《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4.2 參數(shù)方程與普通方程的互化學(xué)案 蘇教版選修4-4》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.4.2 參數(shù)方程與普通方程的互化學(xué)案 蘇教版選修4-4（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 4.4.2　參數(shù)方程與普通方程的互化 1．能通過消去參數(shù)將參數(shù)方程化為普通方程． 2．能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)將普通方程化為參數(shù)方程． [基礎(chǔ)·初探] 1．過定點P0(x0，y0)，傾斜角為α的直線的參數(shù)方程為(l為參數(shù))，其中參數(shù)l的幾何意義：有向線段P0P的數(shù)量(P為該直線上任意一點)． 2．圓x2＋y2＝r2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 圓心為M0(x0，y0)，半徑為r的圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 3．橢圓＋＝1的參數(shù)方程為(φ為參數(shù))． [思考·探究] 1．普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式是否惟一？ 【提示】　不一定惟一．如果選用的參數(shù)不同，那么所求得

2、的曲線的參數(shù)方程的形式也不同． 2．將參數(shù)方程化為普通方程時，消去參數(shù)的常用方法有哪些？ 【提示】?、俅敕ǎ扔梢粋€方程求出參數(shù)的表達(dá)式(用直角坐標(biāo)變量表示)，再代入另一個方程． ②利用代數(shù)或三角函數(shù)中的恒等式消去參數(shù)．例如對于參數(shù)方程如果t是常數(shù)，θ是參數(shù)，那么可以利用公式sin2θ＋cos2θ＝1消參；如果θ是常數(shù)，t是參數(shù)，那么適當(dāng)變形后可以利用(m＋n)2－(m－n)2＝4mn消參． [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________

3、 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 參

4、數(shù)方程化為普通方程 　將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)(t為參數(shù))；(2)(θ為參數(shù))． 【自主解答】　(1)由x＝，得t＝. 代入y＝化簡得y＝(x≠1)． (2)由得 ①2＋②2得＋＝1. [再練一題] 1．將下列參數(shù)方程化為普通方程： (1)(t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))． 【解】　(1)∵x＝t＋，∴x2＝t2＋＋2. 把y＝t2＋代入得x2＝y(tǒng)＋2. 又∵x＝t＋，當(dāng)t＞0時，x＝t＋≥2； 當(dāng)t＜0時，x＝t＋≤－2. ∴x≥2或x≤－2. ∴普通方程為x2＝y(tǒng)＋2(x≥2或x≤－2)． (2) 可化為 兩式平方相加，得()2＋()2＝

5、1. 即普通方程為(x－2)2＋y2＝9. 普通方程化為參數(shù)方程 　根據(jù)所給條件，把曲線的普通方程化為參數(shù)方程． (1)＋＝1，x＝cos θ＋1.(θ為參數(shù)) (2)x2－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t為參數(shù)) 【自主解答】　(1)將x＝cos θ＋1代入＋＝1得：y＝2＋sin θ. ∴(θ為參數(shù))， 這就是所求的參數(shù)方程． (2)將x＝t＋1代入x2－y＋x－1＝0得： y＝x2＋x－1＝(t＋1)2＋t＋1－1＝t2＋3t＋1， ∴(t為參數(shù))， 這就是所求的參數(shù)方程． [再練一題] 2．已知圓的方程為x2＋y2＋2x－6y＋9＝0，將它化為參數(shù)方程．

6、 【導(dǎo)學(xué)號：98990029】 【解】　把x2＋y2＋2x－6y＋9＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝1. ∴參數(shù)方程為(θ為參數(shù)). 利用參數(shù)求軌跡方程 　過A(1,0)的動直線l交拋物線y2＝8x于M，N兩點，求MN中點的軌跡方程． 【思路探究】　設(shè)出直線MN的參數(shù)方程，然后代入拋物線的方程，利用參數(shù)方程中t的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題． 【自主解答】　直線MN方程(α≠0，t為參數(shù))代入y2＝8x，得t2sin2α－8tcos α－8＝0. 設(shè)M，N對應(yīng)參數(shù)為t1，t2，MN中點G的參數(shù)為t0，則t0＝(t1＋t2)＝， ∵消去α得y2＝4(x－1)．

7、 1．用參數(shù)法求動點的軌跡方程，其基本思想是選取適當(dāng)?shù)膮?shù)作為中間變量，使動點的坐標(biāo)分別與參數(shù)有關(guān)，從而得到動點的參數(shù)方程，然后再消去參數(shù)，化為普通方程． 2．涉及到用直線的參數(shù)方程求軌跡方程時，需理解參數(shù)l的幾何意義． [再練一題] 3．經(jīng)過點A，傾斜角為α的直線l與圓x2＋y2＝25相交于B、C兩點． (1)求弦BC的長； (2)當(dāng)A恰為BC的中點時，求直線BC的方程； (3)當(dāng)BC＝8時，求直線BC的方程； (4)當(dāng)α變化時，求動弦BC的中點M的軌跡方程． 【解】　取AP＝t為參數(shù)(P為l上的動點)， 則l的參數(shù)方程為 代入x2＋y2＝25，整理，得 t2

8、－3(2cos α＋sin α)t－＝0. ∵Δ＝9(2cos α＋sin α)2＋55>0恒成立， ∴方程必有相異兩實根t1，t2， 且t1＋t2＝3(2cos α＋sin α)，t1·t2＝－. (1)BC＝|t1－t2|＝＝ . (2)∵A為BC中點，∴t1＋t2＝0， 即2cos α＋sin α＝0，∴tan α＝－2. 故直線BC的方程為y＋＝－2(x＋3)， 即4x＋2y＋15＝0. (3)∵BC＝＝8， ∴(2cos α＋sin α)2＝1.∴cos α＝0或tan α＝－. ∴直線BC的方程是x＝－3或3x＋4y＋15＝0. (4)∵BC的中點M對應(yīng)的

9、參數(shù)是t＝＝(2cos α＋sin α)， ∴點M的軌跡方程為 (0≤α<π)． ∴ ∴(x＋)2＋(y＋)2＝. 即點M的軌跡是以(－，－)為圓心，以為半徑的圓． [真題鏈接賞析] 　(教材第56頁習(xí)題4.4第2題)將下列參數(shù)方程化為普通方程，并說明它表示什么曲線： (1)(t為參數(shù))； (2)(θ為參數(shù))； (3)(t為參數(shù))； (4)(θ為參數(shù))； (5)(θ為參數(shù))． 　在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過橢圓(φ為參數(shù))的右焦點，且與直線(t為參數(shù))平行的直線的普通方程． 【命題意圖】　本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的互化及橢圓的基本性質(zhì)、直線方程、兩條直線的位

10、置關(guān)系等知識． 【解】　由題設(shè)知，橢圓的長半軸長a＝5，短半軸長b＝3， 從而c＝＝4，所以右焦點為(4,0)． 將已知直線的參數(shù)方程化為普通方程： x－2y＋2＝0， 故所求直線的斜率為， 因此其方程為y＝(x－4)， 即x－2y－4＝0. 1．將參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為________． 【解析】　將x＝代入y＝2－4得y＝2x－4. 又∵x＝≥0，∴普通方程為2x－y－4＝0(x≥0)． 【答案】　2x－y－4＝0(x≥0) 2．圓錐曲線(t為參數(shù))的焦點坐標(biāo)是________． 【導(dǎo)學(xué)號：98990030】 【解析】　將參數(shù)方程化為普通方程為y

11、2＝4x，表示開口向右，焦點在x軸正半軸上的拋物線，由2p＝4?p＝2，則焦點坐標(biāo)為(1,0)． 【答案】　(1,0) 3．將參數(shù)方程(θ為參數(shù))化為普通方程為________． 【解析】　轉(zhuǎn)化為普通方程為y＝x－2，且x∈[2,3]，y∈[0,1]． 【答案】　y＝x－2(2≤x≤3) 4．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1和C2的參數(shù)方程分別為(t為參數(shù))和(θ為參數(shù))，則曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為________． 【解析】　C1的普通方程為y2＝x(x≥0，y≥0)， C2的普通方程為x2＋y2＝2. 由得 ∴C1與C2的交點坐標(biāo)為(1,1)． 【答案】　(1,1) 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 6