《（浙江專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量與解三角形 5.3 正弦、余弦定理及解三角形學(xué)案（29頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 §5.3　正弦、余弦定理及解三角形 考綱解讀 考點(diǎn) 考綱內(nèi)容 要求 浙江省五年高考統(tǒng)計(jì) 2013 2014 2015 2016 2017 1.正弦、余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題. 掌握 16,4分 18(1) (文),7分 17,4分 20(2), 7分 16(1),7分 16(文), 14分 14,3分 2.解三角形及其綜合應(yīng)用 能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題. 掌握 7,5分 18(2) (文),7分 18(2),7分 18(文),

2、 6分 16,14分 16(2)(文), 7分 16(2),7分 11,4分 14,3分 分析解讀　　1.主要考查正弦定理和余弦定理,以及利用正弦、余弦定理和三角形面積公式解三角形. 2.高考命題仍會(huì)以三角形為載體,以正弦定理和余弦定理為框架綜合考查三角知識(shí). 3.預(yù)計(jì)2019年高考中,仍會(huì)對(duì)解三角形進(jìn)行重點(diǎn)考查,復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起高度重視. 五年高考 考點(diǎn)一　正弦、余弦定理 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ文,11,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2

3、,c=,則C=(　　) A. B. C. D. 答案　B 2.(2017山東理,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若△ABC為銳角三角形,且滿(mǎn)足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,則下列等式成立的是(　　) A.a=2b B.b=2a C.A=2B D.B=2A 答案　A 3.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,則AC=(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A 4.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=

4、90°,M是BC的中點(diǎn).若sin∠BAM=,則sin∠BAC=　　　　.? 答案　 5.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ文,16,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2bcos B=acos C+ccos A,則B=　　　　.? 答案　60° 6.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,13,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=　　　　.? 答案　 7.(2015天津,13,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為3,b-c=2,cos A=-,則a的值為　　　　.? 答案　8 8.(2

5、014課標(biāo)Ⅰ,16,5分)已知a,b,c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,則△ABC面積的最大值為　　　　.? 答案　 9.(2017山東文,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a. 解析　本題考查向量數(shù)量積的運(yùn)算及解三角形. 因?yàn)椤?-6, 所以bccos A=-6, 又S△ABC=3, 所以bcsin A=6, 因此tan A=-1,又0

6、s A, 得a2=9+8-2×3×2×=29, 所以a=. 10.(2016四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c,且+=. (1)證明:sin Asin B=sin C; (2)若b2+c2-a2=bc,求tan B. 解析　(1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)===k(k>0). 則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C. 代入+=中,有+=,變形可得 sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B). 在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C, 所以si

7、n Asin B=sin C. (2)由已知,b2+c2-a2=bc,根據(jù)余弦定理,有 cos A==. 所以sin A==. 由(1)可知sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以sin B=cos B+sin B, 故tan B==4. 教師用書(shū)專(zhuān)用(11—27) 11.(2013湖南,3,5分)在銳角△ABC中,角A,B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a,b.若2asin B=b,則角A等于(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B. C. D. 答案　D　 12.(2013陜西,7,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為

8、a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則△ABC的形狀為(　　) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定 答案　B　 13.(2013遼寧,6,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,則∠B=(　　) A. B. C. D. 答案　A　 14.(2013天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,則sin∠BAC=(　　) A. B. C. D. 答案　C　 15.(2015福建,12,4分)若銳角△ABC的面積為10,且AB=5,AC=8

9、,則BC等于　　　　.? 答案　7 16.(2014江蘇,14,5分)若△ABC的內(nèi)角滿(mǎn)足sin A+sin B=2sin C,則cos C的最小值是　　　　.? 答案　 17.(2015重慶,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分線AD=,則AC=　　　　.? 答案　 18.(2015廣東,11,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=　　　　.? 答案　1 19.(2014天津,12,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,則cos A的值為

10、　　　　.? 答案　- 20.(2014廣東,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,則=　　　　.? 答案　2 21.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,則△ABC的面積等于　　　　.? 答案　2 22.(2013安徽,12,5分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=　　　　.? 答案　π 23.(2016江蘇,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=. (1)求AB的長(zhǎng); (2)求co

11、s的值. 解析　(1)因?yàn)閏os B=,0

12、DC=,求BD和AC的長(zhǎng). 解析　(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD, S△ADC=AC·ADsin∠CAD. 因?yàn)镾△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD, 所以AB=2AC. 由正弦定理可得==. (2)因?yàn)镾△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=. 在△ABD和△ADC中,由余弦定理知 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB, AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC. 故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6. 由(1)知AB=2AC,所以AC=1. 25.(2013山東,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C

13、所對(duì)的邊分別為a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=. (1)求a,c的值; (2)求sin(A-B)的值. 解析　(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos B=, 所以ac=9,解得a=3,c=3. (2)在△ABC中,sin B==, 由正弦定理得sin A==. 因?yàn)閍=c,所以A為銳角, 所以cos A==. 因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=. 26.(2014湖南,18,12分)如圖,在平面四邊形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=

14、. (1)求cos∠CAD的值; (2)若cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求BC的長(zhǎng). 解析　(1)在△ADC中,由余弦定理,得 cos∠CAD===. (2)設(shè)∠BAC=α,則α=∠BAD-∠CAD. 因?yàn)閏os∠CAD=,cos∠BAD=-, 所以sin∠CAD===, sin∠BAD===. 于是sin α=sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =×-×=. 在△ABC中,由正弦定理,得=, 故BC===3. 27.(2013北京,15,13分)在△ABC中,a=3,b=2,∠B=2∠A. (1

15、)求cos A的值; (2)求c的值. 解析　(1)因?yàn)閍=3,b=2,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得=. 所以=.故cos A=. (2)由(1)知cos A=,所以sin A==. 又因?yàn)椤螧=2∠A, 所以cos B=2cos2A-1=. 所以sin B==. 在△ABC中,sin C=sin(A+B) =sin Acos B+cos Asin B =. 所以c==5. 考點(diǎn)二　解三角形及其綜合應(yīng)用 1.(2014課標(biāo)Ⅱ,4,5分)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=,則AC=(　　) A.5 B. C.2 D.1 答案　B 2.(20

16、17浙江,11,4分)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽創(chuàng)立的“割圓術(shù)”可以估算圓周率π,理論上能把π的值計(jì)算到任意精度.祖沖之繼承并發(fā)展了“割圓術(shù)”,將π的值精確到小數(shù)點(diǎn)后七位,其結(jié)果領(lǐng)先世界一千多年.“割圓術(shù)”的第一步是計(jì)算單位圓內(nèi)接正六邊形的面積S6,S6=　　　　.? 答案　 3.(2017浙江,14,6分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn),BD=2,連接CD,則△BDC的面積是　　　　,cos∠BDC=　　　　.? 答案　; 4.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ文,15,5分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知C=60°,b=,c=3,則A=　　　　.?

17、 答案　75° 5.(2015北京,12,5分)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則=　　　　.? 答案　1 6.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B. (1)證明:A=2B; (2)若△ABC的面積S=,求角A的大小. 解析　(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B, 故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B, 于是sin B=sin(A-B). 又A,B∈(0,π),故0

18、π-(A-B)或B=A-B, 因此A=π(舍去)或A=2B, 所以,A=2B. (2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin 2B=sin Bcos B, 因sin B≠0,得sin C=cos B. 又B,C∈(0,π),所以C=±B. 當(dāng)B+C=時(shí),A=; 當(dāng)C-B=時(shí),A=. 綜上,A=或A=. 7.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2. (1)求tan C的值; (2)若△ABC的面積為3,求b的值. 解析　(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,

19、所以-cos 2B=sin2C. 又由A=,即B+C=π,得-cos 2B=sin 2C=2sin Ccos C, 解得tan C=2. (2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=. 又因?yàn)閟in B=sin(A+C)=sin,所以sin B=. 由正弦定理得c=b, 又因?yàn)锳=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3. 8.(2014浙江,18,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知a≠b,c=,cos2A-cos2B=sin Acos A-sin Bcos B. (1)求角C的大小; (2)若sin A=,求△ABC

20、的面積. 解析　(1)由題意得 -=sin 2A-sin 2B, 即sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B, sin=sin. 由a≠b,得A≠B,又A+B∈(0,π),得 2A-+2B-=π, 即A+B=, 所以C=. (2)由c=,sin A=,=,得a=, 由a

21、A的大小; (2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面積. 解析　(1)由2asin B=b及=,得 sin A=.因?yàn)锳是銳角,所以A=. (2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36. 又b+c=8,所以bc=. 由S=bcsin A,得△ABC的面積為. 10.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知△ABC的面積為. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周長(zhǎng). 解析　本題考查了正弦定理,余弦定理,三角形的面積公式及其綜合應(yīng)用. (1)由題設(shè)

22、得acsin B=,即csin B=. 由正弦定理得sin Csin B=. 故sin Bsin C=. (2)由題設(shè)及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-, 即cos(B+C)=-. 所以B+C=,故A=. 由題設(shè)得bcsin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=. 故△ABC的周長(zhǎng)為3+. 11.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面積為2,求b. 解析　本

23、題考查了三角公式的運(yùn)用和余弦定理的應(yīng)用. (1)由題設(shè)及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B). 上式兩邊平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,則ac=. 由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4. 所以b=2. 12.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅲ理,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知sin

24、A+cos A=0,a=2,b=2. (1)求c; (2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn),且AD⊥AC,求△ABD的面積. 解析　本題考查解三角形. (1)由已知可得tan A=-,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0. 解得c=-6(舍去),或c=4. (2)由題設(shè)可得∠CAD=, 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=. 故△ABD面積與△ACD面積的比值為=1. 又△ABC的面積為×4×2sin∠BAC=2, 所以△ABD的面積為. 13.(2017北京理,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C

25、的值; (2)若a=7,求△ABC的面積. 解析　本題考查正、余弦定理的應(yīng)用,考查三角形的面積公式. (1)在△ABC中,因?yàn)椤螦=60°,c=a, 所以由正弦定理得sin C==×=. (2)因?yàn)閍=7,所以c=×7=3. 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×, 解得b=8或b=-5(舍). 所以△ABC的面積S=bcsin A=×8×3×=6. 14.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,17,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知2cos C(acos B+bcos A)=c. (1)求C; (2)若c=,△ABC的面積為

26、,求△ABC的周長(zhǎng). 解析　(1)由已知及正弦定理得, 2cos C(sin Acos B+sin Bcos A)=sin C,(2分) 2cos Csin(A+B)=sin C. 故2sin Ccos C=sin C.(4分) 可得cos C=,所以C=.(6分) (2)由已知,得absin C=. 又C=,所以ab=6.(8分) 由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcos C=7. 故a2+b2=13,從而(a+b)2=25.(10分) 所以△ABC的周長(zhǎng)為5+.(12分) 15.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac. (1)求∠B的

27、大小; (2)求cos A+cos C的最大值. 解析　(1)由余弦定理及題設(shè)得cos B===. 又因?yàn)?<∠B<π, 所以∠B=.(6分) (2)由(1)知∠A+∠C=. cos A+cos C=cos A+cos =cos A-cos A+sin A =cos A+sin A =cos.(11分) 因?yàn)?<∠A<, 所以當(dāng)∠A=時(shí),cos A+cos C取得最大值1.(13分) 16.(2014陜西,16,12分)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c. (1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若a,b

28、,c成等比數(shù)列,求cos B的最小值. 解析　(1)證明:∵a,b,c成等差數(shù)列, ∴a+c=2b. 由正弦定理得sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac. 由余弦定理得 cos B==≥=, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立. ∴cos B的最小值為. 17.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,17,12分)如圖,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P為△ABC內(nèi)一點(diǎn),∠BPC=90°. (1)若PB=,求PA; (2)若∠A

29、PB=150°,求tan∠PBA. 解析　(1)由已知得,∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°. 在△PBA中,由余弦定理得PA2=3+-2××cos 30°=.故PA=. (2)設(shè)∠PBA=α,由已知得PB=sin α. 在△PBA中,由正弦定理得=, 化簡(jiǎn)得cos α=4sin α. 所以tan α=,即tan∠PBA=. 教師用書(shū)專(zhuān)用(18—35) 18.(2014江西,4,5分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,則△ABC的面積是(　　) A.3 B. C. D.3 答案　C　 19.(2014重慶,1

30、0,5分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面積S滿(mǎn)足1≤S≤2,記a,b,c分別為A,B,C所對(duì)的邊,則下列不等式一定成立的是(　　) A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 D.12≤abc≤24 答案　A　 20.(2015課標(biāo)Ⅰ,16,5分)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是　　　　　　　　.? 答案　(-,+) 21.(2014山東,12,5分)在△ABC中,已知·=tan A,當(dāng)A=時(shí),△ABC的面積為　　　　.? 答案　 22.(2

31、013福建,13,4分)如圖,在△ABC中,已知點(diǎn)D在BC邊上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,則BD的長(zhǎng)為　　　　.? 答案　 23.(2015浙江文,16,14分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.已知tan=2. (1)求的值; (2)若B=,a=3,求△ABC的面積. 解析　(1)由tan=2,得tan A=, 所以==. (2)由tan A=,A∈(0,π),得 sin A=,cos A=. 又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3. 由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=. 設(shè)△ABC的面積為S,則S=ab

32、sin C=9. 24.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺(tái)形玻璃容器Ⅱ的高均為32 cm,容器Ⅰ的底面對(duì)角線AC的長(zhǎng)為10 cm,容器Ⅱ的兩底面對(duì)角線EG,E1G1的長(zhǎng)分別為14 cm和62 cm.分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長(zhǎng)度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)) (1)將l放在容器Ⅰ中,l的一端置于點(diǎn)A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度; (2)將l放在容器Ⅱ中,l的一端置于點(diǎn)E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度. 解析　本小題主要考查正棱柱、正棱臺(tái)的

33、概念,考查正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí),考查空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. (1)由正棱柱的定義,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC. 記玻璃棒的另一端落在CC1上點(diǎn)M處. 因?yàn)锳C=10,AM=40, 所以MC==30,從而sin∠MAC=. 記AM與水面的交點(diǎn)為P1,過(guò)P1作P1Q1⊥AC,Q1為垂足, 則P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1==16. 答:玻璃棒l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為16 cm. (如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm) (2)如圖,O,O

34、1是正棱臺(tái)的兩底面中心. 由正棱臺(tái)的定義,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG. 同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1. 記玻璃棒的另一端落在GG1上點(diǎn)N處. 過(guò)G作GK⊥E1G1,K為垂足,則GK=OO1=32. 因?yàn)镋G=14,E1G1=62,所以KG1==24,從而GG1===40. 設(shè)∠EGG1=α,∠ENG=β, 則sin α=sin=cos∠KGG1=. 因?yàn)?α<π,所以cos α=-. 在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=. 因?yàn)?<β<,所以cos β=. 于是sin∠NEG=s

35、in(π-α-β)=sin(α+β) =sin αcos β +cos αsin β=×+×=. 記EN與水面的交點(diǎn)為P2,過(guò)P2作P2Q2⊥EG,Q2為垂足,則P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2==20. 答:玻璃棒l沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為20 cm. (如果將“沒(méi)入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20 cm) 25.(2015湖南,17,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,a=btan A,且B為鈍角. (1)證明:B-A=; (2)求sin A+sin C的取值范圍. 解析　(1)證明:由a=btan A及正弦定理,得==,

36、所以sin B=cos A,即sin B=sin. 又B為鈍角,因此+A∈,故B=+A,即B-A=. (2)由(1)知,C=π-(A+B)=π-=-2A>0, 所以A∈. 于是sin A+sin C=sin A+sin =sin A+cos 2A=-2sin2A+sin A+1 =-2+. 因?yàn)?

37、△ABC的面積. 解析　(1)因?yàn)閙∥n,所以asin B-bcos A=0, 由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0, 又sin B≠0,從而tan A=, 由于00,所以c=3. 故△ABC的面積為bcsin A=. 解法二:由正弦定理,得=, 從而sin B=, 又由a>b,知A>B,所以cos B=. 故sin C=sin(A+B)=sin =sin Bcos+cos Bsin=. 所

38、以△ABC的面積為absin C=. 27.(2015四川,19,12分)如圖,A,B,C,D為平面四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角. (1)證明:tan=; (2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值. 解析　(1)證明:tan===. (2)由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B. 由(1),有tan+tan+tan+tan =+++ =+. 連接BD. 在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos A, 在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C, 所以AB

39、2+AD2-2AB·ADcos A=BC2+CD2+2BC·CDcos A. 則cos A===. 于是sin A===. 連接AC.同理可得 cos B===, 于是sin B===. 所以,tan+tan+tan+tan =+ =+ =. 28.(2015安徽,16,12分)在△ABC中,∠A=,AB=6,AC=3,點(diǎn)D在BC邊上,AD=BD,求AD的長(zhǎng). 解析　設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c, 由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90, 所以a=3. 又由正弦定理

40、得sin B===, 由題設(shè)知0

41、C2-2AB·BC·cos B =82+52-2×8×5×=49. 所以AC=7. 30.(2014安徽,16,12分)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B. (1)求a的值; (2)求sin的值. 解析　(1)因?yàn)锳=2B,所以sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得a=2b·. 因?yàn)閎=3,c=1,所以a2=12,a=2. (2)由余弦定理得cos A===-. 由于0

42、分)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B. 解析　由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A. 故3tan Acos C=2sin C, 因?yàn)閠an A=,所以cos C=2sin C, tan C=.(6分) 所以tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) =(8分) =-1, 即B=135°.(10分) 32.(2013江蘇,18,16分)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車(chē)到B,然后從B沿直

43、線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后,乙從A乘纜車(chē)到B,在B處停留1 min后,再?gòu)腂勻速步行到C.假設(shè)纜車(chē)勻速直線運(yùn)行的速度為130 m/min,山路AC長(zhǎng)為1 260 m,經(jīng)測(cè)量,cos A=,cos C=. (1)求索道AB的長(zhǎng); (2)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車(chē)上與甲的距離最短? (3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)? 解析　(1)在△ABC中,因?yàn)閏os A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=. 從而sin B=sin[π-(A+C)]

44、=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C =×+×=. 由=,得 AB=×sin C=×=1 040(m). 所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m. (2)設(shè)乙出發(fā)t分鐘后,甲、乙兩游客距離為d m,此時(shí),甲行走了(100+50t)m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50), 因0≤t≤,即0≤t≤8,故當(dāng)t=(min)時(shí),甲、乙兩游客距離最短. (3)由=,得BC=×sin A=×=500(m). 乙從B出發(fā)時(shí),甲已走了50×(2+8+1

45、)=550(m),還需走710 m才能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-≤3, 解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在(單位:m/min)范圍內(nèi). 33.(2013江西,16,12分)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知cos C+(cos A-sin A)cos B=0. (1)求角B的大小; (2)若a+c=1,求b的取值范圍. 解析　(1)由已知得 -cos(A+B)+cos Acos B-sin Acos B=0, 即有sin Asin B-sin Acos B=0, 因?yàn)閟in

46、A≠0,所以sin B-cos B=0, 又cos B≠0,所以tan B=, 又0

47、或cos A=-2(舍去).　 因?yàn)?

48、A=π-(B+C), 故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B. 又B∈(0,π),所以B=. (2)△ABC的面積S=acsin B=ac. 由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos. 又a2+c2≥2ac,故ac≤, 當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí),等號(hào)成立. 因此△ABC面積的最大值為+1. 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　正弦、余弦定理 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江臺(tái)州4月調(diào)研(一模),6)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的

49、對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=1,2b-c=2acos C,sin C=,則△ABC的面積為(　　) A. B. C.或 D.或 答案　C 2.(2017浙江模擬訓(xùn)練沖刺卷五,4)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,若a,b,c成等差數(shù)列,∠B=30°,△ABC 的面積為,則b=(　　) A. B.1+ C. D.2+ 答案　B 3.(2018浙江高考模擬卷,16)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,BC邊上的高為,則的最大值為　　　　.? 答案　+1 4.(2017浙江稽陽(yáng)聯(lián)誼學(xué)校聯(lián)考4月,13)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)

50、的邊分別為a,b,c,已知csin A=acos C,則C=　　　　;若c=,△ABC的面積為,則a+b=　.? 答案　;7 5.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,18)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且ctan C=(acos B+bcos A). (1)求角C; (2)若c=2,求△ABC面積的最大值. 解析　(1)∵ctan C=(acos B+bcos A), ∴sin Ctan C=(sin Acos B+sin Bcos A),(2分) ∴sin Ctan C=sin(A+B)=sin C.(4分) ∵0

51、an C=,∴C=60°.(7分) (2)∵c=2,C=60°,c2=a2+b2-2abcos C, ∴12=a2+b2-ab≥2ab-ab,(10分) ∴ab≤12,∴S△ABC=absin C≤3,(12分) 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí),△ABC的面積取到最大值3.(14分) 考點(diǎn)二　解三角形及其綜合應(yīng)用 6.(2018浙江蕭山九中12月月考,16)設(shè)a,b,c分別為△ABC三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,面積S=c2,若ab=,則a2+b2+c2的最大值為　　　　.? 答案　4 7.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,18)△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知2bcos

52、 C=2a-c. (1)求B的大小; (2)若+=2,且||=1,求△ABC面積的最大值. 解析　(1)∵2bcos C=2a-c, ∴2sin Bcos C=2sin A-sin C,(1分) ∴2sin Bcos C=2sin(B+C)-sin C,(2分) ∴2sin Ccos B=sin C,(4分) ∴cos B=,(5分) ∵0

53、BC·BAsin=BC·BM,(12分) ∴S△ABC的最大值是1+.(14分) 8.(2016浙江名校(杭州二中)交流卷三,16)在△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊,asin Bcos C+csin Bcos A=b. (1)若b=2,且b2+c2-bc=a2,求△ABC的面積; (2)若點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),求tan∠MAC的最大值. 解析　由asin Bcos C+csin Bcos A=b及正弦定理,可得sin B=1,則∠B=90°. (1)由b2+c2-bc=a2,可得cos A=, 則∠A=60°. 所以∠C=30°,又因?yàn)閎=2,故c=1,所以S△

54、ABC=bcsin A=×2×1×=.(7分) (2)令tan∠MAB=t(t>0),則tan∠BAC=2t, 所以tan∠MAC==≤, 當(dāng)且僅當(dāng)t=時(shí)取等號(hào), 所以tan∠MAC的最大值為.(14分) B組　2016—2018年模擬·提升題組 一、選擇題 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2018浙江鎮(zhèn)海中學(xué)期中,10)若△ABC沿著三條中位線折起后能夠拼接成一個(gè)三棱錐,則稱(chēng)這樣的△ABC為“和諧三角形”,設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角分別為A,B,C,則由下列條件不能夠確定△ABC為“和諧三角形”的是(　　) A.A∶B∶C=7∶20∶25 B.sin A∶si

55、n B∶sin C=7∶20∶25 C.cos A∶cos B∶cos C=7∶20∶25 D.tan A∶tan B∶tan C=7∶20∶25 答案　B 2.(2016浙江寧波二模,7)已知△ABC中,a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊,且a=4,b+c=5,tan A+tan B+=tan A·tan B,則△ABC的面積為(　　) 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A. B.3 C. D.3 答案　C 二、填空題 3.(2018浙江重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,14)在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,S為△ABC的面積,若c=2acos B,S=a

56、2-c2,則△ABC的形狀為　　　　,C的大小為　　　　.? 答案　等腰三角形;45° 4.(2018浙江杭州地區(qū)重點(diǎn)中學(xué)第一學(xué)期期中,15)等腰三角形ABC中,AB=AC,D為AC的中點(diǎn),BD=1,則△ABC面積的最大值為　　　　.? 答案　 5.(2017浙江紹興質(zhì)量調(diào)測(cè)(3月),14)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,已知A=,b=,△ABC的面積為,則c=　　　　,B=　　　　.? 答案　1+; 6.(2017浙江杭州二模(4月),16)設(shè)a,b,c分別為△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且S△ABC=c2.若ab=,則a2+b2+c2的最大值是　　　　.

57、? 答案　4 三、解答題 7.(2018浙江杭州二中期中,18)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知tan C=. (1)求角C的大小; (2)若△ABC的外接圓直徑為1,求a2+b2的取值范圍. 解析　(1)∵tan C=,即=, ∴sin Ccos A+sin Ccos B=sin Acos C+sin Bcos C, 即sin Ccos A-sin Acos C=sin Bcos C-sin Ccos B, 即sin(C-A)=sin(B-C), ∴C-A=B-C或C-A=π-(B-C)(舍去), ∴2C=A+B,∴C=. (2)由(1)

58、知C=,故設(shè)A=α+,B=-α+,其中-<α<, a=2Rsin A=sin A,b=2Rsin B=sin B. 故a2+b2=sin2A+sin2B=(1-cos 2A)+(1-cos 2B) ==1+cos 2α. ∵-<α<,∴-<2α<, ∴-

59、 解析　(1)由(a-c)(sin A+sin C)+(b-a)sin B=0, 可得(a-c)(a+c)+(b-a)b=0,整理得a2-c2+b2=ab. 由余弦定理可得,cos C==. 又C∈(0,π),所以C=. (2)由2sin 2A+sin(2B+C)=sin C可得,4sin Acos A+sin(B+π-A)=sin(B+A). 整理得,4sin Acos A=sin(B+A)+sin(B-A)=2sin Bcos A. 當(dāng)cos A=0,即A=時(shí),b=, 所以△ABC的面積為bc=. 當(dāng)cos A≠0時(shí),sin B=2sin A.由正弦定理可得b=2a,又

60、a2+b2-ab=4,解得a=,b=, 所以S△ABC=absin C=. 綜上所述,△ABC的面積為. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　利用正、余弦定理解三角形 　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 1.(2017浙江衢州質(zhì)量檢測(cè)(1月),17)已知△ABC的面積為1,∠A的平分線交對(duì)邊BC于D,AB=2AC,且AD=kAC,k∈R,則當(dāng)k=　　　　時(shí),邊BC的長(zhǎng)度最短.? 答案　 方法2　利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題 2.如圖,一棟建筑物AB的高為(30-10)m,在該建筑物的正東方向有一個(gè)通信塔CD.在它們之間的地面點(diǎn)M(B,M,D三點(diǎn)共線)處測(cè)

61、得樓頂A,塔頂C的仰角分別是15°和60°,在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°,則通信塔CD的高為　m.? 答案　60 3.某觀察站C在A城的南偏西20°方向上,由A城出發(fā)有一條公路,走向是南偏東40°,距C處31千米的公路上的B處有一人正沿公路向A城走去,走了20千米后到達(dá)D處,此時(shí)C、D的距離為21千米,問(wèn)此人還需走多少千米才能到達(dá)A城? 解析　設(shè)AD=x千米,AC=y千米,∵∠BAC=20°+40°=60°,∴在△ACD中,由余弦定理得x2+y2-2xycos 60°=212, 即x2+y2-xy=441.① 而在△ABC中,由余弦定理得(x+20)2+y2-2(x+20)ycos 60°=312, 即x2+y2-xy+40x-20y=561.② ②-①得y=2x-6,代入①得x2-6x-135=0, 解得x=15或x=-9(舍去), 故此人還需走15千米才能到達(dá)A城. 29