù)m的最小值為________. 考點 全稱命題的真假性判斷 題點 恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案 1 解析 ∵?x∈,∴tan x≤1,∴m≥1,故實數(shù)m的最小值為1. 9.已知命題p:?c>0,y=(3-c)x在R上為減函數(shù),命題q:?x∈R,x2+2c-3>0.若p,q均

18、為真命題,則實數(shù)c的取值范圍為________. 考點 全稱命題的真假性判斷 題點 恒成立求參數(shù)的取值范圍 答案 (2,3) 解析 由于p∧q為真命題,所以p,q都是真命題, 所以解得2<c<3. 故實數(shù)c的取值范圍為(2,3). 10.若命題“?x0∈R,ax+ax0+1≤0”為假命題,則實數(shù)a的取值范圍為________. 考點 特稱命題的真假性判斷 題點 由特稱命題真假性求參數(shù)的取值范圍 答案 [0,4) 解析 由題意知,?x∈R,ax2+ax+1>0恒成立, 當a=0時,1>0恒成立,滿足條件; 當a≠0時,若ax2+ax+1>0恒成立, 則解得0<a<4.

19、綜上所述a∈[0,4). 11.有下列四個命題: p1:?x0∈(0,+∞), <; p2:?x0∈(0,1),>; p3:?x∈(0,+∞),>; p4:?x∈,< 其中為真命題的是________. 考點 量詞與命題 題點 全稱(特稱)命題的真假性判斷 答案 p2,p4 解析 因為冪函數(shù)y=xα(α>0)在(0,+∞)上是增函數(shù),所以命題p1是假命題;因為對數(shù)函數(shù)y=logax(0<a<1)是減函數(shù),所以當x∈(0,1)時,0<logx<logx,所以0<<,即>,所以命題p2是真命題;因為函數(shù)y=在(0,+∞)上單調(diào)遞減,所以有0<y<1,當x∈(0,1]時,y=≥0

20、,當x∈(1,+∞)時,y=<0,所以命題p3是假命題;因為函數(shù)y=在上單調(diào)遞減,所以有0<y<1,而函數(shù)y=在上的函數(shù)值y>1,所以命題p4是真命題. 三、解答題 12.判斷下列命題是否為全稱命題或特稱命題,若是,用符號表示,并判斷其真假. (1)存在一條直線,其斜率不存在; (2)對所有的實數(shù)a,b,方程ax+b=0都有唯一解; (3)存在實數(shù)x0,使得=2. 考點 全稱(特稱)命題的真假性判斷 題點 全稱(特稱)命題的真假性判斷 解 (1)是特稱命題,用符號表示為“?直線l,l的斜率不存在”,是真命題. (2)是全稱命題,用符號表示為“?a,b∈R,方程ax+b=0都有

21、唯一解”,是假命題. (3)是特稱命題,用符號表示為“?x0∈R,=2”,是假命題. 13.已知命題p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”,命題q:“?x0∈R,x+2ax0+2-a=0”,若命題p,q均為真命題,求實數(shù)a的取值范圍. 考點 命題的真假性判斷 題點 由命題真假求參數(shù)的取值范圍 解 若p為真命題,則a≤x2對于x∈[1,2]恒成立, 所以a≤1. 若q為真命題,則關(guān)于x的方程x2+2ax+2-a=0有實根, 所以Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2. 又p,q均為真命題, 所以實數(shù)a的取值范圍為a≤-2或a=1. 四、探究與拓展 14.下列四個

22、命題: ①沒有一個無理數(shù)不是實數(shù);②空集是任何一個非空集合的真子集;③1+1<2;④至少存在一個整數(shù)x,使得x2-x+1是整數(shù). 其中是真命題的為(  ) A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 考點 量詞與命題 題點 特稱(全稱)命題的真假性判斷 答案 C 解析?、偎袩o理數(shù)都是實數(shù),為真命題; ②顯然為真命題; ③顯然不成立,為假命題; ④取x=1,能使x2-x+1=1是整數(shù),為真命題. 15.已知f(x)=log2t,t∈[,8],若命題“對于函數(shù)f(t)值域內(nèi)的所有實數(shù)m,不等式x2+mx+4>2m+4x恒成立”為真命題,求實數(shù)x的取值范圍. 考點 全稱命題的真假性判斷 題點 恒成立求參數(shù)的取值范圍 解 易知f(t)∈. 由題意知,令g(m)=(x-2)m+x2-4x+4=(x-2)m+(x-2)2, 則g(m)>0對任意m∈恒成立, 所以即 解得x>2或x<-1. 故實數(shù)x的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞). 11

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