9、＝＝－f(x)，
所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．
(4)法一：圖象法
畫出函數(shù)f(x)＝的圖象如圖所示，圖象關(guān)于y軸對稱，故f(x)為偶函數(shù)．
法二：定義法
易知函數(shù)f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，關(guān)于原點(diǎn)對稱，
當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x<0時，－x>0，故f(－x)＝x2＋x＝f(x)；當(dāng)x<0時，f(x)＝x2＋x，則當(dāng)x>0時，－x<0，故f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函數(shù)是偶函數(shù)．
法三：f(x)還可以寫成f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故f(x)為偶函數(shù)．
[解題技法]
判定函數(shù)奇偶性的2種常用方法
(1)定義法
(2)圖
10、象法
[口訣歸納]
奇函數(shù)，有中心；偶函數(shù)，軸對稱．
[題組訓(xùn)練]
1．(2018·福建期末)下列函數(shù)為偶函數(shù)的是( )
A．y＝tan B．y＝x2＋e|x|
C．y＝xcos x D．y＝ln|x|－sin x
解析：選B 對于選項A，易知y＝tan為非奇非偶函數(shù)；對于選項B，設(shè)f(x)＝x2＋e|x|，則f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|為偶函數(shù)；對于選項C，設(shè)f(x)＝xcos x，則f(－x)＝－xcos(－x)＝－xcos x＝－f(x)，所以y＝xcos x為奇函數(shù)；對于選項D，設(shè)f(x)＝ln
11、|x|－sin x，則f(2)＝ln 2－sin 2，f(－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x為非奇非偶函數(shù)，故選B.
2．設(shè)函數(shù)f(x)＝，則下列結(jié)論錯誤的是( )
A．|f(x)|是偶函數(shù)
B．－f(x)是奇函數(shù)
C．f(x)|f(x)|是奇函數(shù)
D．f(|x|)f(x)是偶函數(shù)
解析：選D ∵f(x)＝，
則f(－x)＝＝－f(x)．
∴f(x)是奇函數(shù)．
∵f(|－x|)＝f(|x|)，
∴f(|x|)是偶函數(shù)，∴f(|x|)f(x)是奇函數(shù)．
[典例] (1)(2019·福建三明
12、模擬)函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝2x，則當(dāng)x>0時，f(x)＝( )
A．－2x B．2－x
C．－2－x D．2x
(2)(2018·貴陽摸底考試)已知函數(shù)f(x)＝a－(a∈R)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)的值域為( )
A．(－1,1) B．(－2,2)
C．(－3,3) D．(－4,4)
[解析] (1)當(dāng)x>0時，－x<0，∵x<0時，f(x)＝2x，∴當(dāng)x>0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當(dāng)x>0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x.
(2)法一：由f(x)是奇函數(shù)知f(－x)＝－f(x)
13、，所以a－＝－a＋，得2a＝＋，所以a＝＋＝1，所以f(x)＝1－.因為ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．
法二：函數(shù)f(x)的定義域為R，且函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)＝a－1＝0，即a＝1，所以f(x)＝1－.因為ex＋1>1，所以0<<1，－1<1－<1，所以函數(shù)f(x)的值域為(－1,1)．
[答案] (1)C (2)A
[解題技法]
應(yīng)用函數(shù)奇偶性可解決的四類問題及解題方法
(1)求函數(shù)值
將待求值利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解．
(2)求解析式
先將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再利用奇偶性求解
14、，或充分利用奇偶性構(gòu)造關(guān)于f(x)的方程(組)，從而得到f(x)的解析式．
(3)求函數(shù)解析式中參數(shù)的值
利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)f(x)±f(－x)＝0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程(組)，進(jìn)而得出參數(shù)的值．
(4)畫函數(shù)圖象和判斷單調(diào)性
利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象及判斷另一區(qū)間上的單調(diào)性．
[題組訓(xùn)練]
1．(2019·貴陽檢測)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝log2(x＋2)－1，則f(－6)＝( )
A．2 B．4
C．－2 D．－4
解析：選C 根據(jù)題意得f(－6)＝－f(6)＝1－log
15、2(6＋2)＝1－3＝－2.
2．已知函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－x，則當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為________．
解析：法一：當(dāng)x<0時，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為.
法二：當(dāng)x>0時，f(x)＝x2－x＝2－，最小值為－，因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，所以當(dāng)x<0時，函數(shù)f(x)的最大值為.
答案：
3．(2018·合肥八中模擬)若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a＝________.
解析：∵f(x)＝xln(x＋)為
16、偶函數(shù)，
∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，從而ln[()2－x2]＝0，即ln a＝0，故a＝1.
答案：1
[典例] (1)(2018·開封期末)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＝－f(x＋2)，當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＝2x＋log2x，則f(2 019)＝( )
A．5 B.
C．2 D．－2
(2)(2018·江蘇高考)函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在區(qū)間(－2,2]上，f(x)＝則f(f(15))的值為________．
[解析] (1)由f(x)＝－f(x＋2)，得f
17、(x＋4)＝f(x)，所以函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)，所以f(2 019)＝f(504×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2.
(2)由函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，
可知函數(shù)f(x)的周期是4，
所以f(15)＝f(－1)＝＝，
所以f(f(15))＝f＝cos＝.
[答案] (1)D (2)
[解題技法] 函數(shù)周期性的判定與應(yīng)用
判
定
判斷函數(shù)的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題
應(yīng)
用
根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)局部的性
18、質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，即周期性與奇偶性都具有將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間的功能．在解決具體問題時，要注意結(jié)論：若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也是函數(shù)的周期
[口訣歸納]
函數(shù)周期三類型：一類直接定義求；
二類圖象題中有，圖象重復(fù)是破口；
三類圖見兩對稱，隱藏周期別疏忽.
[題組訓(xùn)練]
1．(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x＋2)＝－，當(dāng)2≤x≤3時，f(x)＝x，則f＝________.
解析：∵f(x＋2)＝－，∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f＝f，又2≤x≤3時，f(x)＝x，
∴f＝，∴f＝.
答案：
2．(20
19、19·哈爾濱六中期中)設(shè)f(x)是定義在R上的周期為3的函數(shù)，當(dāng)x∈[－2,1)時，f(x)＝則f＝________.
解析：由題意可得f＝f＝f＝4×2－2＝，f＝.
答案：
A級——保大分專練
1．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是( )
A．f(x)＝x3＋1 B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ex D．f(x)＝xsin x
解析：選B 對于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函數(shù)；對于B，f(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，所以其是奇函數(shù)；對于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函數(shù)；對于D，f(－x)＝－xsin(－x)＝xsin
20、 x＝f(x)，所以其不是奇函數(shù)．故選B.
2．(2019·南昌聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝的圖象( )
A．關(guān)于x軸對稱 B．關(guān)于y軸對稱
C．關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線y＝x對稱
解析：選B 因為f(x)＝＝3x＋3－x，易知f(x)為偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱．
3．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x)＝則f(－7)＝( )
A．3 B．－3
C．2 D．－2
解析：選B 因為函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
且f(x)＝
所以f(－7)＝－f(7)＝－log2(7＋1)＝－3.
4．若定義在R上的偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g
21、(x)滿足f(x)＋g(x)＝ex，則g(x)＝( )
A．ex－e－x B.(ex＋e－x)
C.(e－x－ex) D.(ex－e－x)
解析：選D 因為f(x)＋g(x)＝ex，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e－x，
所以g(x)＝(ex－e－x)．
5．設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x2－x，則f＝( )
A．－ B．－
C. D.
解析：選C 因為f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，所以f＝－f＝－f.又當(dāng)0≤x≤1時，f(x)＝x2－x，所以f＝2－＝－，則f＝.
6．(2019·益陽、湘潭
22、調(diào)研)定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，當(dāng)x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)的值等于( )
A．403 B．405
C．806 D．809
解析：選B 定義在R上的函數(shù)f(x)，滿足f(x＋5)＝f(x)，即函數(shù)f(x)的周期為5.又當(dāng)x∈(0,2]時，f(x)＝log2x，所以f(1)＝log21＝0，f(2)＝log22＝1.當(dāng)x∈(－3,0]時，f(x)＝－x－1，所以f(3)＝f(－2)＝1，f(4)＝f(－1)＝0，f(5)＝f(0)＝－1.故f(1
23、)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 019)＝403×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)]＋f(2 016)＋f(2 017)＋f(2 018)＋f(2 019)＝403×1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405.
7．已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時，f(x)＝ln x，則f的值為________．
解析：由已知可得f＝ln＝－2，
所以f＝f(－2)．
又因為f(x)是偶函數(shù)，
所以f＝f(－2)＝f(2)＝ln 2.
答案：ln 2
8．(2019·惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝x＋－1，f(a)＝2，則f(－a)＝___
24、_____.
解析：法一：因為f(x)＋1＝x＋，
設(shè)g(x)＝f(x)＋1＝x＋，
易判斷g(x)＝x＋為奇函數(shù)，
故g(x)＋g(－x)＝x＋－x－＝0，
即f(x)＋1＋f(－x)＋1＝0，故f(x)＋f(－x)＝－2.
所以f(a)＋f(－a)＝－2，故f(－a)＝－4.
法二：由已知得f(a)＝a＋－1＝2，
即a＋＝3，所以f(－a)＝－a－－1＝－－1＝－3－1＝－4.
答案：－4
9．(2019·陜西一測)若函數(shù)f(x)＝ax＋b，x∈[a－4，a]的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則函數(shù)g(x)＝bx＋，x∈[－4，－1]的值域為________．
解析：由函數(shù)f
25、(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，可得a－4＋a＝0，即a＝2，則函數(shù)f(x)＝2x＋b，其定義域為[－2,2]，所以f(0)＝0，所以b＝0，所以g(x)＝，易知g(x)在[－4，－1]上單調(diào)遞減，故值域為[g(－1)，g(－4)]，即.
答案：
10．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，若當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝lg x，則滿足f(x)>0的x的取值范圍是____________．
解析：當(dāng)x>0時，lg x>0，所以x>1，
當(dāng)x<0時，由奇函數(shù)的對稱性得－1
26、0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)的解析式．
解：當(dāng)x<0時，－x>0，則f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，
所以當(dāng)x<0時，f(x)＝2x2＋3x－1.
因為f(x)為R上的奇函數(shù)，故f(0)＝0.
綜上可得f(x)的解析式為f(x)＝
12．設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意實數(shù)x有f＝－f成立．
(1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期；
(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．
解：(1)證明：由f＝－f，
且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝
27、－f＝－f(－x)＝f(x)，
所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個周期．
(2)因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0，
且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2.
B級——創(chuàng)高分自選
1．已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)的個數(shù)為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析：選B 因為f(x)是最小正周期為2的周期函數(shù)，且0≤x<2時，f(x)＝x3－x＝
28、x(x－1)(x＋1)，
所以當(dāng)0≤x<2時，f(x)＝0有兩個根，即x1＝0，x2＝1.
由周期函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)2≤x<4時，f(x)＝0有兩個根，即x3＝2，x4＝3；當(dāng)4≤x≤6時，f(x)＝0有三個根，即x5＝4，x6＝5，x7＝6，故f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點(diǎn)個數(shù)為7.
2．(2019·洛陽統(tǒng)考)若函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.
解析：法一：(定義法)∵函數(shù)f(x)＝ln(ex＋1)＋ax為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，
即ln(e－x＋1)－ax＝ln(ex＋1)＋ax，
∴2ax＝ln(e－x＋1)－ln
29、(ex＋1)＝ln＝ln＝－x，
∴2a＝－1，解得a＝－.
法二：(特殊值法)由題意知函數(shù)f(x)的定義域為R，由f(x)為偶函數(shù)得f(－1)＝f(1)，
∴l(xiāng)n(e－1＋1)－a＝ln(e1＋1)＋a，∴2a＝ln(e－1＋1)－ln(e1＋1)＝ln＝ln＝－1，
∴a＝－.
答案：－
3．已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù)．
(1)求實數(shù)m的值；
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)設(shè)x<0，則－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又f(x)為奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0時，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增，
結(jié)合f(x)的圖象(如圖所示)知所以1＜a≤3，
故實數(shù)a的取值范圍是(1,3]．
14
（通用版）2020高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.3 函數(shù)的奇偶性與周期性講義 文
